第六章多目标决策分析ppt课件

1、第六章 多目的决策分析广西大学数学与信息科学学院运筹管理系第六章 多目的决策分析在决策分析中，决策问题要到达的目的称为决策目的，用数值表示决策方案实现某个目的程度的规范和法那么，称为决策准那么。前面讨论的问题都只需一个决策目的和一个评价准那么如收益最大、成效最大，属单目的、单准那么决策。单目的决策的关键：合理选择决策准那么。实践问题经常有多个决策目的，每个目的的评价准那么往往也不是只需一个，而是多个多目的、多准那么决策问题。6.1多目的决策的目的准那么体系多目的决策问题的目的往往相互联络、相互制约，有的甚至相互矛盾。在多目的决策问题中，有的目的可以用一个或几个决策准那么直接进展评价和比较，有的

2、目的那么难以进展直接评价和比较。如何处理这一问题？通常将难以进展直接评价和比较的目的分解为假设干子目的，直至这些子目的能用一个或几个决策准那么进展评价和比较。例：某经济特区方案兴建一个大型海港港址的选择需求综合思索经济、技术、环境以及社会四个方面。决策目的有四个：经济、技术、环境、社会这四个目的均不能直接用一个或几个准那么进展评价，要根据决策主体和实践情况的要求，逐级分解为假设干子目的。如：经济目的可以分解成直接经济效益和间接经济效益两个一级子目的。直接经济效益又可以继续分解为投资额、投资回收期和利税总额等三个二级子目的海港港址经济技术环境社会直接效益间接效益投资额投资回收期利税总额海运收益国

3、际贸易收益国内贸易收益航道海滩建筑运转城市关系交通关系资源环保政策军事 6.1多目的决策的目的准那么体系6.1.1目的准那么体系的意义目的准那么体系指根据决策主体要求和实践情况需求，对目的经过逐层分解构成的多层次构造的子目的系统。目的准那么体系的最低一层子目的可以用单一准那么进展评价。多目的决策问题的关键就是合理地选择和构造目的准那么体系。6.1.1目的准那么体系的意义构造目的准那么体系应留意的原那么系统性原那么各子目的要反映一切要素的整体影响，具有层次性和相关性。可比性原那么不同系统的横向比较；同一系统的纵向动态比较。可操作性原那么各子目的含义明确，便于数据采集和计算。6.1.2目的准那么体

4、系的构造1、单层次目的准那么体系各个目的都属于同一层次，每个目的无须分解就可以用单准那么给出定量评价。图6-2 单层次目的准那么体系总目的目的m目的m-1目的2目的16.1.2目的准那么体系的构造2、序列型多层次目的准那么体系目的准那么体系的各个目的，均可以按序列分解为假设干个低一层次的子目的；各子目的又可以继续分解；这样一层层按类别有序地进展分解，直到最低一层子目的可以按某个准那么给出数量评价为止。特点：各子目的可按序列关系分属各类目的，不同类别的目的准那么之间不发生直接联络；每个子目的均由相邻上一层的某个目的分解而成。6.1.2目的准那么体系的构造3、非序列型多层次目的准那么体系某一层次的

5、各子目的，普通不单是由相邻上一层次某子目的分解而成，各子目的也不能按序列关系分属各类；相邻两层次子目的之间，仅按本身的属性建立联络，存在联络的子目的之间用实线连结，无实线连结的子目的之间，不存在直接联络。3、非序列型多层次目的准那么体系G.c1c2cn-1cng11g12g1n-1g1n最高层中间层准那么层g21g22g1k-1g1k6.1.3评价准那么和成效函数在多目的决策中，制定了目的准那么体系后，不同的目的通常用不同的评价准那么衡量。问题：如何从总体上给出方案对于目的准那么体系中的全部目的的称心度？必需将不同度量单位的准那么，化为无量纲一致的数量标度，并按特定的法那么和逻辑过程进展归纳与

6、综合，才干建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。成效函数正是一种一致的数量标度。6.1.3评价准那么和成效函数多目的决策中，任何一个方案的效果均可以由目的准那么体系的全部结果值所确定。可行方案在每一个目的准那么下，确定个结果值，对目的准那么体系，就得到一组结果值，并经过各目的准那么的成效函数，得出一组成效值。这样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的称心度，可以经过这些成效值按照某种法那么并合而得，称心度是综合评价可行方案的根据。6.1.4 目的准那么体系风险要素的处置 单目的风险型决策中，各备选方案看成是在整体上处于同一类形状空间的。多目的决策中，风险要素能够只涉及某些目的准那么，备选方案

7、不宜在整体上视为处于同一类形状空间。多目的决策的风险要素，应该在目的准那么体系中对涉及风险要素的各子目的分别加以处置。将风险型多目的问题转化为确定型多目的问题。6.2目的规划方法6.2.1目的规划模型多目的线性规划问题问题：能否化为单目的线性规划问题求解？如何处置各目的的主次、轻重？6.2目的规划方法例6.1 某厂消费甲、乙两种产品，每件产品的单位利润、所耗费的原资料及设备工时、资料和设备工时的限额如下表所示。甲 乙限额原材料（公斤）设备（工时）2 33 22426利润（元/件）4 2产品耗费原料例6.1决策者根据市场需求等一系列要素，提出以下目的依重要程度陈列：首要目的是保证乙产品的产量大于

8、甲产品产量；尽能够充分利用工时，但又不希望加班；确保到达方案利润30元。试对厂家消费作出决策分析。设甲、乙产品的产量分别为x1、x2件。6.2目的规划方法目的规划是求解多目的线性规划的方法之一。目的规划的根本方法对每一个目的函数引进一个期望值；引入正、负偏向变量，表示实践值与期望值的偏向，并将目的函数转化为约束条件，与原有约束条件构成新的约束条件组；引入目的的优先等级和权系数，构造新的单一的目的函数，将多目的问题转化为单目的问题求解。 6.2目的规划方法1、目的函数的期望值ek对于多目的线性规划的每一个目的函数值Zk(k=1, 2, , K)，根据实践情况和决策者的希望，确定一个期望值ek 。

9、在例6.1中乙产品与甲产品产量之差的目的值可定为0；消费工时的目的值为26工时；利润的目的值为30元。6.2目的规划方法2、正负偏向变量对每一个目的函数值，分别引入正、负偏向变量 正负偏向变量分别表示实践目的值超越和低于期望值的数值。引入偏向变量之后，目的就变成了约束条件，成为约束条件组的一部分。6.2目的规划方法在例6.1中，令：d1+, d1-分别表示乙产品与甲产品产量之差超越和达不到目的值的偏向变量；d2+, d2-分别表示消费工时超越和达不到目的值的偏向变量； d3+, d3-分别利润超越和达不到目的值的偏向变量；那么三个目的可化为含有偏向变量的约束条件6.2目的规划方法3、优先因子优

10、先等级和权系数如何区别不同目的的主次轻重？凡要求第一位到达的目的赋于优先因子P1，次位的目的赋于优先因子P2，并规定PkPk+1表示Pk比Pk+1有更大的优先权，Pk+1级目的是在保证Pk 级目的实现的根底上才干思索的k1,2，K为区别具有一样优先因子的两个目的的差别，可分别赋于它们不同的权系数j优先等级及权数的赋值由决策者确定。6.2目的规划方法4、达成函数(准那么函数)目的规划模型的目的函数准那么函数由各目的约束的正、负偏向变量及相应的优先因子和权系数构造而成。注：目的规划模型的目的函数是对各目的的偏向的综合将多目的化为单目的，在目的函数中不包含原决策变量，且一定是极小型的偏向最小。4、达

11、成函数(准那么函数)当每一目的值确定后，决策者的要求是偏向变量尽能够小，因此其目的函数只能是极小方式，详细有以下三种根本方式：要求恰好到达目的值(正、负偏向都要尽能够小)要求不超越目的值(正偏向应尽能够小)要求不低于目的值(负偏向应尽能够小)6.2目的规划方法在例6.1中，首要目的是保证乙产品的产量大于甲产品产量，赋于优先因子P1，目的为d1-尽能够小；次级目的是消费工时恰好到达目的值，赋于优先因子P2，目的为d2-和d2都要小；最后的目的是利润不低于30元，赋于优先因子P3，目的为d3-尽能够小；因此，可构造准那么函数如下：6.2目的规划方法例6.1的目的规划模型为：6.2目的规划方法目的规

12、划的普通模型6.2目的规划方法目的规划的建模步骤1假设决策变量；2建立约束条件；3建立各个目的函数；4确定各目的期望值，引入偏向变量，将目的函数化为约束方程；5确定各目的优先级别和权系数，构造准那么函数。 6.3化多为少方法对单层次多目的决策模型其中f1(x), f2(x), , fm(x)表示m个目的函数，X表示满足某些约束条件的n维点集。 处置方法：1化为一个单目的问题 2化为多个单目的问题。 例6.5某厂在方案期内消费甲、乙两种产品。产品资源甲 乙资源限额原材料A（公斤）原材料B（公斤）设备C（工时）4 59 4310200240300价格（元/件）400600利润（元/件）70 120

13、污染3 2例6.5设产品能全部销售出去问：方案期应如何安排消费，才干使利润和产值都到达最大，而呵斥的污染最小？解：设方案期分别消费甲、乙产品x1、x2件，那么问题的数学模型为：6.3化多为少方法6.3.1主要目的法主要目的一切决策目的中，重要程度最高和最为关键的目的。主要目的要求到达最优。其他目的作为非主要目的，满足一定条件即可称心。设f1(x)为主要目的，那么由：可以得到6.3的一个有效解。例6.5决策者确定以利润最大为主要目的并要求：总产值至少应到达20000元，污染量那么应控制在90个单位以下。由主要目的法可得到单目的规划问题：6.3化多为少方法6.3.2线性加权和法给目的fi(x)赋以

14、权系数ii=1, 2, , m然后作新的目的函数构成单目的决策问题：难点：如何使多个目的用同一尺度一致同来多种方法在下一章中引见，可以将各目的一致作成效值度量；如何选择合理的权系数。6.3.2线性加权和法1.法 以两个目的的多目的决策问题为例记：即x(1)、 x(2)分别为以f1(x)和f2(x)目的的单目的问题的最优解6.3.2线性加权和法1.法 化作单目的决策问题要求：c1是恣意的非零常数。即可确定权系数。假设进一步要求1+ 2=1，可得：例6.7设有多目的决策问题其中：试用法化为单目的决策问题。解：先分别求解得： x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T例6.7x(1)=(0

15、, 0)T， x(2)=(1, 2)T那么：对目的进展线性加权：化为单目的问题：6.3.2线性加权和法2.法 对多目的决策问题取：化为单目的决策问题：适用条件：fi*06.3化多为少方法6.3.3平方和加权法要求目的fi(x)与规定值fi*相差尽量小i=1, 2, , m，可构造目的函数：构成单目的决策问题：i 权系数，可按要求的相差程度分别给出。6.3化多为少方法6.3.4理想点法记：称为理想点。假设一切x(i)都一样，记为 x(0)，那么x(0)就是所求的多目的决策问题的最优解；假设不然，那么思索求解下面的单目的决策问题：例6.7x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T用理想点

16、法化为单目的决策问题构造目的函数6.3化多为少方法6.3.5步骤法STEM法是逐渐迭代的方法，也称逐渐进展法、对话式方法。在求解过程中，每进展一步，分析者就把计算结果通知决策者，决策者对计算结果作出评价。假设以为已称心了，那么迭代停顿；否那么分析者再根据决策者的意见进展修正和再计算，如此直到求得决策者以为称心的解为止。6.3.5步骤法STEM法设有多目的线性规划问题：其中6.3.5步骤法STEM法STEM法的求解步骤：分别求解k个单目标线性规划问题得到的最优解记为x(i)，其相应的目的函数值记为fi*i=1, 2, , k，并x(i)代入其它目的函数：结果可列表给出称为支付表。STEM法支付表

17、x(i)f1f2fjfkx(1)z11z21zj1zk1x(i)z1iz2izjizkix(k)z1kz2kzjkzkk6.3.5步骤法STEM法STEM法的求解步骤：求权系数：从支付表中得到为找出目的值的偏向以及消除不同目的值的量纲不同的问题，进展如下处置：归一化后得权系数：6.3.5步骤法STEM法STEM法的求解步骤：求解使目的与理想值的最大加权偏向最小该线性规划问题的最优解记为x0 。6.3.5步骤法STEM法STEM法的求解步骤：将x0 和相应的目的值交给决策者判别。决策者把这些目的值与理想值进展比较后，假设以为称心了，那么可停顿计算；假设以为相差太远，那么思索适当修正 。如：思索对

18、第r个目的让一点步，降低一点目的值fr 。6.3.5步骤法STEM法STEM法的求解步骤：求解求得解后，再与决策者对话，如此反复，直至决策者以为称心了为止。例6.9某公司思索消费甲、乙两种太阳能电池，消费过程会在空气中引起放射性污染，因此决策者有两个目的：极大化利润与极小化总的放射性污染。知在一个消费周期内，每单位甲产品的收益是1元，每单位乙产品的收益是3元；每单位甲产品的放射性污染是1.5单位，每单位乙产品的放射性污染是1单位，由于机器才干小时、装配才干人时和可用的原资料单位的限制，约束条件是 x1、x2分别为甲、乙产品的产量：例6.9该问题的目的函数为：例6.9STEM法求解先分别求解得：

19、 x(1)=(7.25, 12.75)T， x(2)=(0, 0)T f1*=45.5， f2*=0例6.9STEM法支付表f1f2x(1)=(7.25, 12.75)T45.523.625x(2)=(0, 0)T00例6.9STEM法求解求权系数：从支付表中得到归一化后得权系数：例6.9STEM法求解求解最优解为x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 例6.9STEM法求解将x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 交给决策者判别。决策者将其与理想值45.5, 0进展比较后，以为f2 是称心的，但利润太低。

20、且以为可以接受污染值为10个单位。修正约束集求解得x1=(0, 10)T, f1(x1)=30, f2(x0)=-10 决策者以为称心，停顿迭代。 6.4 多维成效并合方法6.4.1 多维成效并合模型多目的决策问题其目的属性的特点：目的间的不可公度性即：对各目的的评价没有一致的量纲，不能用同一规范评价。目的间的矛盾性提高某一目的值，能够会损害另一目的值。多维成效并合方法是处理目的间的不可公度性和矛盾性的一种有效途径。6.4.1 多维成效并合模型设多目的决策方案有m个可行方案：a1， a2，.，am有s个评价准那么，测定和计算s个评价准那么的成效函数为：u1， u2，.，us得到这m个可行方案在

21、s个评价准那么下的成效值分别是：u1(ai )，u2(ai ) ，.，us(ai ) (i=1，2，.，m)6.4.1 多维成效并合模型多维成效并合方法为了从总体上表示可行方案ai 的总成效，需求经过某种特定的方法和逻辑程序，将s个分成效合并为总成效，并根据各可行方案的总成效对其进展排序。这一多目的决策方法称为多维成效并合方法。主要用于序列型多层次目的准那么体系Hv1w2w1v2w4w3vl wkwk-1u2u1ulul-1.usus-1.图6.6 序列型多层次目的准那么体系6.4.1 多维成效并合模型图6.6中：H表示可行方案的总成效值，即称心度；v1，v2，.，vl 表示第二层子目的的成效

22、值；如此类推，w1，w2，.，wk 表示倒数第二层各子目的的成效值；u1，u2，.，us 表示最低一层各准那么的成效值。6.4.1 多维成效并合模型成效并合过程从下到上，逐层进展。最低一层各准那么的成效，经过并合得到： 符号“表示按某种规那么和逻辑程序进展的成效并合运算。6.4.1 多维成效并合模型多维成效并合的最称心方案为a* ，其称心度满足：第三层子目的的成效并合得到第二层各目的的并合成效值：最后，可得可行方案ai 的称心度为：6.4.2 多维成效并合规那么在多目的决策中，根据决策目的的不同属性，成效并合采取不同方式进展。多维成效合并规那么可由二维成效合并规那么导出，故先讨论二维成效合并规

23、那么。二维成效函数与二维成效曲面设成效u1，u2分别在区间0，1上取值，二元延续函数W=W(u1，u2)称为二维成效函数，其定义域是坐标平面u1，u2上的一个正方形，称为二维成效平面，其值域是W轴上的区间0，1，曲面W=W(u1，u2)称为二维成效曲面。6.4.2 多维成效并合规那么多维成效函数与多维成效曲面设成效u1，u2，.，un 分别在区间0，1上取值，n元延续函数W=W(u1，u2，.，un)称为n维成效函数。其定义域是n维成效空间u1，u2，.，un上有2n个顶点的凸多面体。其值域是0，1。曲面W=W(u1，u2，.，un)称为n维成效曲面。6.4.2 多维成效并合规那么1. 间隔规

24、那么称满足以下条件的并合规那么为间隔规那么：当二成效同时到达最大值时，并合成效到达最大值1，即： W(1，1)=1；当二成效同时取最小值时，并合成效取零成效值(最小值)，即： W(0，0)=0 ；二成效之一到达最大值，均不能使并合成效到达最大值，即：0W(u1，1)1， 0u110W(1，u2)1， 0u20时，近似于乘法规那么方式： 6.4.3 多维成效并合方法运用实例多维成效并合方法是多目的决策的一种适用方法，在经济管理、工程评价、能源规划、人口控制等方面有着广泛的运用。例：“我国总人口目的实例经过统计分析测算，我国人口开展周期应是人均寿命70年，制定控制人口目的，宜以100年为时间范围。

25、需求确定100年内，我国人口控制最合理的总目的是多少。例：“我国总人口目的方案：对我国总人口目的的14个方案进展决策分析，即我国总人口分别控制为2亿、3亿、4亿、5亿、6亿、7亿、8亿、9亿、10亿、11亿、12亿、13亿、14亿、15亿14个人口方案，分别记为ai (i=1, 2, , 14),其称心度分别为Hi (i=1, 2, , 14)。例：“我国总人口目的各国对比u9我国人口总目的HV1V2吃用v1实力v2用w2吃w1粮食u1鱼肉u2空气u4水u5能源u6土地u3最低总和生育率u8GNPu7目的准那么体系例：“我国总人口目的成效并合1、u1粮食、u2鱼肉并合为w1宜用乘法规那么：w1

26、 u1 u22、 u3土地、 u4空气、 u5水并合为w2宜用乘法规那么w2 u3 u4 u53、 u6能源、 u7GNP并合为v2宜用乘法规那么v2 u7 u84、u8min、 u9各国对比并合为V2宜用乘法规那么V2 u8 u9 例：“我国总人口目的成效并合5、w1吃、w2用并合为v1宜用加法规那么：v1 w1 + (1- ) w26、 v1吃用、 v2实力并合为V1宜用加法规那么：V1 v1 + (1- ) v27、 V1、 V2并合为H宜用乘法规那么：H V1 V2得：6.5 层次分析方法AHP方法是美国运筹学家T.L.Saaty于20世纪70年代提出的，AHP决策分析法是Analyt

27、ic Hierarchy Process的简称。是一种定性与定量相结合的多目的决策分析方法。AHP决策分析法，能有效地分析非序列型多层次目的准那么体系，是处理复杂的非构造化的经济决策问题的重要方法，是计量经济学的主要方法之一。例6.10科研课题的综合评价综合评价科研课题成果奉献人才培育可行性开展前景实用价值科技水平优势发挥难易程度研究周期财政支持经济效益社会效益6.5.1AHP方法的根本原理首先要将问题条理化、层次化，构造出可以反映系统本质属性和内在联络的递阶层次模型。1.递阶层次模型根据系统分析的结果，弄清系统与环境的关系，系统所包含的要素，要素之间的相互联络和隶属关系等。将具有共同属性的元

28、素归并为一组，作为构造模型的一个层次，同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又遭到上一层次元素的制约。1.递阶层次模型AHP的层次构造既可以是序列型的，也可以是非序列型的。普通将层次分为三种类型：最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目的，也称为总目的层。中间层：包含假设干层元素，表示实现总目的所涉及到的各子目的，也称为目的层。最低层：表示实现各决策目的的可行方案、措施等，也称为方案层。 1.递阶层次模型H.A1A2An-1AnG11G12G1n-1G1n最高层中间层最低层G21G22G1k-1G1k层次构造图1.递阶层次模型相邻两层元素之间的关系用直线标明，称之为作用线，元素之间

29、不存在关系就没有作用线。假设某元素与相邻下一层次的一切元素均有关系，那么称此元素与下一层次存在完全层次关系；假设某元素仅与相邻下一层次的部分元素有关系，那么称为不完全层次关系。实践中，模型的层次不宜过多，每层元素普通不宜超越9个。目的：防止模型中存在过多元素而使客观判别比较有困难。2.层次元素排序的特征向量法构建了层次构造模型，决策就转化为待评方案最低层关于具有层次构造的目的准那么体系的排序问题。AHP方法采用优先权重作为区分方案的优劣程度的目的，优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣程度，数值介于01之间，数值越大，方案越优，反之越劣。方案层各方案关于目的准那么体系整体的优先权重，是经过

30、递阶层次从下到上逐层计算的。这一过程称为递阶层次权重解析过程。递阶层次权重解析过程(1)测算每一层次关于上一层次某元素的优先权重相邻两层次间的权重解析方法：构造判别矩阵；计算判别矩阵的最大特征值和特征向量；以特征向量各分量表示该层次元素的优先权重？，得到层次单排序。(2)进展组合加权，得到该层次元素对于相邻上一层次整体的组合优先权重层次总排序(3)最后计算得到方案层各方案关于目的准那么体系整体的优先权重。物体测重问题设有m个物体，其分量分别为W1,W2, Wm未知，为测出各物体的分量，现将每一物体的分量与其它物体的分量作两两比较，其分量比值构成了一个m阶方阵A物体测重问题记各物体分量组成的向量

31、未知为W(W1,W2, Wm)T有：由线性代数知：m是A的最大特征值，W是矩阵A属于特征值m的特征向量。物体测重问题的启示假设一组物体无法直接测出其分量，但可以经过两两比较判别，得到每对物体相对分量的判别值，那么可构造判别矩阵(A),求解判别矩阵的最大特征值和向量对应的特征向量，就可以得到这组物体的相对分量。类似地，对于社会、经济和管理领域的决策问题，可以经过建立层次构造模型，在相邻两层次之间构造两两元素比较的判别矩阵，用特征向量法求出层次单排序，最终完成递阶层次解析过程。物体测重问题的启示从对物体测重问题的分析中可以看出，判别矩阵A的元素aij0(i, j=1, 2, , m)，且满足以下条

32、件： aii=1,i=1, 2, , m aij=1/aji , i, j=1, 2, , m aij=aik /ajk , i, j, k=1, 2, , m满足条件的矩阵A称为互反的一致性正矩阵。3.互反正矩阵与一致性矩阵定义1：设有矩阵A(aij )mm1假设aij0(i, j=1, 2, , m)，那么称A为非负矩阵，记作A0；2假设aij0(i, j=1, 2, , m)，那么称A为正矩阵，记作A0。定义2：设有m维列向量X(x1, x2, , xm)T1假设xj0(j=1, 2, , m)，那么称X为非负向量，记作X0；2假设xj0(j=1, 2, , m)，那么称X为正向量，记作

33、X0。3.互反正矩阵与一致性矩阵定理1：设有矩阵A(aij )mm0，那么：1A有最大特征值max，且max是单根，其他特征值的模均小于max ；2A的属于max的特征向量X0 ；3max由下面的等式给出：其中：3.互反正矩阵与一致性矩阵定义3：设有矩阵A(aij )mm0，假设A满足：1 aii=1,i =1, 2, , m2 aij=1/aji , i, j =1, 2, , m 那么称A为互反正矩阵。定义4：设有矩阵A(aij )mm 0，假设A满足：aij=aik /ajk , i, j, k=1, 2, , m那么称A为一致性矩阵。一致性矩阵的性质一致性正矩阵是互反正矩阵；假设A是一

34、致性矩阵，那么A的转置矩阵AT也是一致性矩阵； A的每一行均为恣意指定一行的正整数倍； A的最大特征值maxm，其他特征值为0；假设A的属于特征值max的特征向量为：X(x1, x2, , xm)T 那么：aij=xi /xj , i, j =1, 2, , m 互反正矩阵的性质一致性正矩阵是互反正矩阵，反之，互反正正矩阵不一定是一致性矩阵。定理2：设A(aij )mm是互反正矩阵，max是A的最大特征值，那么maxm。定理3：设A(aij )mm是互反正矩阵， 1 ， 2 ，m是A的特征值，那么：定理4：互反正矩阵A是一致性矩阵的充要条件是： maxm6.5.2 判别矩阵1.判别矩阵的构造设

35、m个元素(方案或目的)对某一准那么存在相对重要性，根据特定的标度法那么，第i个元素(i1，2，n) 与其它元素两两比较判别，其相对重要程度为aij (i, j1,2,n) ,这样构造的m阶矩阵用以求解各元素关于某准那么的优先权重，称为权重解析判别矩阵，简称判别矩阵，记作A=(aij)mm 构造判别矩阵的关键，在于设计一种特定的比较判别两元素相对重要程度的标度法那么，使得恣意两元素相对重要程度有一定的数量规范。19标度方法标度定义含义1同样重要两元素对某属性，一元素比另一元素同样重要3稍微重要两元素对某属性，一元素比另一元素稍微重要5明显重要两元素对某属性，一元素比另一元素明显重要7强烈重要两元

36、素对某属性，一元素比另一元素强烈重要9极端重要两元素对某属性，一元素比另一元素极端重要2、4、6、8相邻标度中值表示相邻两标度之间折中时的标度上列标度倒数反比较元素i对元素j的标度为aij，元素j对元素 i的标度为1/aij2.判别矩阵的一致性检验19标度方法构造的判别矩阵A一定是互反正矩阵；但A不一定是一致性矩阵，实践中，很难构造出具有完全一致性的矩阵；只需判别矩阵A具有完全的一致性时，才有独一非零的最大特征值，其他特征值为0，层次单排序才干归结为判别矩阵A的最大特征值及其特征向量，才干用特征向量的各分量表示优先权重。实践中，我们希望判别矩阵具有称心的一致性，这样计算出的层次单排序结果才合理

37、。2.判别矩阵的一致性检验判别矩阵A是互反正矩阵，故maxm ；当A是一致性矩阵时：maxm ，且其他的特征值为0；A具有称心的一致性：max略大于m，其他的特征值接近于0；设1 ，2 ，m是A的全部特征值，那么：1 2 mtr(A)=m设1=max，那么：2.判别矩阵的一致性检验普通来说，C.I 越大，偏离一致性越大，反之，偏离一致性越小。 此外，判别矩阵的阶数m越大，判别的客观要素呵斥的偏向越大，偏离一致性也就越大。反之，偏离一致性越小。当阶数m2时， C.I = 0，判别矩阵具有完全的一致性。 1判别矩阵的一致性目的2.判别矩阵的一致性检验2平均随机一致性目的R.I：是足够多个根据随机发

38、生的判别矩阵计算的一致性目的的平均值表6.15。 3一致性比率C.R=C.I/R.I用一致性比率C.R检验判别矩阵的一致性，当C.R越小时，判别矩阵的一致性越好。普通以为，当C.R0.1时，判别矩阵符合称心的一致性规范，层次单排序的结果是可以接受的，否那么，需求修正判别矩阵，直到检验经过。判别矩阵一致性检验的步骤2查表6.15得到平均随机一致性目的R.I3计算一致性比率C.R=C.I/R.I假设C.R0.1，接受判别矩阵；否那么，修正判别矩阵。1求出判别矩阵的一致性目的C.I3.判别矩阵的求解构造了判别矩阵，就要求解出判别矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，才干进展一致性检验。由于判别矩阵是决

39、策者客观判别的定量描画不准确，因此在求解时可采用简化计算的方法，求出近似解即可。简化计算的思绪一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。3.判别矩阵的求解1、和法取列向量的算术平均将判别矩阵A的元素按列作归一化处置，得矩阵Q=(qij)mm将Q的元素按行相加，得到向量(1,2,m)T 三判别矩阵的求解1、和法取列向量的算术平均对向量作归一化处置得特征向量W(w1,w2,wm)T 求最大特征值 即对矩阵Q各行求算术平均得特征向量W。列向量归一化行算术平均准确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010一致性检验：C

40、.I0.005，R.I0.52，C.R0.010.13.判别矩阵的求解2、根法取列向量的几何平均计算判别矩阵A的每一行元素之积计算Mi的m次方根得到向量(1,2,m)T 三判别矩阵的求解2、根法取列向量的几何平均对向量作归一化处置得特征向量W(w1,w2,wm)T 求最大特征值 每行元素之积归一化一致性检验：C.I0.0055，R.I0.52，C.R0.0110.1三次方根3.判别矩阵的求解3、幂法逐渐迭代的方法经过假设干次迭代计算，按照规定的精度，求出判别矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量。幂法是根据下面的定理提出的。定理：设矩阵A(aij)mm0，那么：其中：W是A的最大特征值对应的特征

41、向量，C为常数，向量e(1,1, ,1)T3、幂法步骤1任取初始正向量W(0), k=0，设置精度2计算3归一化5 计算4假设3.判别矩阵的求解停顿；否那么，k=k+1, 转23.判别矩阵的求解为了抑制随着判别矩阵阶数的添加而产生准确求解最大特征值的困难，还可其他近似方法确定方案的权重。问题：对一致阵A(aij)mm0, 其权向量为W=(w1,wm)T，那么应有：aij=wi/wj实践中A不一定是一致阵, 对于正互反矩阵，在求解权向量时，应选权向量W使wi/wj与aij相差尽量小对一切i，j。3.判别矩阵的求解最小二乘法LSM：对正互反矩阵，经过以下最优化问题导出排序向量的方法称为最小二乘法。

42、这是一个非线性规划问题。3.判别矩阵的求解对数最小二乘法LLSM：对正互反矩阵，经过以下最优化问题导出的排序向量的方法称为对数最小二乘法。目的函数关于lnwi是线性的，该方法结果与根法一样。3.判别矩阵的求解梯度特征向量法GEM：设正互反判别矩阵为A，其伪拟互反矩阵为由下面的递推公式导出排序向量的方法称为梯度特征向量法。其中：3.判别矩阵的求解最小偏向法LDM：对正互反矩阵， 由以下最优化问题导出的排序向量的方法称为最小偏向法。F(w)有独一的极小点w*，且w*是以下方程组的独一解：3.判别矩阵的求解目的规划法(LGP)：目的规划法是由Brynon 提出的，Brynon思索了人们认识的差别性，

43、经过引进正、负偏向变量 ，建立判别矩阵的元素与权重的关系：3.判别矩阵的求解目的规划法(LGP) 经过求解下面优化模型，确定方案的权重。6.5.3递阶层次构造权重解析过程讨论用AHP方法对普通非序列型目的准那么体系问题进展决策。G总目的n层子目的准那么层方案层6.5.3递阶层次构造权重解析过程递阶权重解析：AHP方法的目的，在于求出各方案对总目的G的优先权重，求解过程从上到下，在相邻层次之间逐层进展，故称为递阶权重解析。留意：不完全层次关系如：方案ai与准那么cj不存在关系，构造方案层对准那么cj的判别矩阵时，应将方案ai除外，得到m1阶矩阵，解得m1维特征向量，再将方案ai关于准那么cj的权

44、重0补进去，得到m维特征向量。完全层次构造：上层每一元素与下层一切元素相关联不完全层次构造第3层对第2层权向量：w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T奉献O教学C1科研C2P2 P1P3P4例: 评价教师奉献的层次构造P1,P2只作教学, P4只作科研, P3兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等6.5.3递阶层次构造权重解析过程1.递阶权重解析公式首先，讨论相邻两层次间的权重解析。设已计算第k-1层子目的关于总目的G的组合优先权重向量为：W (k-1)=(w1(k-1) ,w2(k-1) , , wnk-1(k-

45、1)T第k层子目的的个元素对以第k-1层的第j个元素为准那么的优先权重向量为：Pj (k)=(p1j(k) ,p2j(k) , , pnk j(k)T令：P(k)=(p1(k) ,p2(k) , , pnk-1(k)T P(k)是第k层子目的nk个元素关于第k-1层nk-1个元素的优先权重向量构成的nknk-1矩阵。6.5.3递阶层次构造权重解析过程1.递阶权重解析公式首先，讨论相邻两层次间的权重解析。那么第k层子目的关于总目的G的组合优先权重向量为：W (k)=(w1(k) ,w2(k) , , wnk(k)T其中：6.5.3递阶层次构造权重解析过程1.递阶权重解析公式其次，用公式将递阶权重

46、解析过程表示出来，给出方案层关于总目的G的优先权重向量。W (1)：表示第一层子目的关于总目的G的优先权重向量；P(k)=(p1(k) ,p2(k) , , pnk-1(k)T ：表示第k层子目的关于第k-1层各元素的优先权重向量，k=2, ,n；6.5.3递阶层次构造权重解析过程P(c)=(p1(c), p2(c), , ps(c)T ：表示准那么层s个准那么关于第n层nn个子目的的优先权重向量；P(a)=(p1(a), p2(a), , ps(a)T ：表示方案层m个方案关于准那么层s个准那么的优先权重向量；最后，计算方案层各方案关于总目的G的优先权重。这个优先权重记为：W (a)=(w1

47、(a) ,w2(a) , , wm(a)T计算公式为：6.5.3递阶层次构造权重解析过程2.AHP方法的根本步骤总结建立层次构造模型将目的准那么体系所包含的要素划分为不同层次，如目的层、准那么层、方案层等，构建递阶层次构造模型。 构造判别矩阵 按照层次构造模型，从上到下逐层构造判别矩阵。 层次单排序及其一致性检验根据实践情况，用不同方法求解判别矩阵最大特征值相对应的特征向量，经过归一化处置，即得层次单排序权重向量。 2.AHP方法的根本步骤总结层次总排序及其一致性检验 层次总排序是从上到下逐层进展的。在实践计算中，普通按表格方式计算较为简便。 层次A层次BA1A2 Am层次B总排序权值w1w2

48、 wmB1b11b12 b1mB2b21b22 b2m Bnbn1bn2 bnm权重2.AHP方法的根本步骤总结4.层次总排序及其一致性检验 层次总排序检验的一致性目的，平均随机一致性目的和一致性比率目的分别是：3.AHP方法运用实例例6.14 某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车辆流量过大，经常呵斥交通堵塞。市政府决议处理这个问题经过有关专 家会商研讨，制定出三个可行方案：a1：在商场附近建筑一座环形天桥；a2：在商场附近建筑地下人行通道；a3：搬迁商场。决策的总目的是改善市中心交通环境。三AHP方法运用实例专家组拟定5个子目的作为对可行方案的评价准那么： C1：通车才干； C2：方便群

49、众； C3：基建费用不宜过高； C4：交通平安； C5：市容美观。试对该市改善市中心交通环境问题作出决策分析。例6.14改善交通环境天桥a1地道a2搬迁a3通车才干C1方便群众C2基建费用C3交通平安C4市容美观C5图6.16 层次构造模型解：(1)建立层次构造模型；例6.14(2)以总目的为准那么，构造判别矩阵计算判别矩阵的最大特征值max=5.206及对应的特征向量w=(0.461,0.195,0.091,0.195,0.059)T, 计算C.R0.0460，是知数据；yrj：第 j 个决策单元第 r 种产出目的的产出量， yrj 0，是知数据；vi：第 i 种投入目的的权系数(待定)，v

50、i0；ur：第 r 种产出目的的权系数(待定)，ur0；i=1，2，m；j=1，2，nr=1，2，p2.C2R 模型及其根本性质投入产出决策单元2.C2R 模型及其根本性质对每个决策单元，都定义一个效率评价目的hj表示第j个决策单元所获得的经济效率，可以适中选择权系数，使得hj1。其中：u=(u1, u2, , up)T, v=(v1, v2, , vm)T, xj=(x1j, x2j, , xmj)T, yj=(y1j, y2j, , yrj)T2.C2R 模型及其根本性质设第j0个决策单元的投入和产出向量分别为：xj0=(x1j0, x2j0, xmj0)T, yj0=(y1j0, y2j

51、0, yrj0)T效率目的h0=hj0评价第j0个决策单元有效性相对于其它决策单元而言的模型为：称为CCR模型C2R2.C2R 模型及其根本性质是一个分式规划，令t=1/vTx0，=tv, =tu，那么可化为一个等价的线性规划问题：2.C2R 模型及其根本性质线性规划(P )的对偶问题为：其中：s- =(s1-, s2-, sm-)T,s+=(s1+, s2+, , sm+)T, 为松驰变量向量。3.决策单元的DEA有效性定义6.6：假设线性规划(P)的最优解0,0满足：VP(0)Ty01那么称决策单元j0为弱DEA有效。定义6.7：假设线性规划(P)的最优解0,0满足：VP(0)Ty01，且

52、00，00那么称决策单元j0为DEA有效。决策单元j0为DEA有效的含义：指决策单元j0相对于其它决策单元，其效率评价目的获得最优值，即在多目的投入和多目的产出的情况下，获得了最正确经济效率。C2R 模型的根本性质定理6.6：假设线性规划(P)及其对偶问题(D)都有可行解，那么(P)和(D)都有最优解，且最优值VPVD1因此，也可利用对偶规划断定决策单元的DEA有效性。定理6.7：关于对偶规划(D)有：(1)假设(D)的最优值VD1，那么决策单元j0为弱DEA有效。(2)假设(D)的最优值VD1，且每个最优解0 =(10, 20,n0)T, s0+，s0-,0都满足s0+ s0- =0，那么决

53、策单元j0为DEA有效。C2R 模型的根本性质实践中，评价系统的投入、产出目的均有不同的量纲。定理6.8：决策单元的最优效率目的VP与投入目的xij及产出目的yrj的量纲选取无关。实践运用中，无论利用线性规划(P)根据定义1、2，或利用对偶规划(D)根据定理2断定决策单元能否DEA有效都不是容易的。为使断定决策单元能否DEA有效更简便、适用，查思斯和库伯援用了非阿基米德无穷小，带有的C2R 模型能用单纯形法求解。带有的C2R模型其中：P的对偶规划为决策单元的DEA有效性利用带有的C2R 模型D，容易判别决策单元的DEA有效性。定理6.9：设为非阿基米德无穷小，线性规划D的最为优解0, s0+，

54、s0-,0，有：(1)假设01，那么决策单元j0为弱DEA有效。(2)假设01，且s0+ s0- =0，那么决策单元j0为DEA有效。利用模型D一次计算即可断定决策单元能否DEA有效，实践操作中，只需取足够小就可以了。例 6.15设有 4个决策单元， 2个投入目的和 1个产出目的的评价系统，其数据如以下图 所示。试写出评价每个决策单元相对效率的 C2R模型并断定其DEA有效性。产出决策单元例 6.15解评价第1个决策单元相对效率C2R模型的线性规划P，对偶规划D分别为 解得：故决策单元1为DEA有效。例 6.15解评价第2个决策单元相对效率C2R模型的线性规划和对偶规划分别为： 解得：故决策单

55、元2为DEA有效。例 6.15解评价第3个决策单元相对效率C2R模型的线性规划和对偶规划分别为： 解得：故决策单元3不是弱DEA有效。例 6.15解评价第4个决策单元相对效率C2R模型的线性规划和对偶规划分别为： 解得：故决策单元4不是弱DEA有效。4.DEA有效决策单元的构造定义6.8：设0，s0-,s0+,0是对偶问题(D)的最优解。令： 称为决策单元j0对应的(x0,y0)在DEA的相对有效面上的投影。定理6.10：设 为决策单元j0对应的(x0,y0)在DEA的相对有效面上的投影。那么新决策单元相对于原来的n个决策单元来说，是DEA有效的。 例 6.15处理策单元2、4均不是DEA有效的决策单元2对应的对偶线性规划D2的解为构造新的决策单元：新决策单元相对于原有的4个决策单元是DEA有效的。例 6.15处理策单元2、4均不是DEA有效的决策单元4对应的对偶线性规划D4的解为构造新的决策单元：新决策单元相对于原有的4个决策单元是DEA有效的。6.6DEA方法6.6.2DEA有效性的经济意义1消费函数和消费能够集 消费函数: y=f(x)表示理想的消费形状，即(在单投入和单产出的情况下)投入量x所能获得的最大产出量y。技术有效：当企业用现有的投入无法得到更大的产出，或无法以更少的投入获得现有的产出时，称其处于技术有效形状。消费函数曲线上