等效单摆周期的求解

1、“等效单摆”周期的求解“等效单摆”的种类繁多，但由单摆的周期公式 T =2立涡可知，一般的等效单摆 实质上是改变摆长，或者是改变重力加速度，或者是同时改变摆长和重力加速度的情 形。故等效单摆的周期公式T=2n,:,式中L*为等效摆长，g*为等效（类）重力 加速度。我们要理解摆长L*是从悬点（静止）或系统中的质心（定点）算起；g*为等效（类） 重力场中的等效（类）重力加速度，g*的大小和方向是恒定不变的。一、等效摆长L* :1、单线摆摆长的改变例1、如图所示，长为L的单摆，如果在O点的正下方L处的B点固定一个光 滑的钉子，使摆球A通过最低点向右摆动，悬线被钉子挡住成为一个新的单摆，则这个单摆的振

2、动周期是多少？（已知摆角9 5）解：其周期应是摆长为L的单摆的周期Ti的一半与摆长为4L的单摆的周期T2的一半之和。即2、多线摆（双线摆、三线摆、四线摆等）例2、如图2所示，三线长均为L, BC、BD线拴在天花板上，两线 与天花板的夹角均为9, AB线的下端拴上小球，现使球在垂直于纸面做 小角度摆动，问此摆的周期。解：此摆动方向在前后的竖直平面内，故该摆的等效摆长为OA的 长即:L*= （1+sin L ,3、单线连接的两球摆例3、如图3所示，A、B （mA= 3m、mB=m）两球作长为L的细线相连，A球 穿过光滑的水平横杆且可以自由滑动，求此摆的周期？（振幅很小）解：由于两球在摆动过程中沿水

3、平方向所受的外力之和为零，故该系统有一定点0（质 点）是不变的，故0点相当于摆的悬点，则求摆长就容易。由水平方向的动量守恒得：mAVA=mBVB3mvA=mvBVA、VB分别是两球回到平衡位置时的速率，而周期 Ta=Tb ,即据简谐运动的能量公式 TOC o 1-5 h z 1 一 2121 _E = Ek EP =mv kx =区 mvm有 13mvA2 =gkAAA222又mvB =线Aai由上各式得有二3Aa(L-L )二 ；kA2Aa或Ab为振幅，由三角形相似有L故该摆的周期为TA =Tb =2n荷=立杵从种种摆长变化来看，将各种摆等效成一单线摆，确定摆动过程中系统中哪一点 是固定的这

4、点就相当于悬点，再确定摆球质心到悬点的距离，便可确定等效摆长，从 而确定该摆运动的周期、等效重力加速度g*g 一 =*、在某种物理条件下，让摆球在平衡位置静止，摆球所受的各力中去掉悬绳的作用力，剩下各力沿绳方向合力即为F*,并且F*提供了简谐运动的回复力。F= m a,方向和a的方向相1、在加速的系统中：摆球所受的各力中包括惯性力，惯性力的大小 反，此时对单摆受分析时，惯性力要看成一个独立存在的力。如图4所示，一单摆在竖起向上的匀加速系统中(加速度为a),求此单摆的振动周期？解：如图4 (a)所示，摆球受到纯的拉力Ft,惯性力F,重力G,例历阿的Ft去掉绳的拉力Ft,如图4 (b)所示则摆球还

5、受两个力G和F,这两个力在平衡位置沿绳方向的合力为F*= G + F = m (g +a)一 f 一一g ).) gaT = 2- ,= 2- gLaA 6 F G图4F*G例5、如图5所示，一单摆在水平向右的匀加速系统内，单摆的摆长为L,系统水平方向加速度为a,求此单摆的振动周期？解：如图4 (a)所示摆球受到纯的拉力Ft,惯性力F,重力G,去掉绳的拉力Ft,如图4 （b）所示则摆球还受两个力G和F,这两个力在平衡位置沿绳方向的合力为F * = VG2 + F 正=m、g2 + a2g ： u jg2 a2.T 二2二2二L 277_g”aa2、带电摆球在电场、磁场和重力场的复合场中运动，要

6、弄清 电场力或磁场力是否恒定不变（是否有提供回复力）。例6、如图6所示，摆球的质量为m,摆长为L,若摆球的带电量为+q,且在单 摆的悬点处放一带电量为+Q的点电荷，试求单摆的振动周期？解：本题中的带电摆球在重力场和电场的复合场中运动时，摆球在运动中的每个位置处所受的电场力是变化的（F电的大小不变，方向始 终随线方向的变化而变化），故其不能合成一恒定不变的类重力加速度 g*。分析可知此电场力始终沿纯方向不提供回复力，只有重力沿圆弧切线的分力提供摆球运动的回复力。故 g*= g o7 = 2兀值=2图6例7、如图7所示，摆球的质量为m,摆长为L,若摆球的带电量为+q,且单摆处在竖直向下电场强度为

7、E的匀强电场中，试求单摆的振动周期？解：摆球受到纯的拉力Ft,电场力F电，重力G,去掉绳的拉力Ft,则摆球还受两个力G和F电（均为包力），这两个力在平衡位置沿绳方向的合力为F= G + F 电=mg +qE图7、等效摆长L*和等效重力加速度g*例8、（竞赛练习题）如图所示是一种记录地震装置的水平摆，摆球 m固定在边 长为1,质量可忽略不计的等边三角形的顶点 A上，它的对边BC跟竖直线成不大的 夹角内摆球可绕固定边BC摆动，求摆球作微小摆动的周期。解：此摆动方向在前后的竖直平面内，该等效摆长为隐形摆长如图（ b）中OA即L = 10A = l sin - 231等效重力加速度为g 二 g s i

8、 nsssss所以此摆做微小摆动的周期为T =2二二2二小，.综上所述：由质量为m的质点和摆长为L组成的单摆的周期T与摆角8和质量m 无关，若单摆在加速度为a的系统中式中的g*为g和a的矢量和（a方向和a的方向 相反）。若摆球带电荷q,置于匀强电场中，则 g*为重力和电场力的矢量和与摆球的 质量m比值；若单摆处于由位于单摆悬点处的点电荷产生的电场中，或磁场中时，周 期不变。四、巩固练习：1、如图9所示，摆球的质量为m,摆长为L,若摆球的带电量为+q,且单摆处在方向 垂直纸面向里的磁感强度为 B的匀强磁场中，在摆角小于 50求该单摆的振动周期？O图92、如图10所示，摆球的质量为m,摆长为L,若摆球的带电量为+q, 平向右电场强度为E的匀强电场中，在摆角小于50,求单摆的振动周期?且单摆处在水图103、如图11所示，摆球的质量为 m,系在长为l的细绳