赌本的公平分配

1、浅谈赌博问题中赌本的公平分配1、 绪论1. 1综述公平分配赌本问题的大意是：甲、乙两人各拿出相同的一份赌注来赌博，赌 博形式是同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点， 先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因 中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理？这个问题相传是1645年法国著名数学家巴斯卡(Pascal)和费马(P Fermae)多次书信来往中讨论的一个问题。 费马与巴斯卡进行了几次通信，不仅完全地解决了这个古老的赌博难题，还为解决其他机会性游戏搭起了框架，于是后人把他们建立通信联系的这一天看作是现 代概率论的生日，概率论即由此而产生了。

2、概率论作为一门独立的数学分支，是一门研究随机现象的数量规律的学科。 从它的起源至近并没有多长的时间，但是，在这段时期，特别是近期，概率论对 人类社会的影响却异常重要的。它已被广泛的应用于物理学、生物学、工程技术、 农业技术和军事技术等诸多方面，近期更是有越来越多的概率论方法被引入经 济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。而概率论引入统计后，更使 统计方法体系越来越严谨、广博，并形成具有自身特点的认识模式，即以概率论 为基础的统计思想体系，使统计由描述走向推断。概率论起源于15-16世纪时对赌博问题的研究，通过对其中概率问题研究讨 论，才使概率论逐渐发展成一门逐渐成型的学科。 而它真正的

3、奠基人是雅格布伯 努利(Jacob Bernoulli,1654-1705),他在遗著猜度术中首次提出了后来以“伯 努利定理”著称的极限定理，此书成为概率论的第一本专著，在概率论发展史上 占有重要地位。由他的名字命名的伯努利试验和伯努利概型更是成为概率论中的 经典。之后又有棣莫弗、蒲丰、拉普拉斯、高斯、泊松、切贝谢夫和马尔可夫等 诸多名家对概率论做出了许多工作， 使得概率论开始形成了一门严密、系统的学 科。伯努利概型是概率论中研究得最多的一种数学模型，尽管它比较简单，却也 概括了许多实际问题，因而很有实用价值。而巴斯卡分布又作为伯努利概型中一 个重要的分布形式，是一种非常简单、常用的随机模型，

4、被广泛的应用于产品检 验和质量控制中。所以，我们现在来研究这个赌博问题， 研究巴斯卡分布是很有 必要的。那么，就让我们从巴斯卡和费马的方法开始，来慢慢解答这个曾经困扰了世 界多年的问题，同时，我也将尝试着用现在已学到的概率论的知识来补充当年他们没做完的一些事，并充分的介绍一下巴斯卡分布1. 2基础知识1、巴斯卡分布：k-11 r巴斯卡分布既然是属于伯努利概型，所以首先它便是满足伯努利试验中的一 些规律：在试验中，事件域可取为0 , A, A , G,并称出现A为“成功”， 出现A为“失败”。这种只有两个可能结果的试验称为伯努利试验。在伯努利试 验中，首先是要给出下面概率：P(A) = p, P

5、(A) = q。显然p0,q0,且p+q=1 而巴斯卡分布的基本模型为：k _r，k=r, r+1,f (k;r, p)=其描述的内容为考察在伯努利试验中要多长时间才会出现第r次成功。首先，若第r次成功发生在第己次试验，则必然有己r0我们以Ck表示第r次成功发生在第k次试验这一事件，并以f (k； r, p)记其概率，Ck发生当且仅当前面的k-1次试验中有r-1次成功，k-r次失败，而第k次实验的结果为成功,这些事件的概率分别为 一1 pr,qJ与p,于是利用试验的独立性，得到1rc/c、 k _1r 1 k.rk -1 r k_cP(Ck )=, p q 即=,p q即一、/k-n r J

6、, 一 f (k;r, p) = p q , k=r, r+1,D注意到0000 fk -1 .Z f(k;r, p) =Z p q kHkn 1r - 1 ,g，r +i _1、 (_ rk r 11 r l 寸1 iz l r l=p q =(-1) p q1=0r 1 y1=0 v. l =pr(1 -q) = 1 , l=k-r这里利用了推广的二项系数公式一r =(-1)1r r -1 。证明如下:l Jl Jr、 A-r (-r -1)(-r -2)* (-r -l +1)J/=I!(-1)1 r l -1 r l -2 j i r 1 r一l!= （）=（r l -1即得所求。2、

7、巴斯卡分布的期望和方差：因为当r=1时，该分布便成为几何分布，所以巴斯卡分布期望方差的计算可 以依赖于几何分布的结果，而几何分布的期望方差又可通过对其矩母函数的求导 来得出。如果随机变量X服从参数为p的几何分布，则可以通过对其矩母函数的求 导得：E(X )=%(0)=qP2,Var(X1 )=乜(0)-/1(0)=现在由概率论的知识可知，假定 X服从参数为r和p的巴斯卡分布，则X可以表示成r个独立随机变量的和X1十十Xr ,且每个随机变量均与 “是有相同的分布，则由几何分布的结果得：E X二巴,Var X二鸟。PP显然，当0Vp1时，其方差大于期望。2、巴斯卡与费马的通信2. 1如何公平分配赌

8、本对于这个问题，也许有人说：甲应该得到全部的100法郎，因为这个赌博只 有两种结果，而现在甲领先；又有人说：既然比分是 2: 1,那么甲应该得到赌 金的2/3,乙得另外的1/3。但真实情况是怎样的呢？据说对于这个赌本问题，巴斯卡和费马共有7封来往信件，其中巴斯卡致费 马的有三封。不管真实情况是怎样的，总之他们都给出了自己的答案，虽然是两 份看似不同的答案，但他们都不约而同的运用到了组合工具和递推公式， 使得问 题能顺利解决且直接推导出了雏形的巴斯卡分布函数。巴斯卡的做法是：可以先认为甲、乙两人赢得一局的概率相同，都是1/2,那么就可以从第四局开始计算了。甲有两种情况获胜，即直接赢了第四局获胜，

9、它发生的概率为1/2。另一种情况是第四局输了但第五局赢了，它发生的概率为乙赢得第四局的概率乘上甲赢得第五局的概率，为 1/2*1/2 ,则甲获胜的概率为 1/2+1/2*1/2=3/40同理，可计算出乙获胜的概率为 1/4,这也正是两人公平分配 赌本的方式。费马的做法是：也先需设双方赢得一局的概率相同，都是 1/2。之后显然最 多再比两局便可分出胜负了，其中甲要获胜，只需在这两局中赢下一局即可。 此 时费马想到的是二项分布，即有甲获胜的概率为 C22+点22=3/4,乙要获胜 则必须连赢两局，其概率为C；2/=1/4,得到了与巴斯卡相同的答案。这两种方法有着明显的相同点，而且由此推出的结果的计

10、算式子都是一样 的，这多少让人看的有些眼花缭乱。 其实这是再正常不过的了，因为他们只是从 不同的角度出发，最终推出的都是解决此类问题的巴斯卡分布概率。那么巴斯卡和费马的推导又到底有那些不同，这个赌本问题就只是这样简单吗？显然两位学 者并不想就此放弃向深处探讨的机会，否则他们也就成为不了伟大的学者。2. 2巴斯卡与费马的通信现在让我们再回到那个分赌本的问题，在给定输赢局数的情况下，巴斯卡和 费马都解出了相同的答案，但他们并不仅仅满足于此，他们分别用自己的方法将 此问题推广开来，使问题在输赢局数不给定的情况下也有了它的解法，这才是他们真正伟大和有区别之处了。首先，我们可以把问题假设为：甲、乙两人各

11、拿出相同的一份赌注来赌博， 赌博形式是同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点， 先积满t点者赢取全部赌注。假定在甲得r点、乙得s点(rt, s01(2)kk1/2(3)1211/23/4(4)1313/47/8(5)1417/815/16(6)237/81/211/16通过细心观察，巴斯卡很快发现其中的规律，并认为对一般情况也成立，即:(1-1)1/1,e n,m = - e n -1,m +- e n, m -1边界条件为:e 0,k =1,e k,k =1/2,e n,0 =0上式是一个简单的偏微分方程，也是一个递归方程。它非常类似算术三角形的一个性质：ClC* C：

12、巴斯卡对算术三角形的这个性质当然非常熟悉，于是他令便猜出e( n m=C： =Cmm ,(1-2)mJe n,m = c(力，k=02并且证明了他的猜想。实际上，式1-1是一个全概率公式的简单应用，即如果赌 博不被打断，双方再赌一局，则 A以1/2的概率或胜或败，因此式1-1成立。费马考虑了一个简单的情况，（n,m尸（2, 3）。虽然赌博最多需进行2+3-1=4 局才结束，但也可能在这之前就结束。不过费马认为想象赌博共进行4局并不影 响赌本的分配结果，这一点可从下表中看出：第一局结果AAAAAAAAAAAAAAAA第二局结果AAAAAAAAAAAAAAAA第三局结果AAAAAAAAAAAAAA

13、AA第四局结果AAAAAAAAAAAAAAAA最终结果AAAAAAAAAAAAAAAA从表中可以看出，在总共16种结果中，有4种甲在第二局胜出；有4种甲 在第三局中胜出；有3种甲在第四局胜出。据此费马得出结论：4 4 3 11e（ 2,3 ）= o1616推广到一般情况，不妨设nm,则甲可能在第n局取得最终胜利，也可能在 第n+1, , , n+i, , , n+m-1局取得最终胜利。利用加法公式和负二项公式不难 得出结论：(1-3)心 n 1 e n,m =、C：k=02费马并未直接给出式1-3,但他在信中明显认为（n,m尸（2, 3）时的结论对 一般情况也成立。至此，巴斯卡与费马终于联手解

14、决了赌本分配问题， 同时也为 最终建立概率原理迈出了伟大的一步。不难证明，两人给出的结论是一致的。不 过费马明显使用的是负二项式，而现代人却称之为巴斯卡分布。故此时的分赌本问题的解决方案为m 1m 1m人= C：；/： i,k=9I2，-1- p甲= C：g(1 产：1- C：/W严k z02k 02m-J1-Z C：；k=0巴斯卡和费马的通信除了正确解决了一些问题和概念之外， 还创造了一种研 究的传统一一用数学方法（主要是组合数学的方法）研究和思考机会性游戏。这 种传统统治这个领域达半个多世纪的时间。 所以，综合考虑所有这些因素，这个 事件赢得它在数学概率论的历史中的标志性地位是当之无愧的。

15、3、 会对公平分配赌本产生影响的因子前面的章节我们已经对分赌本问题的模型进行了初步了解，那么，现在我们就要接着开始分析在这个问题中参数对最后分赌本的影响。毕竟，在实际问题中，各个参数是很难有其确切的数字来让我们计算的， 在这个时候，我们便只能对结 果进行估计，而正确或者说与实际情况能相差不远的估计， 则必须要进行科学的 计算和估计，才能最终做出有效合理的判断。即分析出各参数对模型的影响， 从 中掌握规律，此后便可由此对相类似的问题做出快速的判断了。就像巴斯卡所想的一样：公平地分配赌本的原则只与双方为获胜所需赢得的 局数n, m有关。但显然，我们不能只凭直观的判断就说所需赢得的局数越多， 则所能

16、分到的赌本越少，这需要做出科学的运算才能下定论， 这就需要我们对巴 斯卡分布有更深入的了解。3. 1 p对n的影响首先，我们可以从p、q对分赌本问题的影响开始。因为在原问题中，这两个概率都被假设为1/2,即在两人输赢概率相同的情况下进行的，那么，当pwq的时候呢，它们对n, m,对分配赌本的影响会怎样？显然，此时的分配形式只需将1-1式中的因子1/2改成p、q就可以了。即：e n, m = p e n -1,m +q e n, m -1同样的，根据巴斯卡的猜想和证明及费马的证明可以得出m _1m_1k k n -m_1 _kk n ke(n,m)乙 Cn巾/p q=乙 Cn#P qk =0k=

17、Q由于p=1-q,而两个概率分别影响着甲、乙两个赌徒，所以只需要考虑其 中一人即可，另一人的情形可同理推出，本文选甲作为考察对象，则分配概率比 可化为：m-1p 甲：1-国二.：k =0n + k 1kJp 71-p)mn + k-11 n/、1- Zp (1 p)k=0 Ik /首先我们可以先了解巴斯卡分布中r的极大似然估计因为巴斯卡分布的期望和方差分别为 E： = rq/p, D：rq / p2。因此，由中心极X .四限定理可得:l i nZn = l i m p - N 0 , 1 x = k- rx x rq,np2由上式可得:如果p已知，未知参数r的置信度为1-口的置信区间可由如下不

18、等式确定 为：px - rqn-Z：./2 -假设g = px,a =、rq ,b =1/nZ./2 TOC o 1-5 h z -2.则有2 g ,解不等式，得1(Vb2+4g-b)01(2)kk1/2(3)1211/23/4(4)1313/47/8(5)1417/815/16(6)237/81/211/16这个表及其推广形式有如下性质可体现出n对对公平分配赌本的影响:大于等于后两项中的较小项，即 e(n,m-1)e(n,m)e(n-1, m)0由此可得:111当p至即e(k,k)至万时，e(n, m)也将永远的大于-,即右甲每一场的胜 率大于乙，且他获胜所需赢下的局数小于乙时，他必然可以分

19、到一半以上的 赌本；而当p1时呢？ e(n,m)的取值范围即为p,1，也就是说，此时的甲 只要获胜所需赢下的局数小于乙，仍然有希望拿到一半以上的赌本，例如：当 n =1,m = 2 时，若要 e(n, m )=；,则有 p +(1 _ p )p =：,解得 p =1-2 ,即此时只要p 1,甲便可获得一半以上的赌本了。该性质便表明了赌2本的公平分配不能只由p,q或以往的胜负情况来决定。5)最后，当n增大时，来看看甲所分配到的赌本做何变化，此时需保证 m不变。我们可以假设n增加了 a个量，则有p甲变为e(n + a,m),由上述性质可 得：e(n +a,m ) = pe(n + a 1,m )+

20、qe(n + a,m 1),其中 e n a-1,m：i，e n a,m -1即得e(n +a,m )e(n +a -1, m ),依次类推下去则有：e(n +a,m )e(n,m ),当且仅当p=1时等号成立从中可以看出，除非甲赢一局的概率为1,否则当他所需获胜的局数增加时， 他所能分到的赌本必然减小。从中我们应该还能获取到更多的信息，就像概率论本身也正在发展中一样， 以后我们应该还能对分赌本问题做出更多的分析，得出更新的结论。4、推广一一当赌博者大于两人时4. 1解决方案的提出作为导致概率论诞生的赌博问题，当然不可能仅仅只有巴斯卡和费马两个人 研究，也不可能只研究到这个地步，随着概率论的发

21、展，对赌博问题的深入也在 一步一步的前行着。惠更斯的论赌博中的计算一书便是其中的一部优秀的代表。 该书最大的 贡献莫过于创立了数学期望，给其下了定义为：赢取某物的机会或期望(Chance or Expectation)等于这样一个和，即是在一个公平赌博中他将以同样的机会和期 望会获得的那些。虽然措辞有点晦涩，但正是有了这一步的迈出才会有以后概率每个公平博弈的参与者愿意即赌徒愿意押的赌注不大论的迅猛发展。惠更斯就这个期望提出了一个公理： 拿出经过计算的公平赌注冒险而不愿拿出更多的数量 于其获得赌金的数学期望数。惠更斯对分配赌本问题的解题思路为：赌徒分得赌本的比例等于其获胜的概 率。他假设赌徒在每

22、局获胜的概率不变， 且各局间相互独立。这样就可以将所有 问题归结为一般问题：设随机试验中某随机事件每次成功的概率为p,重复独立进行该试验若干次，求在b次失败前取得a次成功的概率。既然思路是一样的，那么解题过程当然也就大同小异了。 例如对有三个赌徒mn（甲、乙、丙）在分赌本时，他们获胜概率则为：底=工c C；：书cAxlyk1 0j01(2)k00j00(3)k0j000(4)kkk1/3以上为此种情况下的一些边界条件， 此时认为三人赢下一局的概率相同， 都为1/3。而其中e(l,m,n)表示的即为甲所能分配到赌本的比例1mne(1 -1,m,n )e(1 ,m-1,n)e(1,m,n1)e(

23、1,m,n)(5)112101/34/9(6)12111/304/9113104/913/27(8)13114/9013/27由上可看出只是n, m两个值相互交换时，e(n,m,l)值不变，e(n,m-1,1 )和 e(n,m,1 -1)值则是相互交换。其实这也正表明在计算一个人的分配概率时，另两 个人所还需赢下的局数便并不重要了， 只需要知道具体数字，却并不需将这些数 字具体到个人了。1mne(1 -1,m,n)e(1 ,m-1,n)e(1,m,n1)e( 1,m,n)(9)12214/94/917/27(10)123113/2717/2757/81(11)132117/2713/2713/27(12)2111/3001/9(13)2214/91/905/27(14)3215/271/2702/27综上可 看出：1、当 n=m 时 e(1,m -1, n )= e(1, m,n -1)；当 nm 时， e( 1,