由递推公式求通项公式六法3

1、由递推公式求通项公式六法景泰五中 王喜民 罗耀娟 辅导教师 何成达递推公式是给出数列的方法之一，给出数列时，必须遵循递推关系，即由第一项求第二项，再由第二项求第三项依次递推，如若直接求数列中某一项时，就需要由递推公式求通项公式，笔者在初学时，对这类问题感到类型繁多，无从下手，而后在这方面进行了探究，对其解法进行分类研究，经同学讨论，老师指导，形成方案.现将探究结果分类整理总结如下.方法一：公式法数学课本中介绍了两种特殊数列（等差数列和等比数列）的通项公式：an=a1+(n-1)d和an=a1qn-1.问题中若给出形如an+1=an+p或an+1=p (p为常数）的递推关系，就能判断该数列为等差

2、数列或等比数列，求出基本量代入即可.例题一: 数列 an 中，a1=2，an+1=an+2，求an. 求由递推公式得an+1-an=2，所以数列 an 是首项为2，公差为2的等差数列，代入公式可得:an= a1+(n-1)d=2+2（n-1）=2n.例题二：数列 an 中，a1=2，an+1=3an，求an.由递推公式得=3，所以数列 an 是首项为2，公比为3的等比数列，代入公式可得:an= a1qn-1=23n-1方法二：逐差累加法 当给出数列的递推关系为:an+1=an+f（n）时，可用此法，将邻项逐差得： an+1-an=f(n),an-an-1=f(n-1),a2-a1=f(1)，

3、且f(n)+f(n-1)+f(2)+f(1)可求得时，两边累加抵消中间项，可得通向an. 例题三：数列an中，a1=1 ，an+1=an+2n ,求通项an. 由递推关系得：an+1-an=2n，将各相邻项逐差：an+1an=2n ,an-an-1=2，a3a2=22 a2-a1=21 .两边累加得:（an-an-1）+（an-1-an-2）+（a3a2）+（a2-a1）=2n-1+2n-2+22+2,化简得：an-a1= 即an=2n-2+a1=2n-1 .当n=1时也符合,所以an=2n-1.方法三：逐商累乘法： 当给出数列的递推关系为: an=an-1f（n-1）,或者变形后为型，且f(

4、n-1)f(n-2)f(2)f(1)可求得时，将其逐项相除得：=f(n-1)， =f(n-2)=f(2)， =f(1) 两边累乘得：f(n-1)f(n-2)f(2)f(1).化简得: =f(n-1) f(n-2)f(2)f(1)，最后求出.例题四：数列an中,a1=4,nan+1=(n+2)an,求an. 由递推关系可得：于是有, , .将这（n-1）式子累乘得：= ，化简得：, 即an= a1所以 当n2时，an=2n(n+1) . 当n=1时也符合， 所以an=2n(n+1).方法四：构造等比数列法 （1）待定系数法构造等比数列 当递推关系为=pan-1+q（p,q为常数. )时，可构造新

5、的等比数列an+M,求得an+M后求an .例题五：数列an中， =3,=2an+1. 求通项an . 令an+1+M=p(an+M) 即an+1+M=2(an+M)，求得M=1 （也可用公式M=）， 所以由递推关系得: an+1+1=2（an+1），所以， 所以数列an+1是首相为4，公比为2的等比数列 , 所以 +1=42n-1=2n+1 ，所以an2n+1-1，当n=1时也适应 . 即：an2n+1-1 （2）取对数构造等比数列 当给出数列的递推关系为：an+1=panr(p， r为常数，且p0， an0）时，将递推关系两边取对数得：lgan+1=rlgan+lgp ，令bn=lgan

6、，则bn+1=rbn+lgp 再利用（1）中方法构造等比数列bn+M从而求得通项bn+M ， 最后求出an.例题六：数列an中，a1=3 ， an+1=3an2 ,求an.由已知an0，在递推关系的两边取对数得:lgan+1=2lg an+lg3 ,令bn=lgan ,则 bn+1=2bn+lg3 ,所以bn+1+lg3=2（bn+lg3）,即， 所以bn+lg3是首项为2lg3，公比为2的等比数列，所以bn+lg3=2lg32n-1 所以bn= 2n-12lg3-lg3，所以lgan=（2n-1）lg3, 所以.方法五：取倒数构造新数列法当给出数列的递推关系为:（p，q为常数时).可分以下两

7、类情况. （1）当q1时，将递推关系两边取倒数, 再利用方法四中（1）构造等比数列从而求得an.例题七：数列an中，=1，=,求.两边取到数得利用方法四可构造等比数列，其首项为2，公比为2.所以=2,即从而求得an= （2）当q=1时，将递推关系两边取倒数得：,即然后构造等差数列，利用等差数列通项公式求得,去倒数后可求得an .例题八：数列an中，a1=2,且求an .将递推关系的两边取倒数得, 即,所以数列是首项为,公差为3的等差数列，所以 所以 .方法六：“和与项”互化法 当递推关系中出现sn时，一般可利用an =s-s将“和化项”或者将“项化和”后再求an （1）“和化项”法例题九：数列

8、an 中，a1=2， sn=4an+3 ，求an .当n2时，由sn=4an +3得sn-1 =4an-1 +3 , - 得s-s=4a-4a即a=4a-4a,所以3an=4an-1 所以 所以数列an是首项为2,公比为的等比数列，所以an=2（）n-1 .当 n=1 时 也 适 应,所以通项：an=2（）n-1（2）“项化和”法例题十：数列an 中，a1=， ，求通项an 解析：当n2时,利用an =s-s将“项化和”得：s-s+2=0, 移项得：s-s=-2,两边同除以得：-=-2，即-=2，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以=2+（n-1）2=2n, 所以s=,由an =s-s得：an =