给联想装上雷达插上翅膀(原创)(共6页)

1、给联想装上雷达(lid)插上翅膀（原创(yun chun)）感悟到底有多少(dusho)种解法青铜峡市教研室 冯忠义在很久以前看到一篇名叫到底有多少种解法的文章，深深的被作者奇妙灵活而且有序的联想所折服，我什么时候具有如此的水平，我的学生什么时候也能够具有这样的能力，成为努力的目标。从此，探索联想的规律就成了时常在脑中泛起的想法，在十几年前，这个问题终于有了答案。如果你向高中生询问这样一个问题：“我想知道一棵树的高度，你可以有多少种方法求得？”客观的讲，这个问题不算难，一个高中生回答出二、三十种方法应该在情理之中的，但在大多数情况下，你会感到意外，下面是我的一些经历。在世纪九十年代前期，那个时

2、代的中学数学可比现在的标准高多了。有一天查自习，不断有高一的学生询问同一道题，不会解题的原因是题中一条线段的长度不会求，我没有直接回答问题，而是顺手指着教室门前的一棵树说：“你们可以用多少种方法得到这颗数的高度？”“砍倒、挖倒”之声此起彼伏。“你们谁去砍倒，挖倒试一试！”学生都笑了，“就算是一种方法，还要别的方法吗？”我问。“爬上去量”有位同学说道。“那你爬上去量一量吧！”学生又笑了，因为数尖很长一段付出细。“也算是一种方法吧！能不能有好一点的方法？”我笑着问道。过了一二分钟，有一位学生说：“可以找一根较长的竹竿，比一下，然后测量竹竿。”“很好，还可以利用什么？”“可以利用树旁的建筑物。”这里

3、值得深思的第一个问题是，为什么书上那些经典的方法学生没有想到？在此以后我在很多场合试过，大致如此。退一步讲，挖倒、砍倒这种最不好的方法，为何最先被想到？是教材的问题？教师的教法问题？还是思维的习惯问题？或者是其他什么问题？“难道我们高中生只能利用这类方法吗？”我又问。“可以利用树的影子，与树构成直角三角形的两边，通过解这个直角三角形，就可以得到树高。”一学生答道。“很好，有没有更巧妙的方法？”“当树的影子与树高相等时，即三角形是等腰直角三角形时，测量树的影子就可以得到树的高度。”那位学生接着答道。“太棒了！又如何知道三角形什么时刻成为等要直角三角形呢？”我问。“利用相似三角形。”那位学生答道。

4、“说一说你的具体做法”我问。“在地面(dmin)竖起一根与地面垂直的铅笔，当铅笔影子的长度与铅笔的长度一样时，树的影子的长度就是树的长度。”学生解释道。被称为(chn wi)数学之父的泰勒斯先生在公元前624年，曾用这种方法测得金字塔的高度。“如果树与地面(dmin)不垂直怎么办？”“利用斜三角形知识求解。”“使用什么公式？”“正弦或余弦定理。”通过启发，学生又想到了在一般情况之下利用相似三角形、全等三角形，甚至想到利用射影定理，三角形三边可求，则高（树）可求等等，至此已经有十几种解法了。这里难能可贵的是，学生几乎把所有三角形的相关知识都用上了，不足之处是学生的思维只是局限在解三角形范围之内（

5、平面之内、学科之内）。BCAD图一我顺手将两个30的直角三角板，一只平放在讲桌上，另一只与桌面垂直拼成一个立体图形（如图一）,在此图中，AB代表数的高度，图中BC、BD、CD的长度都可以测得，角度ACB、BCD、ADB等等也都可以通过测量得到。 我把垂直桌面的那个三角形反复放倒与桌面上的那个三角形重合，问道：“想出方法了吗？” 学生马上回答道：“在地面上构造一个三角形与空中的那个ABC全等，通过测量BD得到树高AB。”“如果人与树之间相隔一条小河呢？”我又问道，学生马上联想到前面那副三角板，想到在河面上构造一个与ABC全等的ADC，用AD来代替AB，ABABBCCCD图二DAE图四图三D还有学

6、生(xu sheng)想到退到D处（图三）通过(tnggu)解ABD，求得BC，再解ABC。值得表扬的是，有位学生想到利用(lyng)图四所示的图形，通过解BCD（线段CD可测，BCD、BDC也可测），求出BC，再解ABC，求得树的高度AB，这种解法以具有立体几何的意境了。如果这棵数换成了电视机的室外天线，顶部向下装有三根班线（俗称的拉线），如图五所示，在这种情况之下，怎么求室外天线的高度？实际是我们所学的数学中的什么问题？PAB图五OCAB图六PCD学生受到图四的解法启发，说出了好几种解法。我给大家总结道：“在实际操作中就是在地面找三个测量点就是图五中的A、B、C，构造一个三棱锥P-ABC，

7、通过解三棱锥的侧面PAB，再解POA来求三棱锥的高OP。”如果这棵数换成了电视机的室外天线，顶部向下装有四根班线呢？相当于数学的什么问题啊？学生马上回答道：“相当于求四棱锥的高。”这种通过求侧棱的长，而求锥高的方法，与卫星定位的原理有一些类似了。如图六所示，只不过图倒过来了。至此解题方法虽然很多，但都局限在数学范围之内，这时，我索性将学生带到树下，用力将树摇了一下，从树上落下几条虫子，我便指着虫子说：“这只虫子可以利用吗？”过了一会(y hu)，有一个学生兴奋的说道：“可以，虫子的下落(xilu)可以看成是自由落体。”随便(su bin)解释一下，因为自由落体的公式为S=0.5gt?，S可以看

8、成是树的高度，g是常量约等于10,而S就是虫子下落所用的时间，只要能够比较准确的测得虫子下落所用的时间，树的高度可求。这种方法用来求人可以方便到达顶部的楼、塔之类的建筑物的高度比较好。此时恰好有一条虫子沿着树干向上爬去，我顺口问了一句：“这只虫子又该如何利用？”马上有学生抢答：“可以利用速度公式，树的高度就是公式中的路程，它等于虫子爬行的速度乘以虫子爬到树的顶部所用的时间。”“太妙了”我肯定道。虽然虫子的爬行速度不一定均匀，也不一定能够爬到树的顶部，但在不少场合这种方法还是可以应用的。“你们能不能再设计一些方法来求树的高度？”我接着说道。有一个学生答道：“找两个同学，一个向上抛石头，一个测量时

9、间，当所抛的石头恰好与树一样高时，记录下从抛出到落地的时间，利用自由落体的公式将可以算出树的高度。”接着，我引导学生将计算树的高度的方法归纳一下，发现了以下两个特点：1 用到的公式都含有长度这个量。2 公式中的其他量，可知、可求或者可以测得。换句话说，凡是与长度有关的公式都有可能用来求树的高度（联想的思路或者说是联想的方法），可行不可行要看公式中其它量是否可知或者可测。这种联想的方法，打开了章节的限制，也打开了学科的限制，使得思维即具有了方向，又具备足够的宽度，也就是思维即有敏捷性，也具有多样性。这种联想的方法应用的是相关性原则，体现的是方程的思想。顺着这个思路，我又询问学生还有那些知识、公式

10、与长度相关，可能用来求长度？学生总结了以下一些方法：正方形、长方形、梯形、面积公式、体积公式、气压、水压、声波、水波、电磁波、光波其中利用电磁波测距是现代卫星定位、GPS导航系统的关键技术。“如果我们继续学习下去（或者考上大学），还能找到其它的方法吗？”我问道。“肯定可以”学生答道。“为什么？”“因为今后肯定还会学到与长度有关的公式！”至此，学生的思维已经具有了开放性，具备了很高的发散性。为了能够将这个联想方法推广开来，我又设计了以下一些思考题，让学生的联想能力从树高推广到求所有的长度，从求长度推广到求数学的其它量，从数学推广到物理、化学、生物、地理、语文以及我们的日常生活中。思考题一：上述方

11、法除了可以用来求树的高度，还可以用来求什么？学生混乱的抢答道：“楼高、塔高、山高、河宽、水深、远近，求所有的长度都是可能的方法。”解题方法大致相同，但是有特殊情况出现。这里仅举一例来说明特殊情况，求一个长方形的钓鱼池（假设长度非常的长）的宽度，就可以在池子的边上扔石头的地点一块石头，当水的波纹到达对岸时，记下此时水的波纹传到人所在的这个岸边的地点，测量一下此地点与扔石头的地点之间的距离，就是池子的宽度。应用的原理是园的半径处处相等。思考题二：空中(kngzhng)悬停的直升飞机的高度怎么测量？个别(gbi)学生答道：“利用三棱锥、四棱锥求锥高的方法(fngf)解决。”随便说一句，此题的解法比较

12、少，但如果你具备了上述联想方法，总是能够想出来的。三棱锥的侧棱能够求出，则锥的高度就能够求出，这也是卫星定位、DPS导航的原理。思考题三：直升飞机平飞，其高度、速度航线如何测得？（这个问题让学生几天之后再回答）步骤一：一组三个学生分开在三个地方，在同一个时间测角度。相当于测三棱锥的侧棱与底面的角度，然后再测三人之间的距离，再解三棱锥的侧面三角形，然后再求直升飞机的高度。步骤二：在直升飞机的大致航线附近再分布一个或者几个测量小组，在事先约定的时间间隔内测出飞行距离，然后计算出飞行速度，航线可以依次把前后测得的空中位置与底面对应起来，在地图上标注出来即可。这个问题的难度不在解题方法上，而在测量的技

13、术上。它的优点是把静态的推广到动态的。这也就是由卫星定位发展到卫星导航。思考题四：全球卫星定位系统，全球卫星导航系统的使用原理是什么？为了让广大的读者也明白这个道理，我从简单的三角形讲起，它们的定位原理是一样的。原理一：我们找三根能够组成三角形的木棍，把其中的一根（相当于三角形的边AB）固定在黑板的下沿，然后把剩下的两根，与前面的那一根首尾连接组成一个ABC，如果两颗卫星的位置相当于点A、点B的话，点C的位置在黑板上是唯一确定的（黑板的下方含有一个，不过它不在黑板上），点C如果站一个人的话，那么，这个人的位置，就可以用AC、BC两根棍子的长度确定下来。原理二：用铁丝制作一个三角形ABC，固定在

14、地面上，然后，再找三根能够与铁丝三角形组成三棱锥的细木棍，然后，制作一个三棱锥P-ABC，不难发现，如果铁丝三角形是固定的，那么，三棱锥的顶点P，也是固定的。与前面那个例子类似的是，三根细木棍的长短，可以决定P点的位置。如果我们把这个铁丝三角形固定在教室的天花板上，在三角形的三个顶点，系三根细绳，把三根线绳拉紧捏在手中，此时，手的位置也是唯一确定的。如果教室天花板上这个铁丝三角形的三个顶点处是三颗卫星，手的位置相当于有一个人，那么，人到卫星的距离（三根细绳的长度），能够测量出来的话，人的位置就能够确定下来！如果我们把房子的天花板的四角ABCD钉上钉子，然后栓上四根细绳，把四根细绳都拉紧紧捏在手

15、中，如图六所示，与三根细绳同样的理由，手的位置P是唯一固定的。如果四角栓细绳的地方，换成四颗定点卫星，那这个系统就类似与卫星定位系统、卫星导航系统，手的位置P相当于人站的位置，而四根细绳的长度相当于人到四颗定点卫星的距离，人的位置是由这四个距离确定的。思考题五：如果求长度的问题变成了求面积的问题，这种联想方法(fngf)还能继续使用吗？可以。所有含有面积的公式(gngsh)，都有可能用来解决这个问题；能不能解决要看公式中除了面积这个量之外，其它各个量是否可求或者可测；方法的好坏取决于“其它(qt)各个量”是否好求或者容易测量。思考题六：你能不能把这个联想方法推广到数学中求其它量呢？请举几个例子

16、。可以。例如求体积、角度、斜率、数列求和、求通项公式等等。当然，也可以推广到证明题。例如，平面几何，立体几何中线段相等的证明，它的联想方法就是，课本中所有与线段相等有关的定义、定理和公式都有可能用来证明这道题目；能不能证明要看你所选的方法中所涉及的“其它各个量”是否成立、是否可求。如此，平行、垂直、角度相等、线段成比例等等证明都可以如此联想思考题七：这种联想方法可以推广到其它学科吗？请举几个实际问题。可以。例如物理学科中求速度、时间、压强、力、电压、电流强度、电阻、各种能量；化学中求分子量、原子量；地理中某个地区的气候分析，与气候有关的各个因素都思考一遍，该地区的气候大致可以确定（纬度、海拔、

17、海陆位置、地形、季风等等）我给大家举一个时间测定的例子。准确的时间测定有着很广泛的应用。考古时所采用的元素半衰期的原理来考证某件物品的产生年代，这个方法就是利用了的物品中某种元素的半衰期与时间有着密切的关系而来的。在夏商周断代工程中，用天文学上日食、月食、彗星现象是周期发生的，再结合古代的有关这方面的记录，就可以把古代某件事情发生的年代，限定在一个很小的时间范围之内，结合其它手段，就可以把夏朝、商朝和周朝的具体存在的时间确定了。生物学上，虫媒花何时出现的，用考古的方法来考证花出现的年代，由于花的标本太难寻找了，科学家就采用相关性原则，来考证“虫”的产生年代，大致测算花出现的年代。天文学中，利用“红移”现象来考证某恒星与地球之间的相对运动方向、速度、距地球的远近，也是应用了相关性原则。在现代刑侦学中，人的死亡时间与死者胃