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1、华中师范大学 20112012 学年第一学期期末考试试卷（B卷）课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师 李工宝、何穗、刘敏思、郑高峰题型判断题叙述题计算题解答题总分分分得分评阅人一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。 共5小题，每题3分，共53=15分）1、由1，2两个数构成的实数列全体具有连续势（即连续基数）。 （ ）2、设是中的可数集，则仍为可数集。 （ ）3、设为开集，则一定可以表示成一列闭集的并集（即是型集）。 （ ）4、若为上的有理数集，为可测集，则。 （ ）5、设是上的一列非负单调可测函数，则是上的Lebesgue可积函

2、数。 （ ） 得分评阅人二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共53 =15分)1、请准确地叙述反映单调递增非负可测函数列Lebesgue积分与极限可交换性的Levi的单调收敛定理。院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： - 密 - 封 - 线 -2、请准确地叙述反映依测度收敛与几乎处处收敛之间关系的Lebesgue定理（勒贝格定理）。3、请准确地叙述反映可测函数列与连续函数之间关系Lusin定理（鲁津定理）。4、请准确地叙述反映两个集合对等的Bernstein定理。5、请准确地叙述反映非负可测函数的重积分化累次积分的Fubini定理。 第 1 页(共 3 页)得分评阅人三、计算题（共

3、2题，每题10分，共20分） 1、设为上的Cantor三分集， ，求 。2、计算。 - 密 - 封 - 线 -得分评阅人四、解答题（共5小题，共 50分）1、（10分）设是可测集，则存在一列单调上升的闭子集，使得，。2、（5分）若为上的可测函数，为闭集，则，是可测集。 3、（10分）设是可测集，为上的可测函数，且存在零测集，使得，于，记，证明：。 第 2 页(共 3 页)4、（10分）设于，证明：于。5、（15分）设为可测集，为上的实函数，（1）若对几乎所有的，都是在上的连续函数；对任取的，都是在上的可测函数，证明：对于任何上的实值可测函数，也是上的可测函数。（2）设还满足：存在常数，使得，对任意，若是上的可积函数，且，证明：。 - 密 - 封 - 线 - 第 3 页(共 3 页)内容总结（1）华中师范大学 20112012 学年第一学期期末考试试卷（B卷）课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师 李工宝、何穗、刘敏思、郑高峰题型判断题叙述题计

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