2020届高三数学之函数与导数(文理通用)二次求导函数处理(二阶导数)(解析版)

1、韩哥智慧之窗-精品文档1专题03二次求导函数处理(二阶导数)一、考情分析1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才

2、能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题.若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。3、解决这类题的常规解题步骤为：求函数的定义域；求函数的导数f(x)，无法判断导函数正负；构造求g(x)=f(x)，求g(x)；列出x,g(x),g(x)的变化关系表；根据列表解答问题。二、经验分享方法二次求导使用情景对函数f(x)一次求导得到f(x)之后，解不等式f(x)0和/(x)0和g(x)0的解，即得到”函数g(x)的单调性，得到函数g(x)的最值，即可得到f(x)的正负情况，即可得到函数f(x)的单调性.三、题型分析（一）利用二

3、次求导求函数的极值或参数的范围例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化）已知关于x的不等式2lnx+2（1-m）x+2mx2在（0,上恒成立，则整数m的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B.4【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令x=1时，2ln1+2（1-m）x1+232+2ln2令x二2时，2ln2+2（1-m）x2+2一4你还可以在算出3,4，选择题排除法。B为最佳选项。lnx+x+1【第二种解法(二次求导)】：2lnx+2(1-m)x+2lnx+x+1构造f(x)=(x+求导/(x)=12x2+x()qx一lnx1

4、2)，令f(x)二0，即-2x-lnx=0 x2+J2再令g(x)=丄x-lnx，g(x)=-一丄在6+s),g(x)0,g(1)0对任意的xe（2,+8）都恒成立，则整数k的最大值为（）A3B4C5D6【答案】Bxlnx+x()xlnx+x【解析】因为xlnx+x(1-k)+2k0变形k2),令gx)=x-2x-2求导：gG)=_J11x，令h(x)=x-4-2lnx,求导h0=1-?,(x-2)2x在(2,+8)上hCx)0,h(x)=x一4一2lnx,为增函数；h(7)0=0,即2lnx=x一400TOC o 1-5 h z令g(x)=二_x=0,零点xe(8,9)满足h(x)=x-4-

5、2lnxx-2)20000所以在(8,x)时，g(jc)0,g(jc)=XlnX*X是单增的0 x-2x-4x()+x:.gCx)=gCx)=2xe(8,9),再令t=x一2,te(6,7)min0 x-2000g(x)=g(x)=g(t)=二+1,te(6,7),min02(tk0.3当a=-丁时，求函数f(x)的单调区间；4对任意xe丄,+8)均有f(x)04存(、=3+1=(7T+T-2)(1+!+1)4x2J1+x4xJ1+x所以，函数f(X)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+8(II)由f(1)丄，得0a2.当0a；2时，f(x)0.2a442aa2a1令t=，则t2

6、2.设g(t)=t2：x2t/1+x2lnx,t2*2，贝ya1)(i)当xe-,+8时,_7丿g(t)g(2/2)=8：x4f2、；1+x2lnx.1+1g(2叮2)=8U4空2Ji+X2lnx.xxJx+1记p(x)=4貞2迈lnX,x1，则p(x)=三-丄1=Fz+1*2x7+17JxJx+1x韩哥智慧之窗-精品文档韩哥智慧之窗-精品文档韩哥智慧之窗-精品文档122韩哥智慧之窗-精品文档1x171(1,+8)p(x)0+p(x)p(7)单调递减极小值p(1)单调递增所以，p(x)p(1)=0因此，g(t)g(2、=2p(x)0.2xInx(x+1)Gi)当xeIe2,7时，g(t)g2-

7、x令q(x)=2耳xInx+(x+1),xw|丄,1，贝yq(x)=lnT2+10,Le274x故q(x)在上单调递增，所以q(x)q(1).(1)由(i)得q7k7丿耳p(1)=0所以，q(x)0.2、x由(i)(ii)得对任意xw,+8，tw2矩+/),g(t)0,e2丿即对任意xw-1,+8丿，均有f(x)Le2丿2a综上所述，所求a的取值范围是变式训练3】【浙江省温州市20192020学年11月高三一模数学，21题】已知实数a丰0，设函数f(x)=eaxax(e=2.71828为自然对数的底数)求函数f(x)的单调区间；当a-时，若对任意的xw-1,+8)，均有f(x)(x2+1)，求

8、a的取值范围.解析】(I)由f(x)=a-eax一a=a(ex一1)=0，解得x=0若a0，则当xg(0,+Q时，f(x)0，故f(x)在(0,+Q内单调递增;当xg(-。0)时，f(x)0，故f(x)在(-。0)内单调递减.若a0，故f(x)在(0,+s)内单调递增;当xg(一。0)时，f(x)0，故f(x)在(8,0)内单调递减.综上所述，f(x)在(8,0)内单调递减，在(0,+8)内单调递增.(II)f(x)三(x2+1)，即eax三a(x+1)2(*).22a1令x=0，得1三一，则一1x+1x+1a22故当xg(一1,一一1)时，F(x)0，F(x)单调递增；当xg(-一1,+8)

9、时，F(x)0aaF(x)单调递减.22aa因此F(x)WF(-1)=2ln一2+a+In=a一2一Inaa22令函数g(a)=a-2-Ina-1a一1则g(a)=1=0，得a=1aa1故当ag(-,1)时，g(a)0，g(a)单调递增.13又g(2)=ln40，g=01故当aW2时，g(a)W0恒成立，因此F(x)W0恒成立，1a即当2(x2+1)成立利用二次求导证明不等式例2【全国卷I第20题】已知函数f(x)=(x+l)lnx-x+1.(1)若xf(x)0.【解析】(1)函数的定义域为(0,+w),f(x)=Inx+1，xf(x)x2+ax+1oxInx+1lnx-xoa(lnx-x)m

10、ax令g(x)=lnx-x则g(x)=-1,x当0 x0,g(x)递增;当x1时,g(x)0,g(x)递减，从而当x=1时，g(x)=g(1)=-1，max故所求a的范围是-1,+w).(2)由(1)知,Inx-x+10,则0 x1时，f(x)=xlnx+(lnx-x+1)1时，f(x)=lnx+(xlnx-x+1)=lnx-x(ln-+1)0.xx综上可知，不等式成立.我们也可以运用二阶导数的方法加以证明：【二次求导的巧妙运用】：令F(x)=(x-1)f(x),要证明F(x)0,只需证F(x)0.min因F(x)=f(x)+(x-1)f(x)=(x+1)lnx-x+1+(x-1)(lnx+丄

11、)=2xlnx-(x+丄)+2xx显然当x=1时，F(x)=0当0 x2,lnx0,F(x)1时，x+2,lnx0，F(x)的符号仍不能判定，求二阶导数得:F(x)=2lnx+1+0 xx2从而F(x)在x1时递增，F(x)F(1)=0，F(x)在1,+w)递增，所以当x=1时，F(x)=F(1)=0,故F(x)0成立，原不等式成立.minalnxb【变式训练1】已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+2y-3=0.x+1x(I)求a,b的值；lnX(II)证明：当X0，且X丰1时，f(X)X-1a(亡!-Inx)b【解析】(I)f(x)=X(X+1)2X2由

12、于直线x+2y一3=0的斜率为2，且过点(1,1)f(1)二1,1f(1)一2,b二1,a11，解得a=1,b=1.b=,22lnx1(II)由(I)知f(X)=+，所以X+1XlnX1f(x)=(2lnX+X-11-X2X2-1考虑函数h(x)=2lnX+X(xo)，则h(x)=2-2X2-(X2-1)一gXX2X2x2所以当x1时，h(x)0,可得h(x)0;xe(0,1)时,1-X2当xe(1,+s)时,1h(x)0;1-x2lnx从而当x0,且x丰1,f(x)-0,即f(x)x-1lnxX-1【变式训练2】已知函数f(X)二ax2-ax一xInX,且f(x)三0.求a；证明：f(x)存

13、在唯一的极大值点x,且e-2f(X)2-2.00【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+Q设g(x)=ax-a-Inx,则f(x)=xg(x),f(x)三0等价于g(x)三0因为g(1)=0,g(x)三0，故g(1)=0，而g(x)=a-,g(1)=a-1，得a二1x若a1，则g(x)=1-x当0 x1时，g(x)1时，g(x)0,g(x)单调递增.所以x二1是g(x)的极小值点，故g(x)g=0综上，a二1(2)由(1)知f(x)=x2-x-xInx,f(x)=2x-2-Inx设h(x)=2x-2-Inx，贝yh(x)=2-x当xe(0,-)时，h(x)022所以h(x)在(0,)单调递减，

14、在(，+8)单调递增.22又h(e-2)0，h(2)0；当xe(x,1)时，h(x)000因此f(x)=h(x)，所以x二x是f(x)的唯一极大值点.0由f(x)二0得Inx二2(x-1)，故f(x)二x(1-x)000000由xe(0,1)得，f(x0)f(e-1)二e-200所以e-2f(x)-l时，x+1设当x0时，f(x)ax+1【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；同时还要用到迁移转化、构造函数的解题技巧，所以应是全卷最难的一题，均分只有0.74分【解法一：官方参考答案】(I)

15、当x一1时,f(x)当且仅当幺1+x.x+1令g(x)=ex-x-1,贝Ug(x)=ex-1.当x0时,g(x)0,g(x)在0,8)是增函数；当x0时，g(x)g(0),即ex1+x所以当x-1时,f(x)丄.1+x(II)由题设x0,此时/(x)0.当a-,则x0,f(x)0时,令力(x)=axf(x)+f(x)-x,则f(x)二当且仅当力(x)0.ax+1h(x)=af(x)+axf(x)+f(x)-1=af(x)-axf(x)+ax-f(x).(1)当0a-时，由(I決欣(x+1)f(x),2h(x)af(x)-axf(x)+a(x+1)f(x)-f(x),=(2a-1)f(x)0,x

16、h(x)在0,8)是减函数,h(x)h(0)=0,即f(x)1时，由知xf(x),2h(x)=af(x)-axf(x)+ax-f(x)af(x)-axf(x)+af(x)-f(x)=(2a-1-ax)f(x),当0 x0,所以h(x)h(0)=0,即f(x).aax+1综上，a的取值范围是0,丄.2【解法二：二次求导】在原解法一第(II)问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地.我们也可以运用二阶导数的方法：【二次求导的巧妙运用】x(II)由题设x0,f(x)ax+11x若a-时，ax+10,f(x)0,贝U

17、ax+10,f(x)o(ax+1)(1-e-x)-x0,当0a-时,2a-10,2从而g(x)0(仅当x=0,a=-时取“=j,2g(x)在0,+s)内递减,g(x)g(0)=0,g(x)在0,+s)内递减,g(x)-时,2a-10,令g(x)=0得x=上二-,从而当0 x0,2aa2a-1此时g(x)在(0,)内递增,g(x)g(0)=0ag(x)在(0,_-)内递增，g(x)g(0)=0,f(x)x不恒成立.aax+1综上可知，0a0；当x1时，ff(x)=-1-lnx0g(x)0,h(x)，xg(e-2,+a)时，h(x)0,h(x)/所以h(x)=h(e-2)=1+e-2，故(1-x一

18、xlnx)0P(x),P(x)p(0)=0，即exx+111+e-2(1-xxlnx)0 x+1证明：对任意的x0，g(x)2时，x2lnx+1(ln2+1)x2；TOC o 1-5 h zx24(2)证明：当ag(-2一丄，一1一丄)时，g(x)=-x3lnx+3a1x3+x(xp2)有最小值，记e4e239g(x)最小值为p(a)，求p(a)的值域.【解析】(1)证明：f/(x)=1-2=邑二20.f(x)在&2+8)上单调递增，xx3x3.x2时，f(x)f(2)即lnx+ln2+:.x2时，x2lnx+1(ln2+)x2成立.x244913a11(2)g/(x)x2lnx+x2+x2+

19、1x2(lnx+a)33x2由f(x)在&2+a)上单增且f(e)1+丄,f(e2)2+丄，ae(2丄,1丄)e2e4e4e2知存在唯一的实数x0e(e,e2)，使得g/(x0)=0，即lnx0+1.xe(J2,x),g/(x)0,g(x)单增.g(x)min=g(x0)x0满足lnx0+2+a=0013a1x32g(x)x3lnx+x3+x=f+x(exe2)03009009300a=lnx0 x20122x2记h(x)9x3+3x(exe2)，则h/(x)=0h(x)在(e,e2)上单9333e62e32e2h(e2)h(x)h(e)+e9393所以P(a)的值域为(竺+2e2,竺+2e)

20、9393四、迁移应用1.【2017河北衡水中学一调】已知f(x)=x+,0 xx0，212x-1,x1,使得/(*=/g)，则A.近-11、B.1丄:C.D.2-V2142丿L丿L2J14丿32丿)【答案】Axf(x)的取值范围为(12解析】作出函数f(x)x+丄,0 x1,因为存在x2,x1当x2x10时人1令y=x2+(121x2，所以2-x12121因为f（x1）=x1+2,f（x1）=f（x2），所以x1f（x2）=x1f（x1）=x2+2所以y=x+1在区间斗1,2）上递增,1所以当x=斗时，y=2-迈14，当x二2时y=2，即x1f*）的取值范围是0，则浮的取值范围12答案】(1)

21、0Ie丿【解析】由题意得：f(x)二g(x)二tnxeXi二xlnx二tnxex】=lnxeinx?二t1212212intintint从而得到x二inx，所以=二(t0丿12xxxinxt1222构造函数，求导：g=字o)，g心)=字t(0,e)e(e,+8)g(t)+0_g(t)单调递增极大值单调递减1int(1g(t)的最大值为g(e)=，故此的取值范围为8,-exx12Ve丿14.设aWR，函数f(x)=2e-x(ax2+a+1)，其中e是自然对数的底数.判断函数f(x)在R上的单调性；(II)当-1a0,只需讨论函数g(x)=-ax2+2ax-a-1的符号:当a=0时，g(x)=-1

22、0，即f(x)0时，由于A=4a2-4(a2+a)=-4a0，可知g(x)0,即广(x)0，函数f(x)在R上是减函数;当a0时，解g(x)=0得x=1土_-，且1+口0,即f(x)0，函数f(x)是增函数；在区间Ia丿.V-a.v-a1+,1aa/上,g(x)0,即f(x)(时，函数f(x)在R上是减函数；当a0时，函数f(x)在区间-8,1+(II)当-1a0时，1a1,1a2,aa所以，函数f(x)在区间1,2上是减函数，其最小值是f(2)=5a12e2135.已知函数f(x)=Inx一x+一1.44x求函数f(x)的单调区间；(H)设g(x)=-x2b-5+2bx-I2，若对任意x1e

23、(0,2),x2e1,2，不等式fq)g(3)恒成立，求实数b的取值范围.解析】20.解：(I)/(x)=ln-ix+-1的定义域杲3,+03)4由x01x0及./(劝0得03,故函魏/W的单调谨增区间是(1,习；单调谨减区间是,(3,4(H)若对任意x1e(0,2),x24,2，不等式几叩g(3)恒成立,问题等价于f(x)g(x)minmax由(I)可知，在(0,2)上,x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点,故也是最小值点，所以f(x)i=f=一1；min2g(x)=-x2+2bx-4,xel1,2当b1时，g(x)=g(1)=2b-5max当1b2时，g(x)=g(b)=b2-4

24、max当b2时，g(x)=g=4b-8max问题等价于1bb2-4I2b2-丄4b-8I2解得b1或1b142或be0即b，所以实数b的取值范围是6.已知函数f(x)二(ax2+x)ex，其中e是自然数的底数，aeR。当a0；若f(x)在1,1上是单调增函数，求a的取值范围；当a=0时，求整数k的所有值，使方程f(x)=x+2在】k,k+1上有解。【解析】因为ex0，所以不等式f(x)0即为ax2+x0又因为a0，所以不等式可化为x(x+丄)0的解集为(0,丄)af(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=ax2+(2a+1)x+1ex当a=0时，f(x)=(x+1)ex，f(x)三0在

25、-1,1上恒成立，当且仅当x=1时取等号，故a=0符合要求；当a丰0时，令g(x)=ax2+(2a+1)x+1，因为A=(2a+1)24a=4a2+10所以g(x)=0有两个不相等的实数根x，x，不妨设xx1212因此f(x)有极大值又有极小值.若a0，因为g(1)-g(0)=a0，所以f(x)在(-1,1)内有极值点，故f(x)在-1,1上不单调.若a0 x12因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在1,1上单调，因为g(0)=10必须满足1g(10.即1：拧02所以一Wa0对于xe(-g,0)(0,+g)恒成立，x2u所以h(x)在(-8,0)和(0,+8)内是单调增函数，又h(1)=e

26、30，h(2)=e220，h(-3)=e-330,f(x)0恒成立，确定实数a的取值范围当a=-1时，是否存在实数xe1,e，使曲线C：y=g(x)-f(x)在点x=x处的切线与y轴垂直?00若存在，求出x的值，若不存在，说明理由0【解析】(1)f(x)=ex+a，因此y=f(x)在(1,f)处的切线l的斜率为e+a11又直线x+(e-1)y=1的斜率为，(e+a)-=-1，1-e1-e:a=1.(2)7当x0时，f(x)=ex+ax0恒成立，先考虑x=0，此时，f(x)=ex，a可为任意实数；又当x0时，f(x)=ex+ax0恒成立，exex(1-x)ex则a-恒成立，设h(x)=-，则h(

27、x)=，xxx2当xe(0,1)时，h(x)0，h(x)在(0,1)上单调递增，当x丘(1,+)时，h(x)V0,h(x)在(1,+w)上单调递减，故当x=1时，h(x)取得极大值，h(x)=h(1)=-emax/.实数a的取值范围为(e,+8)(3)依题意，曲线C的方程为y二exInx-ex+x令u(x)=exInx一ex+x，贝yu(x)=+exInx一ex+1x设v(x)=+Inx一1x则V(x)=-丄+1=二x2xx2当xell,e,V(x)0，故v(x)在11,e上的最小值为v(1)=0(1所以v(x)0,又ex0，.:u(x)=-+Inx一1ex+1o,Ix丿而若曲线C：y=g(x

28、)-f(x)在点x=x处的切线与y轴垂直，0则u(x)=0，矛盾。0所以，不存在实数xeh,e,使曲线C：y=g(x)-f(x)在点x=x处的切线与y轴垂直.008.设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).若x=0是F(x)的极值点，求a的值；(2)当a=1时，设P(x1,f(x1),Q(x2,g(x2)(x10,x20),且PQ/x轴，求P、Q两点间的最短距离；(3)若x0时，函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方,求实数a的取值范围.【解析】(I)F(x)=ex+sinxax,F(x)=ex+cosxa因为x=0是F(x)的极值点，所以F(0

29、)=1+1a=0,a=2又当a=2时，若x0,F(x)=ex+cosx一a0,F(x)=ex+cosx一a0 x=0是F(x)的极小值点，a=2符合题意.(II)*.*a=1,且PQ/x轴，由f(x1)=g(x2)得:x?=ex+sinx所以x?x1=ex+sinx1x1.令h(x)=ex+sinx一x,h(x)=ex+cosx一10当x0时恒成立.xW0,+e)时,h(x)的最小值为h(0)=1.IPQImin=1.(Ill)令申(x)=F(x)一F(一x)=ex一ex+2sinx一2ax.贝y申(x)=ex+ex+2cosx一2a.S(x)=申(x)=ex一ex2sinx因为S(x)=ex+e-x一2cosx0当x0时恒成立,所以函数S(x)在0,+8