第28章椭圆的性质及应用

1、第二十八章椭圆的性质及应用【基础知识】椭圆具有一般圆锥曲线的性质外，还具有如下有趣性质： TOC o 1-5 h z 22性质1椭圆土+=i（a AbA0）的左右焦点分别为 Fi, F2 ,其上任意一点P（X0 , V。）处的两条焦半径长分另1J为PFi|=%, PF2 =a e% （其中e为椭圆离心率，F1, F2分别为左、右焦点.下均同）性质2以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相切. 22证明设P为椭圆x2+4=i（a b 0）上一点，O为中心，M为PF2的中点，则 a b1.11MO =-|PF1 =-（2a -PF2 ）=a-|PF2 ,即圆心距等于两圆半径之差，故 eM与eO

2、 （a）相切.为叙述方便，定义椭圆上非顶点的某一点P与两焦点Fi, F2所构成的三角形为焦点三角形，且称顶点P的内、外角平分线（即 P点处的法、切线）与长轴的交点分别为内点M、外点N .性质3椭圆焦三角形中，内点 M到一焦点之距离与该焦点为端点的焦半径之比为常数e.证明设内点为|MFj |MF2|MF1| +|MF2| 2cPF1 - PF2| |PF1 - PF2 一%性质4椭圆焦三角形中，（I）其内心I将内点M与P点连线段分成定比e； （n）半焦距为内点 M、外点N到椭圆中心的距离的比例中项，即 c2=OM| ON ;（出）椭圆中心到内点之距与内点到同侧焦点之距，半焦距与外点到同侧焦点之距

3、成比例,即理=明；（1）半焦距、外点与椭圆中心连线段、MF2F2N内焦与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例，即of1|_Imf2|ON| |F2N（V）过一焦点F2向P点处外角平分线（即 P点处切线）引垂线，则椭圆中与垂足Q连线必与另一焦半径 PF1所在直线平行（注意 F2Q / MP ）；（VI） OQ =a ; （口）cos/FzPNcos/F2NP（设F2为F2关于PN的对称点，则/F2PN =90s-ZE* ,4NP =90 0-ZF2F2N ,F1F2sin. F2F2F1 TOC o 1-5 h z 22性质5椭圆x2 +y2 =1（a AbA0）上任一点P, （I） P（

4、x0 , y0 ）点处的两焦半径的乘积， 其最大值为a2 a b一2.c . 一 . c V0b2最小值为b ;（n）若/F1PF2 =26，则Sa p、f2 =b2tanH ,且a8=及两焦半径的乘积为定值 by-bcos 二证明（I ）当P点在短轴顶点时，|PF1| | PF2 |=a2 ;当P点在长轴顶点时，PF1 PF2 =a2c2=b2;（n）如图28-1,设PF1F2的内切圆半径为r ,注意切线长定理则可证明：r=（a -cetane .又PF1F2的周长为 2a +2c ,则 sapff = (2a+2c) r = (a -c2) tanQ =b2tan日， 22从而 PF1H

5、PF2 二2SA PF1F2b2由22c.yo - ,tane,得匕田冬性质6设P为椭圆m-r a +P a cos sec222x y2 + 2 =i(a b a0 )上一点，Fi, F2 为焦点, a b-P=e.2/PF1F2 =a , ZPF2F1 = P,证明由F1F2IPFi PF2I |PFi 卜 PF2sin 1；2-s j sin | sin sin -sinsin 工-jsin ：.，sin I ：=cos secU .即证.22性质7椭圆的焦点弦，(I)两端点处的切线相交在焦点对应的准线上;(H)两端点处的切线所成的角小于90口； (m)两端点处的法线相交于Q ,过Q与长

6、轴平行的直线平分焦点弦；(IV)其中点轨迹也是椭圆;(V)垂直于两端点处切线交点与该焦点的连线.22性质8设P是椭圆 与+%=i(abA0)上异于长轴顶点的一点，Fi, F2是其左、右焦点,a bO是中心,设 OP| =d，则 | PF1I PF2 +d2 =b2 +a2.证明在PF1F2中，由中线长公式，得 PFi 2+PF2/ =2d2 +2 OF22 .配方，得(PF1 +PF2| j=2d2+2c2+2PF1 PF2 ,由椭圆定义，得 PFi PF2 +d2 =2a2 -c2 =b2+a2.22性质9直线Ax +By +c =0与椭圆 与+与=i相交、相切、相离的充要条件是 A2a2

7、+B2b2Q2 a b(A, B不同时为 0, a 0 , b 0).AC证明仅证相切情形，当B 0时，有y =x-C ,并代入椭圆方程消去yB B，化简得(A2a2 +B2b2 卜2 2a2ACx+a2 (C2 B2b2 )=0,由其 A=0化简得 A2a2 +B2b2 =C2,这说明直线与椭圆有两个重合交点(即相切)的充要条件为A2a2 +B2b2 =C2 .当B =0 ,则直线必切椭圆于左或右顶点，x = a ,从而有Aa+C=0或 Ba+C=0,即有A2a2 =C2 ,亦有A2a2 +B2b2 =C2 .反之A2a2 =C2 ,推知x = a ,这表示一条过长轴顶点的切线.22推论直线

8、 Ax + By + C=0与椭圆 俨；, 1 +b0 )相交、相切、相离的充要条件是2222_2A a + B b (Am+Bn+C ).性质10设椭圆的一个焦点为 F ,直线l与过椭圆长轴的端点 A, A的切线相交于 M，M ,则(1) FM- FM-=0u 直线l与椭圆相切；(2)FM,FM-0=直线i与椭圆相离；(3)FM，FM1b 0 ), F (c , 0 ), A(-a , 0 , A(a , 0 ).直线 l ： y = kx + m . a bFM FM = -a -c , m -ka i (a -c, m ka 222 I 2 2=c -a m -k a2 ,22, 2=m

9、 -b -a k .-222 Lt由#了消去y,得y = kx m(b2 +a2k2 X +2a2kmx+a2 (m2 -b2 )=0. =4a2b2 (b2 +a2k2 -m2 ).FM FM =0u m2 b2 a2k2 =0U A = 0u 直线 l 与椭圆相切； FM FM 0u m2 b2 a2k2 0。Ac。直线 l 与椭圆相离；(3) FM FM 0U m2b2a2k2 0u 直线 l 与椭圆相交. 22性质11设l是过椭圆 与+4=1上异于长轴顶点的一点的切线，(I) l与过长轴顶点 A,丹的切线分a a别交于R, P2,则,PA1I PA2 I与2; (n)两焦点F1、F2到

10、直线l的距离分别为d1 , d2,则d1 d2=b2 .证明(I )设 P(acos6, bsin 0),过 P 的切线方程为 bcosO x + asinO y = ab ,由 x = a 得P2A2 =b1 -cos 日sin 6同理，由x = -a得PA =b1 cos 二2故 PA I IP2A2 =b .(n)由(-c, 0 %(c, 0 1到直线 bcos日 x +asin 日.y _ab=0 的距离分别为 d1 - |cbcos + ab|b2 cos a2 sin 二cbcos【-ab2d2 = J 22 I ,故 di d2 =b .,b2 cos 1 a2sin2122性质

11、12设P, Q是椭圆x2 +y2 =l(a Ab a0)上两点，(I)设O为中心，OP_LOQ,则1111一2 +2 =F +f ； ( n )设PQ通过焦点F ,弦CD也过点F ,且PQ _LCD ,则OP|OQ a b2工+口+ a |pQ| |CD| , a2 b2(出)设PQ通过焦点F , Q是椭圆上一点，且OQ _L PQ ,则21111 2 +2 = -2 -2 .a PQOQ2 a2 b2证明(I)设 P(OP cosQ, OP sine ),贝U Q(-OQ|，sin8,|OQ cosQ ).分别代入椭圆方程，相加即证.(H)设椭圆的极坐标方程为PQ| 1 PF I -iQF

12、=2ep 21 -e cosp =ep,可求得 1 ecos?2ab2同理, CD=bd&由此即可证.(出)由(I) , (n),知22.2.2a cos wb sin :22.21 b c sin :2OQ2. 2a b，PQ2ab2即证.性质13设M, y ),椭圆方程为与+%=1(a Ab0),对于直线l的方程线十y孚=1 ,则 a ba b(1)当M在椭圆上时,(2)当M在椭圆外时,(3)当M在椭圆内时,l为椭圆的切线；l为椭圆的切点弦直线；l为以M为中点的弦平行且过此弦端点切线交点的直线.事实上，这可由第二十五章的性质 【典型例题与基本方法】7推论后的注即得.这里，其实l为点M关于椭

13、圆的极线.2例1试确定m的取值范围，使对直线 y=4x+m,在椭圆x4=1上有不同两点A, B关于该直线对称.解设P(x0, v。)是弦AB的中点，由性质10 ,知曲线X +=1关于点P对称的曲线为x02=1 .两式相减整理得公共弦方程:2, 22x0 x +4y0y3x0 -4y0 =0 .而公共弦的斜率为_1 ,故有k =43x01=一4 ,即 y。=3x。.又 P（比 , v。y =4x+4 上，有 y0 =4% + m ,由此两方程求得 x0=-m, y0=-3m.因P（x0, y枝椭圆内部，故有22224铝,即有苧+苧1,故2 132 13 %m b 0 ）对中心张角的弦恒与圆 x2

14、+y2 =-a2相切.a ba b证明设弦AB对中心O张直角,O到AB的距离为d .由三角形面积公式，知12 AB1 .，,一d =-|OA -OB .从而d2由性质11d22.2a bOA OBOA| |OBAB2 2OB a22OA OBOA OB由此即证得弦AB恒与圆相切.例6已知直线l的斜率为1,且过椭圆22212 +誉=1(ab0 )的左焦点与椭圆相交于A, B两点，椭圆的中心为O,O点到直线AB的距离d=1 ,且弦AB的长是椭圆长轴的45求椭圆方程.解由题意可设AB的方程为y=；(x+c),它到原点的距离 d =又AB4=2a ,由性质11 (出)，5上 2 8a 1有一 ,2a

15、5 OP于是，得又易知OP的方程为y = -2x ,将其代入椭圆方程，解得x2OP22,2a b224a bb24a*)2 24a b224a b.于是_222OP =x y =2. 25a b224a2 b2*)式化简得4a2 =9b2 ,再注意c2 =5，求得a=3 , b=2 .故所22求椭圆方程为x工例7设椭圆方程为100 363 39,F1, F2是焦点，求 PF1F2的内切圆方程.解显然P点在椭圆PF1F2的内心为I PI交x轴于M ,易知Fi(8, 0), F2(8, 0),可求得PFi =15, PF21=5.由 jPF1 F1Mpf2mf2由性质又内切圆半径MIPI=5 ，4

16、=e =一5故所求圆的方程为3922注由此例，促使我们探求对于椭圆x2+B=1（ab：0）上任意异于长轴顶点的点P,焦点PF1F2的a b内切圆圆心的方程为 (a -c2例19作斜率为1的直线l与椭圆C: x +y =1交于A、 36 4 +(a +c )y2 =(a -c p2 (y =0 ).事实上，可设/PF1F2=a, ZPF2F1,内心I（x,y）,在 PFR 中由正弦定理可求得a -ctan tan、之一=22 a c又 kiF1 = , ,kiF2 = (y =0 从而x cx -ck|F1 k|F2=tan- -tan二一 2整理得(a -c 卜2 十(a +c )y2 =(a

17、 c2 (y 0 ).22C1例8已知C0： x2+y2=1和C1：与+/=1（abA0）.试问：当且仅当 a, b满足什么条件时，对上任意一点P,均存在以P为顶点、与C0外切、与Ci内接的平行四边形？并证明你的结论.（2000年全国高中联赛题）解所求条件为工+4=1 .a b必要性：易知圆外切平行四边形必是菱形，圆心即为菱形中心.假设结论成立，则对点（a, 0）,有（a,为顶点的菱形与C1内接，与C。外切，（a,0 ）的相对顶点为（-a, 0）.由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在 y轴上且为（0, b）和（0, -b ）,菱形一条边的方程为 + =1 ,即bx+ay=ab. a

18、bab1 1于麦形与C0外切，故必有2 =1 ,即为 =1 .a bab11 充分性：设$+斗=1, P是C1上任意一点，过 P, O作C1的弦PR,再过O作与PR垂直的弦QS,a b则 PQRS 为与 C1 内接的菱形.设 OP| =r1, OQ| =r2,则 P(r1cos仇 r1sin ),Q(r2cos(日+90).sinW +90*).代入椭圆方程，得b2 TOC o 1-5 h z 22 T22 -r1 cos 1 r sin ir22 sin222cos2i十=12. 2ab是Top|oq0r?+ sin2 8 + cos29 又在RtAPOQ中,设点O到PQ的距离为h ,则工h

19、 OP1+2 =1 ,故得h =1 .同理O到QR , RS, OQSP的距离也为1 .故菱形PQRS与C0外切，证毕.B两点（图略），且P（3我,五）在直线l的（1）证明；4PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;（2）若 /APB=60。，求 4PAB 的面积.解（1）设直线l222x 6mx 9m于是，有XiX2（2012年全国高中联赛题）11- y = x +m , A(x1，y1)， B(X2 , V2 将 y =x +m 代入 33-36 =0 .22X +y =中，化简整理得36 4=-3m ,X1X29m2 -36._y1-V2_y2-42, kAP -=， kPB -=2x -3

20、、. 2x2 -3.2则 kPA.kPB-2 X”C2X1 3,2X2 -3 22”mr m-2.2 -3m L6.2 m /2_2：L_)0.X1 -3 .2 X2 -3 2又P在直线l的左上方，因此，/APB的角平分线平行于 y轴所在直线，所以4PAB的内切圆的圆心在直线x=3点在上.（2）若 ZAPB =60。，则由（1）知 kpA =点,kpB = m3 .直线PA的方程为y %5=J3（x3夜），代入22上+L=1 ,消去y得36414x2 +976(1 -3君 X +18(13 -3 )=0 .此方程的两根分别是X1和3拒，所以X1 37218 13 -3 3142_3 2 3 3

21、 1于是PA=13X1 -3 2 =同理PB3 2 3 3 -1 7所以S/B二 2 PApBsin60 二*为所求.【解题思维策略分析】1.注意平面几何知识的综合运用2例10设P为椭圆X2 a2+ y2 =1（a b 0）上异于长轴顶点 A, A2的任一点，过P点的切线与分别过 A1,bA的切线相交于B1,B2,则以B1B2为直径的圆必过两焦点F1, F2 .证明如图 28-2,设P（acos日，bsinQ ）,则过P的切线方程为 X c0s+ y sinH =1,它与 丫轴交于点 b0(0, bcscQ ), C 是线段 B1B2 的中点，从而 |CF1 =CF2 = Jc2 + b2 c

22、st 日y联xcos日 ysin 0 / /口 一 联乂 x ，+-=1 ,得 B1 /1 cos 二 b2B1B2 =BC =, -a2 * 44 (1 +cos 日 b bsin 9 sin 0Jc2 + b2 csc2 0 .1，, -从而 CF1 =cf2| =3 B1B2 ,故 fi2.注意三角知识的综合应用,F2在以B1B2为直径的圆上.例11在面积为1的 PMN中,1tanM = tanN =-2 ,建立适当的坐标系，求出以 M , N为焦点且 2过点P的椭圆方程.解以MN所在直线为x轴，线段方面，tanP=_tan M N =MN的中垂线为y轴建立直角坐标系.tan M tan

23、N 3tan M tan N -1 42tan P另一方面,tanP =2r-,从而,2 P1 -tan -2P2tan 一2_2 P1 -tan24 即3tan2 P P 一十8tan - -3=0 .（舍去）.P 1 P 斛得 tan = 一或 tan - = -3由性质5 （n）P Ccot- =1 3=3 .2作 PQ _LMN ,垂足为Q ,设PQNQ =m ,由 tanM =h-=2c m1h一及 tan/PNQ =一=2 ,易得、，4X2故所求椭圆方程为丝1533 ,即有42+ =1 .3 4 一h - c 又 SA PMN34c22c =1 ,得 c33.注意代数知识的综合运用

24、22例12设椭圆X2 +y2 =1（ab0）的两焦点为 匕了2,则椭圆上存在在点 P,使得ZFiPF2=9（09h a b的充要条件是sin 1 e （ e为椭圆的离心率）.证明设F1（-c, 0 ）,F2 (c, 0 ),点P的坐标为(x , y ),则kPF1 =-，kPF2x c由对称性，仅考虑点P在上半椭圆，则kPF2 -kPF1tan 71 二1kPF2 kPF,0 .（上述前式不适合斜率不存在或日=90的2yc222-222，即 x 力 -c = y2，x y -c直线，而后式则适合于些直线.）22椭圆上存在点 P ,使ZF1PF2 =6的充要条件是方程组有解，这又等价于方程x y

25、-2 -k7 :1 ,a b 222x y c =2yc cot 1(c2 * +2yc cotO -y2 )b2 +a2y2 =a2b2,2 22即 c y 2yb ccot日一b4=0在区间（0, b上有解.设 f (y )=c2y2 +2yb2c cot 9 -b4 ,则-4 一f (0 )=4 0b22 cb .-2 cote -1 0cos t -1u - b0）, e。： a b22的2条切线，切点分别为M , N.若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为 m, n ,证明：当+与证明设P（X0,y0）, M,yi）, N（X2,y2），则由圆的性质12,知PM、PN的方程分别为Xix

26、+ y1y =b, x2x +y2 y =b2.由于点 P 在 2 条切线上，有 x1x0+y1y0 =b2 , x2x0+y2y0 =b2.因此，直线MN的方程为x0 x+y0y=b2 （此亦可由性质12即得）.2.2令y =o ,得m = ；令x =0 ,得n = .注意到P(x0 , y0而椭圆上, x0y。2 a b2注(1)由椭圆性质13,知点P处的椭圆切线的斜率为k1 =2沙，此时直线MN的斜率为k2 =-上，a y0y。从而有ki -byk2 =0 .a(2)若记上述例题中的椭圆为22G, e O 为 C2 ,且 C2 为 x + yP在C2上，则类似于(1)有2 2有a y0,

27、2 22, 2 a b+b x0 a b ,故；一2 十2 =x2 +y2=a2上，则类似地有22(3)若将(2)中 Ci 改为双曲线x2_-y2=i(a0, b0),b2 ki +k2 =0 . ab2(4)在(3)中，若点P在Ci即双曲线上，则类似地有 ki +-2k2 =0 . a22(5)在上述(2)中，若C2为双曲线 与4=i(a0, b0),类似地有ki +k2=0 .a b此时，若点P在C1时，亦有k1 +k2 =0 .例i4如图28-3,经过椭圆b2x2 +a2y2=a2b2(abA0)的长轴左顶点 A的弦AB交y轴于C , MN是过左焦点F1的弦.若 MN / AB ,则a

28、MN| = AB AC| .证明设平行弦AB、一 . 一x = -a tcosMN的倾斜角为a,则AB的参数方程为x (t为参数)y =tsin 工代入椭圆方程并整理,b2 cos2 工；a2 sin2 1)t2 -2ab2cosu t = 0 ,是 AB = tB| =2ab2 cos，|.222.2b cos :工 .a sin :又在AB的参数方程中，令 x =0 ,得 AC =|tc| =aseco(| .2 2上述两式相乘，得 AB AC 一TA b cos 工二 a sin :P=_ep从而1 ecos 1MN= NFi| -|MFi =2ep：221 -e cos :22ab27

29、22 . 2 b cos 不+a sin ;以Fi为极点，Ex为极轴建立极坐标系，则椭圆方程为故 a MN = AB J AC .【模拟实战】习题A22.一 x V1 .已知椭圆&2 +y2 =1(a b0)上存在一点P,使得上FiPF2=60i ( Fi, F2为椭圆焦点).求离心率e的取值范围. 22.试问椭圆。+看=i(ab 0户勺离心率e在什么范围内，椭圆上恒存在一点 P,使得点P到两焦点 的距离之积等于焦距的平方？48.已知椭圆的长轴长为 4,焦距为2,过左焦点的两条互相垂直的弦的长度之和为竺.试求这两条弦7的长度之积.已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于

30、 P, Q两点，且OP_LOQ,PQ| =?.求椭圆方程.(1991年全国高考题) TOC o 1-5 h z X2 V23 3.试证：椭圆 今+4=1 (ab0)的内接三角形的面积的最大值为*ab.a b4226.试证：椭圆 与+与=1(a b 0 )内接矩形的面积的最大值为 2ab . a b22.设AB是过椭圆 t + 4=1 (a Ab 0)中心的弦，F是焦点，则 AABF面积的最大值是 a b222bc(c =a -b ).设P是椭圆的准线l与对称轴的交点，F是对应焦点，AB是过F的弦，则/APB的最大值为2arctane (e为离心率).22.设椭圆。+冬=1(a b 0 ),两焦点Fi(-c, 0 ), F2(c, 0),点Q为椭圆上异于长轴顶点的点，过a b焦点Fi (或F2)作NF1QF2的外角平分线的垂线，垂足为 P ,则P点的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆(除点(-，0