证明不等式的四个基本技巧

1、证明不等式的四个基本技巧2.1三角换元若对含平方的根的表达式的积分，如。1 x2dx ,41 y2dy , Jz2 1dz则可采用下列三角换元x sint , y tant , z ,选择合适换元可简化不 cost等式。【试题9证明对正实数a,b,c,有：(a2 2)(b2 2)(c2 2) 9(ab bc ca) (2 1)【解析】选 A,B,C (0,-),采用三角换元 a V2tan A , b J2tan B , c Titan C则利用恒等式1 tan2改写(2 1)为：cos28(tan 2 A 1)(tan2 B 1)(tan 2 C 1) 18(tan Atan B tan B

2、 tan C tan C tan A)41sin Asin B cosC cosAsin B sin C sin A cos B sin C2 2 29 cos2 A cos2 B cos2 Ccos A cos B cosC即： 4 cosA cosB cosC(sin Asin BcosC cosAsin B sin C sin A cosB sin C) 9由三角恒等式cos(A B C) cos(A B)cosC sin( A B)sin C(cos A cos B sin Asin B)cos C (sin A cosB cosAsin B)sin CcosAcosB cosC si

3、n Asin BcosC sin AcosB sinC cosAsin BsinC即： sin Asin BcosC cosAsin BsinC sin AcosBsinCcos A cos B cosC cos(A B C) 将代入式得：4arar-、cos A cos B cosCcos A cosB cosC cos(A B C)(2 2)9设 A B C 应用am gm不等式得：3第1页cosA cosB cosCcosA cosB cosC由于 A,B,C (0,-),在x （0,万）对余弦函数f（x） cosx是上凸函数，故由琴生不等式得其函数的均值小于均值的函数。即. cosA

4、cosB cosCABCcos cos3于是： cosA cos B cosCcosA cosB cosCcos3将代入（2 2）式:3 cos(cos3cos3利用三角恒等式:cos 334 cos3cos或 cos3cos 333cos 3 cos式变为:4 cos39(cos3cos3 )3cos (3 cos3cos3 )于是：247cos3 (cos3 cos)cos4(1 cos2 )采用AM GM不等式:22r coscos一 (1222 cos1)321 cos 32cos22(12 cos)322即：coscos(1222 cos）日3,即:4 cos(12 、cos )42

5、7本式当且仅当tan A tan B,-1tanC 正,1时,等号成立。这就证明了式成立。【试题10】设a,b,c,d为正实数,且满足:11 a411 b411 c411d41试证：abcd 3.【解析】采用三角换元，设a22tan A , b2 tan Bd2 tan DAB,C,D （0,小则代数等式变换成三角等式:1 tan2 A 1 tan 2 B 1 tan 2 C 1 tan 2 D即：cos2 A cos2 B cos2 C cos2 D 1即：sin2 A 1 cos2 A cos2 B cos2 C cos2 D 应用AM GM不等式得：2cos2 B cos2 C cos2

6、 D 3(cosB cosC cosD户 2由得：sin2 A 3(cosBcosCcosD)322同理可得：sin2 B 3(cosCcosDcosA)3 ; sin2 C 3(cosDcosAcosB户；2 .2sin D 3(cosA cosB cosC)3 .四式相乘得：sin 2 Asin 2 B sin 2 C sin 2 D34cos2 Acos2 B cos2 C cos2 D TOC o 1-5 h z 22224tan A tan B tan C tan D 3即：a4b4c4d4 34,即：abcd 3.证毕【试题11】设x,y,z为正实数，且x yz xyz ,试证：1

7、-1j11 x21 y2【解析】采用三角换元，设x tan A, y tan B , z tanC,且 A,B,C (0, )则代数式变换成三角式：tan A tan B tan C tan A tan Btan C 由于a，b，c (0,2),则式满足三角形内角的条件，即：a b c由于 1111111 x21 y21 z21 tan2 A 1 tan2 B 1 tan2 Ccos A cosB cosC则待证式变为：cos A cosB cosC 3. 2定理2.1 :在任何锐角三角形ABC中，恒有：cosA cosB cosC -(2 3)2证明:由于f(x) cosx在(0,)区间是向

8、上凸函数，由琴牛不等式知:函数的均值不大于均值的函数。即:即：cos A cosBcosC :.证毕。cos A cosB cosC ABC1cos cos 3332在证明定理1.5的注解中，已经解释了琴生不等式，即:对于向下凸出的 函数，函数的均值不小于均值的函数。那么，对于向上凸出的函数，函数的均 值不大于均值的函数。事实上，函数在x (-,)依然是凸函数，但是是向下凸出的函数。也许有人认为(2 3)式并不是对所有角成立，可事实上(2 3)式对锐角、直角、钝角三 角形都成立。 TOC o 1-5 h z 定理2.2 :在任意三角形ABC中，恒有：cos A cosB cosC 2证明法一：

9、由于C (A B),所以：cosC cos(A B) cos A cos B sin Asin B3 2(cos A cosB cosC)2222(sin A cos A) (sin B cos B) 2(cos A cosB cos A cosB sin Asin B)(sin A sin B 2sin Asin B) (cos A cos B 2cosAcosB) 2(cosA cosB)2(sin A sin B) 1 (cosA cosB) 2(cosA cosB)(sin A sin B)2 1 (cosA cosB)2 0即：3 2 (cos A cosB cosC) 0即：cos

10、 A cosB cosC 一. 证毕。2证明法二：设BC a, CA b, AB c,用余弦定理重写不等式。b2c2 a2c2a2 b2a2 b2c232bc2ca2ab 2去分母得：3abc a(b2 c2 a2) b(c2 a2 b2) c(a2 b2 c2)等价于：abc (b c a)(c a b)(a b c)与定理1.2中的（1 4）式相同在 Ch.1 , 我们证明了 R 2r等效于代数不等式abc (b c a)(c a b)(a b c)。在证明上述定理日寸，上式有等效于三角不等式cosA cosB cosC 3。有人会问：是否对任意三角形，cosA cosB cosC与九之2

11、r间，存在自然关系？这里R与r分布代表ABC的外接圆半径与内切圆半径。定理2.3 :设R与r分布代表ABC的外接圆半径与内切圆半径,则恒有下列关系:cosA cos B cosC(24)证明：由余弦定理得:,222 八 b c a cosA 2bccosB2 .22 b，2.2八 a bcosC 2ab上面三式相加并通分得:a(b2cosA cosB cosC22a ) b(c22222a b ) c(a b c )2abc2；尸2 ac2 a3 bc2ba2 b3a2c b2c c3)由三角形的面积公式得:一1 .S2 (a b c)r pr ,即:C 1 ,. A 1 ,S 一 bcsin

12、 A bca abc2R 4R即:abc4S及海伦公式:S2P(P a)(P b)(Pc)由得:4S2 pabc41 abc(P a)(Pb)(Pc)11 2abc(2P 2a)(2P 2b)(2P 2c)11 (b c a)(c a b)(a b c)2abc1 2abc 2abcc22.(a b)2(a b c)1 2abc 2abc2/c (a2c) (a b) (a bc)1 2abc 2abc2 acbc23/c (ab)2(a2b) c(a b)21 2abc 2abcac2 acbc2c3 (ab)(a2b2) a2c b2c 2abc1 ac22abcbc23.2a aba2b

13、b322a c b c对比式得:cosA cosB cosC 1证毕。【练习4】（a）设p,q,r为正实数，且r22 pqr 1 ,证明：存在这样一个锐角三角形ABC ,满足：p cosA ,q cosB , rcosC .cosC ,ab bcab(b)设 p,q, r 0 ,且 p2 q2且 A B C 时，A, B,Cbc ca设:2r 2 pqr 1%).12 设a,b,c为非负实数，ca abc 2.注意至U a,b,c1才能保证证明：当pcosB ,abc bc abc (1a2b2c2abco22a bc2abca）bc 0 ,我们现在证明abbcca abc2.c 2r ,代入

14、 a2 b2 c2abc4得到:222p q r 2 pqr 1根据上面的练习题，我们设:a 2cosA ,2cosB , c2cosC ,当A,B,C (0,一),且 A B C 时, 2我们需要证明:cos A cos B cos B cos CCA CArc1cos C cos A 2 cos A cos B cos C 2我们可以假设A 3,或12cosA 0请注意： cos A cosB cosB cosC cosC cosA 2 cosA cosB cosCcos A(cos B cosC) cosB cosC( 1 2cos A)3 cosA2由琴生不等式得：cosA cosB cosC 3 ,即：cosB cosC 2C) 1 cosA并注意：2cosB cosC cos(B C) cos(B C) 1 cos(B将代入得:co