三、完全四边形的一些性质

1、第一阶段内容三完全四边形的一些性质、内容概述几何中的完全四边形（完全四线形）定义：由四条直线或球面上四条大圆的弧组成，其中每一条直线或弧都与其余的直线或弧相交于三点（即没有三线共点）所构成的图形。或者我们把两两相交，且无三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形叫做完全四边形。如图，完全四边形ADCFBE中有ACE、AABD、ACDF、ABEF凸四边形：ADFE凹四边形：ACFB折四边形：CDEBEDB六个点：A、B、C、D、E、F三对角线：AF、DE、BC二、性质完全四边形中四个三角形的外接圆共点，称为密克尔点。完全四边形中四个三角形的垂心共线，称为垂心线。完全四边形的一条对角线被其余两

2、条对角线被其余两条对角线调和分割。过完全四边形的密克尔点作四个三角形的西姆松线，所得四线重合，称为完全四边形的西姆松线。完全四边形的西姆松线与垂心线平行。完全四边形的任一组“对节”在西姆松线（或垂心线）上的射影，其长度总保持相等。完全四边形的三条对角线的中点三点共线，这条直线被称为牛顿线。牛顿线与西姆松线、垂心线垂直。梅涅劳斯定理以完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴，且完全四边形的四个三角形的垂心在这条轴上，即垂心线（垂足线）。完全四边形中四个三角形的外接圆圆心共圆，这四个圆心每三个构成的三角形的垂心分别在构成完全四边形的四条直线上，且以这四个垂心为顶点构成的四边形与以四个圆心为顶点构成的四

3、边形全等。在完全四边形ABCDEF中，G是对角线AF所在直线上异于A的任意一点，则cotAGC+cotAGE，cotAGD+cotAGB三、自主尝试一试证明上述11条性质。四边形ABCD的两条对角线交于点O,两组对边的延长线分别相交于E、F，过O作EF的平行线交BC、AD于I、J.求证：OI=OJ.以厶ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E.过D、E作BC的垂线，垂足分别是F、G.线段DE、EF分别交于点M.求证：AM丄BC.四、一个命题的应用命题：如果完全四边形的三条对角线互不平行，则任何一条对角线被其他两条对角线内分和外分所得的四条线段都成比例。改述为：在完全四边形ABC

4、DEF中AC、BD、EF为三条对角线。设AC与BD、AC与EF、BD与EF分别交于点P、Q、R.证明：（1）EQER（2）_BP_BR（3）APAQQF_RFpdrdpcqc五、自主尝试二在完全四边形ABCDEF中,AC与BD交于点P,过P作EF的平行线分别与BC、AD、AB、CD交于点M、N、X、Y,证明：PM=PN,PX=PY.已知动点O在厶ABC内部，射线AO、BO、CO分别与对边交于M、N、P.设NP与AO、PM与BO、MN与CO分别交于点D、E、F.证明：不论点O位置如何变化，OD+OE+OF恒为一个定值。ADBECF六、完全四边形的部分优美性质性质1:在完全四边形PGCABH中，若

5、与边HC相切且与边GB切于点G的圆为圆O，与11111边GB相切且与边HC切于点H的圆为圆O，则对角线PA垂直于离点P较远的这两圆的外112公切线。性质2：在完全四边形ABCDEF中，过B、F作与对角线AB平行的线分别交对角线CE于G、H，连接BH、FG相交于点P，则点P在直线AD上。性质3：在完全四边形ABCDEF中，点G是对角线AD所在直线上一点，连接BG、CG、EG、FG。若厶GC二,AGE,则,AGB=ZAGF性质4:在完全四边形ABCDEF中，对角线AD所在直线交对角线CE于G，则厶GB,AGF的充要条件是AD丄CE。性质5：在完全四边形ABCDEF中，对角线AD、CE互相垂直，则CDE与CAE互补的充要条件是B、C、E、F四点共圆。性质6：过完全四边形ABCDEF的顶点A的直线交BF于M，交CE于N，交BD于G，交CD于H,则丄+丄=丄+丄.AMANAGAH性质7：在完全四边形ABCDEF中，对角线AD所在直线交BF于M，交CE于N，则MD(32J2)AN.性质8：在完全四边形ABCDEF中，G为AF上一点，直线CG与AD交于点H，