大二信号与系统第19讲

1、信号与系统第 19 讲教材位置: 第9章 拉普拉斯变换 9.7内容概要: 用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统；2022/7/25信号与系统第19讲2开讲前言前讲回顾零极点图对傅里叶变换几何求值拉普拉斯变换的频域信息采用几何求值得到拉普拉斯变换性质线性时移、频移尺度变换共轭、卷积时域微分、s域微分时域积分初值定理、终值定理2022/7/25信号与系统第19讲3开讲前言本讲导入拉普拉斯变换特点运算简单与傅里叶变换对应，能分析频率响应信号非绝对可积也能分析运用拉普拉斯变换分析系统分析系统的频率响应分析系统的因果性和稳定性分析微分方程表示的系统运用拉普拉斯变换设计系统通过功能要求描述系统频率响应及系统

2、函数得到系统的微分方程描述得到系统的流图描述得到系统基本功能单元及其关系的描述2022/7/25信号与系统第19讲49.7用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统0.系统函数的概念LTI系统的输入输出关系在时域描述LTI系统的输入输出关系在s域描述1.因果性因果系统的单位冲激响应在t0时应为0，h(t)是一个右边信号2022/7/25信号与系统第19讲59.7用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统因果性举例1反因果系统2022/7/25信号与系统第19讲69.7用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统2.稳定性稳定系统的单位冲激响应是绝对可积的稳定系统的频率响应是存在的2022/7/25信号与系统第19讲79

3、.7用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统稳定的因果系统2022/7/25信号与系统第19讲89.7用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统3.由线性常系数微分方程表征的LTI系统傅里叶变换可用于求解线性常系数微分方程的解用拉普拉斯变换求解更方便2022/7/25信号与系统第19讲99.7用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统一般线性常系数微分方程表征的LTI系统2022/7/25信号与系统第19讲109.7用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统4. 系统特性与系统函数的关系举例(1)已知输入输出，求解系统特性2022/7/25信号与系统第19讲119.7用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统(2)根据条件求系统特

4、性2022/7/25信号与系统第19讲129.7用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统5. 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器，其要求为2022/7/25信号与系统第19讲139.7用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统巴特沃斯滤波器极点分析列出N=1,2,3,6的极点位置，分析可知分子的常数保证系统函数在s=0时的模为1 2022/7/25信号与系统第19讲14本讲小结拉普拉斯变换用于系统特性的分析系统特性：因果性稳定性微分方程表示的系统的分析系统函数系统函数收敛域与系统特性系统特性分析举例巴特沃斯滤波器设计从系统函数的约束性要求到系统方程的推导信号与系统第 19 次课外作业教材习题: 9.25(b)

5、(d)(f)、 9.27、 9.312022/7/25信号与系统第19讲16补充：系统的稳定性1、系统的稳定及其条件时域分析稳定系统的定义：对于有限（有界）的激励只能产生有限（有界）的响应。若 |e (t)| Me 0 t 则 | r (t)| Mr 0 t n ，s 在无穷大处有（m n ）阶极点，而无穷大在虚轴上，稳定系统在虚轴上不能有重阶极点，故有 m n 1，既得 m n +1。2022/7/25信号与系统第19讲18补充：系统的稳定性反馈系统E(s) G(s) = Y(s)R(s) H(s)Y(s)G(s) =Y(s)R(s)G(s) = Y(s)1+H(s)G(s)这里 T(s)

6、是整个反馈系统的系统函数，G(s) H(s) 为开环转移函数。G(s)H(s)R(s)+-E(s)Y(s)2022/7/25信号与系统第19讲19补充：系统的稳定性2、通过转移函数，初步判定系统的稳定性稳定系统的极点必须位于S的左半平面内极点位于虚轴上称为临界稳定.极点位于S右半平面上不稳定.稳定系统在虚轴上只能有单阶极点. 在复变函数理论中,s=0,s=的点都落在虚轴上.当mn时,s时,虚轴上就会有m-n阶极点,为保证系统稳定m-n=1,只有一阶极点。2022/7/25信号与系统第19讲20补充：系统的稳定性多项式分解，用系数判定系统的稳定性（必要条件）将H(s)的分母D(s)多项式分解，稳

7、定系统只出现：(s+a)实根，(s2+bs+c)复根，(s2+d)虚根。（a、b、c、d为正）多项式 系数ana0都应为正值(或全部为负值）D(s)多项式从最高次幂排列到最低次幂应无缺项，仅允许a0=0。此时有一零根系统临界稳定的必要条件若D(s)缺全部的偶次项(包括a0项)，或缺全部的奇次项。系统临界稳定的必要条件2022/7/25信号与系统第19讲21补充：系统的稳定性特征多项式系数进行的判定是必要性判定不满足上述条件的，系统肯定不稳定满足上述条件，系统不能保证稳定举例2s3+ s2+ s1+ 6=0符合第一条件，全部系数同号，没有缺失项但是此方程的三个根分别为2022/7/25信号与系统

8、第19讲22补充：系统的稳定性3、罗斯-霍维茨 (RH) 判据若 D(s) = a ns n + a n-1s n-1 + a 1s + a 0 D(s) 方程式的根全部位于 s 左半平面的必要条件是：多项式的全部系数都是正值（或均为负值）且无缺项.充分必要条件是：罗斯阵列中第一列数字（或称元素）符号相同。罗斯阵列的排写规则：（1）将 D(s) 的所有系数按如下顺序排成两行。a na n-1a n-2a n-3a n- 4a n-5a n- 6a n-7依此类推排到a0止2022/7/25信号与系统第19讲23补充：系统的稳定性（2）罗斯阵列Sn An Bn Cn Dn -Sn-1 An-1

9、Bn-1 Cn-1 Dn-1 -Sn-2 An-2 Bn-2 Cn-2 - -Sn-3 An-3 Bn-3 Cn-3 -S2 A2 B2 0 S1 A1 0 0S0 A0 0 0头两行为A n = a n , A n-1= a n-1, Bn= a n-2 ,B n-1= a n-3 , C n = a n- 4 , -下面各行按如下公式计算：11121112112-=-=-=nnnnnnnnnnnnnnn-1nnnADADACACACABABABAA-2022/7/25信号与系统第19讲24补充：系统的稳定性这样构成的阵列共有（n+1）行，且最后两行都只有一个元素。第一列称为罗斯数列。观察罗

10、斯阵列中第一列数字有无符号变化，若有，则系统不稳定；反之，系统是稳定的。罗斯定理：在罗斯数列中，若各数字符号不尽相同，则顺次计算符号变化的次数等于方程所具有的实部为正的根数。221123221123-=-=nnnnnnnnnnnnACACABABABAA-各元素的一般递推式为iiiiiiiiiiiiACACABABABAA111111+-+-=-=-2022/7/25信号与系统第19讲25补充：系统的稳定性例题：判断下列方程是否有实部为正的根。解：该方程的罗斯阵列为可见方程有两个具有正实部的根，且可判定此特征方程对应的系统不稳定。2s3 +s 2 +s + 6 = 0S3 2 1S2 1 6

11、S1 -11 0s0 6 02022/7/25信号与系统第19讲26补充：系统的稳定性例题：有反馈系统如图所示，其中 H(s) =1 时，称为全反馈。问K为何值系统稳定？解：该反馈系统的系统函数为G(s)H(s)R(s)+-E(s)Y(s)2022/7/25信号与系统第19讲27补充：系统的稳定性所以，系统的特征方程为：它的罗斯阵列为：分析阵列知系统稳定条件为：合并两个不等式，得到s 3 +5 s 2 + 4s +K = 0S3 1 4S2 5 K0S0 K0S1 0 及 K 0 0 K 202022/7/25信号与系统第19讲28补充：系统的稳定性4、罗斯阵列排写过程的两种特殊情况（1）罗斯阵列中出现某一行的第一列元素为零（即 Ai =0），而其余元素又不全为零。例： s5+ s4+ 4s3 + 4s2 +2s+1=0求解：S5 1 4 2S4 1 4 2S3 0 1 0 此行用 1 0 来代替 0 1 0 ， 1 0 继续排列罗斯表S2 1 0S1 0 0S0 1 0 0符号改变2022/7/25信号与系统第19讲29补充：系统的稳定性（2）罗斯阵列未排完时出现某一行元素全部为零， 系统不稳定或临界稳定，具体确定还要采用辅助多项式分析。全零行前一行的元素组成辅助多项式辅助多项式的导数的系数