土木工程测量讲义5误差理论

1、测量学第五章 测量误差基本知识4915-1 测量误差概念一、测量误差产生的原因二、测量误差的分类与处理原则三、偶然误差的特性492一、测量误差产生的原因产生测量误差的三个因素： 仪器原因 仪器精度的局限性,轴系残余误差等； 人的原因 判断力和分辨力的限制,经验缺乏等； 外界影响 气象因素如温度变化,风力,大气折光等 。结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词： 观测条件 上述三大因素总称为观测条件 观测精度 在观测条件基本相同的情况下进行的 观测，称为“等精度观测”；否则， 称为“不等精度观测”。 493二、测量误差的分类与处理原则（一）系统误差 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，

2、如果误差的出现在符号(正负号)和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。 系统误差对观测值的影响有一定(数学或物理)的规律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定方法使其削弱或抵消。494 按测量误差产生原因和对观测成果的影响，分为系统误差、偶然误差和粗差。495 钢尺尺长误差 Dk 钢尺检定,尺长改正 钢尺温度误差 Dt 钢尺检定,温度改正 水准仪视准轴误差 i 中间法水准,前后视等距 经纬仪视准轴误差 C 盘左盘右观测,取平均值 对系统误差采取措施举例：误差来源采取措施 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律

3、性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。 偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，在实践中发现具有统计学规律。（三）粗差 由于观测者的粗心大意,或某种特别大的干扰而产生较大的误差称为“粗差”(俗称错误)，应避免和舍弃粗差。 偶然误差举例：仪器对中误差,气泡居中判断、目标瞄准、度盘读数等误差,气象变化等外界环境等影响观测。496（二）偶然误差（四）误差处理原则497粗 差 细心观测，用多余观测和几何条 来件来发现，将含有粗差的观测 值剔除。系统误差 找出发生规律，用观测方法和 加改正值等方法抵消

4、。偶然误差 用多余观测减少其影响，利用 几何条件检核，用“限差”来 限制。 三、偶然误差的特性 偶然误差的定义 设某一量的真值为X，对该量进行 n 次观测，得n个观测值 ，产生n个真误498l1, l2, ln1,2,n真值与观测值之差定义为“真误差”,真误差属于偶然误差,但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和计算中,在一般情况下真值是不知道的，只能根据几何条件等间接知道真值,例如三角形三个内角之和为180(真值),而三个内角的观测值之和也可以作为一个独立的观测值，据此求得三内角之和的真误差(称为三角形角度闭合差)。 多次观测中寻找偶然误差的规律： 对358个三角形在相同的观测条件下观测了

5、全部内角,三角形内角之和的真值为180，观测值为三个内角之和 (i +i+ i)，因此其真误差(三角形闭合差)为： i = 180 ( i + i+ i)观测数据统计结果列于表5-1,据此分析三角形内角和的真误差 i 的分布规律。499 表5-1 偶然误差的统计 4910误差区间 d 负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.0

6、36260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724以上000000181050517704953581000偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差不超过一定数值；渐降性：误差绝对值小的出现的频率大，误差绝对值大的出现的频率小；对称性：绝对值相等的正负误差频率大致相等；抵偿性：当观测次数无限增大时，由于正负相消，偶然误差的平均值趋近于零。用公式表示为：4911三角形闭合差的频率直方图 正态分布曲线以及标准差和方差4912 在统计理论上如果观测次数无限增多(n)，而误差区间d又无限缩小，则频率直方图成为一条光滑的曲线，在统计学中

7、称为偶然误差的“正态分布曲线”,其数学方程式为：式中参数称为“标准差”,其平方 2 称为“方差”,方差为偶然误差(真误差)平方的理论平均值：标准差的计算式：5-2 评定测量精度的标准一、中误差4913用标准差衡量测量观测成果的精度，在理论上是严格和合理的。但在实际测量工作中，不可能对某一量进行无穷多次观测。因此，定义：根据有限次观测的偶然误差，用标准差计算式求得的称为“中误差”，其计算式为：选择两组三角形内角之和的观测值，求得三角形角度闭合差，分别按上式在表5-2中计算中误差，得到： 第1组: m1= 2.7 第2组: m2= 3.6可见第1组的观测精度高于第2组。按观测值的改正值计算中误差4

8、914表5-2m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值误差的正态分布曲线的比较：m1= 2.7m2= 3.64915不同中误差的正态分布曲线4916二、相对误差三、极限误差（容许误差） 某些观测值的精度如果仅用误差衡量，还不能正确反映其质量，例如，距离测量误差应与长度成正比。观测值的中误差除以观测量，称为“相对误差”。例如200m距离的测距中误差为2cm, 测距的相对误差为110000; 500m距离测距中误差也为2cm，则测距相对误差为125000；后者精度高于前者。 根据正态分布方程式，可以表示误差出现在微小区间d的概率： 将上式

9、积分，得到偶然误差在任意大小区间中出现的概率。设以k倍中误差作为区间,则在此区间中误差出现的概率：4917分别以k=1,k=2,k=3代入上式，可得到偶然误差的绝对值不大于中误差、2倍中误差、3倍中误差的概率： 由此可见，大于2倍中误差出现的概率小于5，大于3倍中误差出现的概率小于0.3。因此，测量工作中以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“允许误差”或“限差”。49185-3 观测值的算术平均值及改正值 一、算术平均值 在相同的观测条件下，对某一量进行n次观测，观测值为li (i=1n), 取其算术平均值 作为该量的最可靠的数值（故也称“最或然值”）： 算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以

10、用偶然误差的特性来证明：证明算术平均值是最或然值4919按真值计算各个观测值的真误差：将上列等式相加，并除以n,得到：故算术平均值比较接近于真值，而成为最可靠的数值：二、观测值的改正值最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”(简称改正值) v :4920对vv求极小值：算术平均值符合最小二乘法原理取改正值总和：说明：一组观测值取算术平均值后，各个观测值的改正值之和恒等于零，此可以作为计算的检核。5-4 观测值的精度评定在同样观测条件下对某一量进行n次观测，求得算术平均值及观测值的各个改正值 v，据此计算观测值的中误差：4921对比按真误差计算中误差的公式：两者差别仅在于以（n1）代替 n，以

11、 代替真值X： 两式取总和并顾及偶然误差的相消性，可以证明：因此可以按观测值的改正值计算中误差算术平均值计算的实用公式 由于各个观测值相差很小，为计算方便令其数值的相同部分为l0 ,差异部份为l，即 li =l0 +li ,算术平均值的实用公式：4922按各个观测值的改正值计算观测值中误差的公式：按观测值的改正值计算中误差的算例 （一段水平距离的多次观测）4923 次序观测值l(m)l(cm)改正值v(cm)vv (cm2) 算术平均值及 观测值中误差1120.031+3.1-1.41.96算术平均值:=120.017 (m)观测值中误差:=3.0 (cm)2120.025+2.5-0.80.

12、643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81(lo=120.000)+10.20.045.26 计算算术平均值及其中误差的小结：一、 已知真值X,进行n次观测，则计算观测值的真误差与中误差。二、真值不知,则进行 n次观测，计算算术平均值、改正值及其中误差。4924中误差：真误差：中误差：改正值：算术平均值：5-5 误差传播定律4925一、观测值的函数测量所采集的数据(量)并非都是直接观测值，而是观测值的函数。观测值的误差使其函数也具有一定的误差。例如：和差函数 例如算术平

13、均值例如斜距改平例如分段量距相加例如图上量长度,化为实地长度倍函数 线性函数 和差函数 二、一般函数的中误差4926 举例说明：矩形地块，量长度a、宽度b，求其面积 P。面积是观测值长度a和宽度b的函数，函数式为：对函数式中的自变量a、b求偏微分:将微分元素以偶然误差i代替面积误差(图中阴影面积)具有直观的几何意义4927对于上述地块的长度和宽度进行n次观测：上列n个等式平方后取其总和，并除以n,得到：根据偶然误差的抵偿性，得到：按照中误差的定义，上式可改写为求面积中误差公式：对于一般函数（包括和差函数、倍函数、线性函数）：4928误差传播定律 一般函数的中误差计算式中xi为自变量(独立观测值

14、)，设mi 为观测值的中误差，Z 为独立变量的函数。则 Z 的中误差为：式中 为各个变量的偏导数。4929三、线性函数和倍函数的中误差 线性函数：自变量的偏导数：按照误差传播定律，得到线性函数的中误差：算术平均值 也属于观测值的线性函数，根据误差传播定律：4930由于是等精度观测,因此 m1 = m2 = = mn = m由此可见，算术平均值的中误差比观测值的中误 差小 倍。如果线性函数只有一个自变量： , 则成为倍函数，其中误差为：上式中的系数 k ，即为误差扩大的倍数。4931函数式为： D=500 d实地距离和量距中误差为：该距离及其中误差可以写成： 例：量得比例尺为 1500 的地形图

15、上两点间长度 d =134.7mm, 图上量距中误差为 0.2mm, 换算为实地距离 D 和量距中误差 mD 。其他线性函数，例如和差函数：4932其中误差均为：和差函数的中误差计算方式也可用于多种独立误差来源的观测值中误差的计算。例如用测角仪器观测水平方向时，同时受到对中、瞄准、读数、仪器误差、大气折光等误差影响，观测水平方向的偶然误差是这些误差的代数和：故观测水平方向的中误差为：误差传播定律小结第一步：写出包含各个自变量(独立观测值)的函数式第二步：写出全微分式(计算对各个自变量的偏导数)第三步：按误差传播定律写出中误差关系式注意：误差传播定律只适用于将各个独立观测值作 为自变量。如果观测

16、值之间是相关的，则得到 的结果将是不严格的。4933函数式：函数中误差：5-6 误差传播定律的应用4934一、距离测量的精度光电测距的误差来源有：仪器误差、气温气压测定误差、仪器对中误差、倾斜改正垂直角测定误差等。这里仅讨论前二者，即仪器频率调制误差 d f、测定相位的误差d 以及气象测定误差影响折射率 d n。斜距测定的函数式对各个自变量求偏导数得到真误差关系式用误差传播定律得到光电测距中误差的估算式：4935上式根号内第一项为测定相位误差的影响，它与距离长短无关，称为“常误差 a”；第二、第三相为气象测定误差与频率误差的影响，它们均与距离长度成正比，称为“比例误差 b”。因此,光电测距的误

17、差估算式： 上式常作为测距仪本身的精度指标，a 的单位为mm，b为百万分率，即每公里的毫米数(mm / km)。二、角度测量的精度 DJ6级经纬仪和6秒级全站仪一测回方向观测值中误差 m =6，水平角为两个方向观测值之差，故半测回水平角观测的中误差为： 4936 一测回水平角取盘左盘右角度的平均值，故半测回水平角值的中误差为：盘左、盘右水平角值之差的中误差为：以2倍中误差作为极限误差为34(一般规定40)多边形水平角观测角度闭合差的规定 多边形内角(水平角)之和在理论上应为(n-2)180,由于水平角观测中的偶然误差，产生角度闭合差：4937每个角度的测角中误差为m ,则n个角度之和的中误差:

18、以2倍中误差作为极限误差,则n边形的角度的允许闭合差 例：设水平角观测的中误差m =18,则三角形的允许角度闭合差：三、水准测量的精度 水准测量高差测定的计算式 h = a - b,设用S3水准仪在水准尺读数的中误差m = 1 mm，则一次测定高差的中误差：4938两次测定高差之差 h = h1- h2 ,则高差之差的中误差： 以2倍中误差作为极限误差,则允许的高差之差为4 mm水准路线高差测定的精度4939在一条附合水准路线进行水准测量,共设n个测站,其高差的总和：设水准尺读数误差为m,每次高差测定中误差为mh,则线路的高差总和的中误差：设水准线路长度为L,各测站前、后视平均长度为d,单位长

19、度的高差测量中误差为m0,则：，L以公里为单位m0为每公里高差测量中误差4940上式说明：水准测量的精度与水准路线的长度的平方根成正比。水准测量的等级以每公里高差测量的中误差mo作为精度指标：水准测量等级 一等 二等 三等 四等mo1 mm2 mm6 mm10 mm据此,可以按水准测量等级和设计水准路线长度,估算水准测量全程的高差中误差。例如,路线长5km的四等水准测量的精度：四、坐标计算的精度4941 两点之间,如果已测定其水平距离D和方位角,则可按下式计算其坐标增量：对观测值(自变量)D和求偏导数,得到函数式的全微分：按误差传播定律,将上式转换为坐标增量的中误差表达式4942坐标增量的中误

20、差: 上式右边根号内第一项为纵向误差,是由距离误差造成,第二项为横向误差,是由角度误差造成。由纵横坐标增量误差或纵横向误差，形成两点间的相对点位误差：一、不等精度观测与观测值的权49435-7 加权平均值及其中误差 同一量的一系列等精度观测值可以取其算术平均值，而同一量的一系列不等精度观测值则应取其加权平均值。“权”(P)意为衡量轻重,观测值的中误差(m)小,则权大;反之则权小。定义权与中误差的平方成反比：C为任意常数。等于1的权称为“单位权”,权等于 1 的中误差称为“单位权中误差”( mo )。因此,权和中误差的另一种表达式为：4944 为了使“权”的概念简单明了，取一次观测、一个测回或单