高中数学4.5增长速度的比较学案新人教B版必修第二册

1、- -i -5增长速度的比较导学I聚I焦考点学习目标核心素养平均变化率了解平均变化率描述增长速度的概念数学抽象模型增长差异了解在实际生活中不同增长规律的函数模型数学建模预习教材P38 P40的内容，思考以下问题：.平均变化率是如何定义的？.如何用平均变化率描述增长速度？.线性增长、指数增长、对数增长有什么关系？r.新知初摆.平均变化率我们已经知道，函数 y = f(x)在区间xi, X2( xiX2时)上的平均变化 率为A f f (x2) f (xi)=.A xx2 xi也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加i个单位，函数值平均将增加 产

2、个单位.因此，可用平均变化率来比较函Za x数值变化的快慢.几类不同增长的函数模型一次函数模型一次函数模型y=kx(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型y=ax(ai)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快， 即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”.(3)对数函数模型对数函数模型y=logax(ai)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.(4)募函数模型当x0, ni时，哥函数y=xn是增函数，且当xi时，n越大其函数值的增长速度就越快.自我旋测O判断正误(正确的打“，”，错误的打“X”) TOC o 1

3、-5 h z (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.()(2)对任意的 x0, kxlogax.()(3)对任意的 x0, axlog ax.()(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函 数模型.()答案：(1) V (2) X (3) X (4) VxA. y= eC. y=3x国 下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()B. y=ln xr-x.-XD.y = e答案：A 函数“*) = 5从0到2的平均变化率为()B. 1C. 0D. 2解析：选A.由题意可知，函数f (x)=再从。到2的平均变化率为f 一f (0) _2- 0故选A.解

4、惑探究突磴探究点E11平均变化率的比较1例(1)在x= 1附近，取A x = 0.3 ,在四个函数y = x、n=x、y=x、y=-中,x TOC o 1-5 h z 平均变化率最大的是()A.B.C.D.(2)汽车行驶的路程S和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段J c/to, t1 , t1, t2 , t2, t3上的平均速率分别为V1, V2, V3,则三者的J大小关系为,4 :【解析】(1)Ax=0.3时，y=x在x=1附近的平均变化率 k1=1； 汩 丸”一7N= x2在x= 1附近的平均变化率 k2= 2+ A x = 2.3 ;y = x3在x= 1附近的平均变化率 k3=

5、3+ 3 A x+ ( A x)2= 3.99 ; y =一在 x= 1 附近的平均变化率k4= = .所以 k3 k2x x1 + Ax 13kok4,故应选B.(2) vi =koA,s ( ti) s (to)11 一 t oV2 =s (t2) s (ti)t 2 t 1=kAB,V3 =s (t3) - s (t2)t 3 t 2=kBC,又因为 kBC kAB koA,所以 V3 V2 Vl.【答案】(1)B(2) V3V2vi求平均变化率的主要步骤(1)求 Ay = f(X2) f(xi).(2)求 A x = X2 xi.(3)求平均变化率f(X2)- f(X1).AxX2-X

6、1跟踪训练.函数f ( X) = X2在Xo到Xo+ A X之间的平均变化率为k1,在xo A X到Xo之间的平均变化率为k2,则k1, k2的大小关系是()A. k1k2B, k1k2C. k1 = k2D.无法确定解析：选D.k1 =f (Xo+ Ax) f ( Xo)k2=(xo) f (xo A x)Ax2xo A x,又Ax可正可负且不为零，所以 k, k2的大小关系不确定，选 D.2.如图显示物体甲、乙在时间 o到t1范围内，路程的变化情况，下列说法 正确的是.在o到to范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率；在o到to范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率；在to到t1范围内，甲的平

7、均速率大于乙的平均速率；在to到t1范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率.-，一 ,一，乙，一一so解析：由图像知)oto氾围：丫甲=丫乙=丁;s1 soV1 to.t o代 gs2sot o11氾围：V甲=7t 1 一 t o- -因为S2- SoSi-So, ti-to0,所以丫甲丫乙.所以正确.答案：函数模型增长差异的比较例2 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i(x)( i=1, 2, 3, 4)关于时间 x(x0)的函数关系式分别为 f i(x) = 2x 1, f 2(x) =x2, fs(x) =x, f4x) =log 2(x+1),有以下结论：

8、当x 1时，甲走在最前面；当x 1时，乙走在最前面；当0vxv1时，丁走在最前面，当 x1时，丁走在最后面；丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为 .【答案】则国S3国常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y=kx + b(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型y=ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型 y= 10g ax(a 1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的

9、速度越来 越慢，即增长速度平缓.跟踪训练1.下列函数中，增长速度越来越慢的是(y=6x2C. y=x解析：选B.D中一次函数的增长速度不变， 对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.)y= log 6KD. y = 6xA C中函数的增长速度越来越快，只有 B中2.“红豆生南国，春来发几枝” .如图给出了红豆生长时间 一 .1. .- 4 -t(月)与枝数y(枝)的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长 时间的关系的函数是()A.指数函数y=2tB.对数函数y= log 2tC.哥函数y= 13D.二次函数 y=2t2解析：选 A.根据已知所给的关系图，观察得到图像在第一象限，且从左到右图像是上

10、升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好， 故选A.探究点不同增长函数模型的图像特征例国 函数f(x)=lg x, g(x) = 0.3 x 1的图像如图所示.ya(1)指出图中C, G分别对应哪一个函数；.胃 嘉 X(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对 f (x) , g(x)的大小进行比较).【解】(1)由函数图像特征及变化趋势，知曲线C对应的函数为g(x) =0.3x1,曲线C2对应的函数为f (x) = lg x.(2)当 x C (0 , x1)时，g(x) f (x)；当 x C (x1, x2)时，g(x) vf (x)；当

11、 x C (x2, +8)时， g( x) f (x).g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢.由图像判断指数函数、对数函数和一次函数的方法根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图像上升得 快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数 函数；图像增长速度不变的是一次函数.跟踪训练1.以下是三个变量 y1, y2, y3随变量x变化的函数值表:x12345678y1248163264128256y21491625364964y3011.58522.3222.5852.8073其

12、中关于x呈指数函数变化的函数是解析：从表格可以看出，三个变量 y1, y2, y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图像 (图略)，可知变量y1呈指数函数变化.答案：y12.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t （小时）成正比,M亮克时一 a（a为常数），如图所药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=16示,（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进入教室,那么从

13、药物释放开始，至少要经过小时后,学生才能回到教室.根据图中所提供的信息，回答下列问题:,1、o.1 a由仁,得（2）由题意可知,0.6.1 1ot, 答案：(1)y=1。而161(2)o.6一解析：（1）由图像可知，当 0WtW0.1时，y=10t;当t0.1时,1a= o.1 ,则当 t o.1 时，y=:6)1o1f 1ot，而，测评案,解析：选D.由题意，可得平均变化率f (xo+ Ax) f (xo)2 (xo+ Ax) 2xo=2,故验证反愦达标1 .函数y = 2x在区间xo, xo+ Ax上的平均变化率为（）A. Xo+ A x1 + A xD. 22+ A x选D.2.卜列函数

14、中，在（。，+8）上增长速度最快的是（）A.2y= xC. y= 2xB. y= log 2xxD. y= 2答案：D3.在一次数学试验中，采集到如下一组数据:x 2.0-1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x, y的函数关系与下列哪类函数最接近？（其中a, b为待定系数）（）xA. y=a+bxB. y=a+bC. y=ax2+bD. y= a+-x答案：B4.现测得（x, y）的两组对应值分别为（1 , 2）, （2, 5）,现有两个待选模型，甲：y=x2+ 1,乙：y=3x1,若又测得（x, y）的一组对应值为（3 , 10.2）,则应选用 作为

15、函 数模型.答案：甲应用案，回（5希A强色培优通推 基础达标1.函数y = x2+1在1 , 1+Ax上的平均变化率是（）A. 2C. 2+ A x2x_2D. 2+( Ax) （14 Ax） 212解析：选C.依题意，所求平均变化率为 -=2+Ax,故选C.A x2.已知函数 y=f（x）=x2+1,则在x=2, Ax=0.1时，A y的值为（）B. 0.41A. 0.400.43D. 0.44解析：选 B. Ay = f（x+ Ax） -f（x）=f（2 +0.1） f（2） =（2.1） 2+1 （22+1） =0.41.故选.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后

16、，为了赶时间加 快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是（）DC解析：选C.小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A.因 交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(A. y=2x 2C. y= log 2X解析：选D.法一：相邻的自变量之差大约为1 ,相邻的函数值之差大约为2.5 , 3.5 , 4.5 ,6,基本上是逐渐增加的，二次曲线拟

17、合程度最好，故选 D.法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法.可取 x=4,经检验易知选 D.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的 x倍，需经过y年，则函数y=f(x)的图像大致是()ABCD解析：选 D.设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知，ax = a(1 +0.104) y,故y =log Ix(x1),所以y=f(x)的图像大致为 D中图像.函数y = x2与函数y=xln x在区间(1 , +0)上增长较快的一个是 .解析：当x变大时，x比ln x增长要快，所以x2要比xln x增长得快.答案：y = x2.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y

18、( C)随着时间t (min)变化的 (笛)情况由计算机记录后显示的图像如图所示.现给出下列说法：八前5 min温度增加的速度越来越快；前 5 min温度增加的速度越来仃一百而而越慢；5 min以后温度保持匀速增加；5 min以后温度保持不变.其中正确的说法是.解析：因为温度 y关于时间t的图像是先凸后平，所以前 5 min每当t增加一个单位， 相应的增量Ay越来越小，而5 min后y关于t的增量保持为0,则正确.答案：8.生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像,对应AD水高度水高度水高度。 时间0 时间。 时

19、间0 时间（3）（4）解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与（4）对应；B容器为球形，水高度变化为快一慢一快，应与（1）对应；C, D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为C容器快，与（3）对应，D容器慢，与（2）对应.答案：（4）（1）（3）（2）.同一坐标系中，画出函数y= x+5和y=2x的图像，并比较 x+5与2x的大小.解：根据函数y = x + 5与y=2x的图像增长差异得:当 x2x,当 x=3 时，x+5=2x,当 x5 时，x+52x.某国2016年至2019年国内生产总值（单位：万亿元）如下表所示:年份20162017

20、20182019x（年份代码）0123生产总值y （万亿元）8.20678.944 29.593 310.239 8（1）画出函数图像，猜想 y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式;（2）利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；（3）利用关系式预测2033年该国的国内生产总值.解：（1）画出函数图像，如图所示.从函数的图像可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y = kx+ b（kw0）.把直线经过的两点（0, 8.206 7）和（3, 10.239 8）代入上式，解得 k= 0.677 7 , b= 8.206 7.所以函数关系式为 y = 0.67

21、7 7 x + 8.206 7.（2）由得到的函数关系式计算出2017年和2018年的国内生产总值分别为0. 677 7 X1+ 8.206 7 =8.884 4（万亿元），0. 677 7 X2+ 8.206 7 = 9.5621（万彳乙元）.与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元.2033 年，即 x=17 时，由（1）得 y=0.677 7 X 17+ 8.206 7 = 19.727 6 , 即预测2033年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元.B 能力提升11.在固定电压差（电压为常数）的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度 I 与电线半径的三次方成正比，若已知

22、电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为 320安,则电流通过半径为 3毫米的电线时，电流强度为 （）A. 60 安B. 240 安C. 75 安D. 135 安解析：选D.由已知，设比例常数为 k,则I=k-r3.由题意，当r = 4时，1=320,故有320=kX43,解得 k=320=5,所以 I/：故当 r = 3 时，I =5X 3 3= 135(安).故选 D.12.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x（年）的函数关系较为近似的是（）y=0.2xc1,2c、y = 10(x+

23、2x)2xy=10y=0.2 +log 16x解析：选 C.将 x=1, 2, 3, y = 0.2 , 0.4,0.76分别代入验算.13.某品牌汽车的月产能 y（万辆）与月份x（3 vxw12且xCN满足关系式y= a-+ b.现已知该品牌汽车今年 4月、5月的产能分别为1万辆和1.5万辆，求该品牌汽车7月的产能为多少万辆.一 ,2a + b =1,解：由已知得17a + b = 1.5 , ,4解得a=- 2,b=2,一 4+ 2,当 x=7 时，y= 1 ； + 2= 1.875. 2故该品牌汽车7月的产能为1.875万辆.C 拓展探究14.某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产

24、量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件.由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好.为了使推 销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.以这四个月 的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数有三个备选：一次函数 f (x) = kx+b(kw0),二次函数 g(x) =ax2+bx+c(a, b, c为常数，aw0), 指数型函数 mx) = abx+c(a, b, c为常数，aw。，b0, bw1).厂里分析，产量的增加是由 于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将 会采用什么办法估计以后几个月的产量？解：将已知前四个月