高中数学4.6函数的应用二学案新人教B版必修第二册

1、- -问题导学4. 6函数的应用（二）4 .7数学建模活动：生长规律的描述（略）考点学习目标核心素养指数、对数函数模型在实际问题中的应用会利用已知函数模型解决实际问题数学建模根据实际问题建立函数模型能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题数学建模研犊导学青馍 .预习教材P42 P44的内容，思考以下问题：1. 一次、二次函数的表达形式分别是什么？2 .指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？新知初度几类常见的函数模型名称解析式条件一次函数模型y= kx+ bkwo反比例函数模型y = _+ b x xkwo二次函数模型般式：yax + bx+c顶点式：y-a1x+f + I 2a/4aa

2、w 0指数函数模型y = b ax + ca0且 aw 1, bw0对数函数模型y = mlog ax + na0 且 aw 1, m 0哥函数模型y = axn+ maw0, nw1、自我检一测：0判断正误（正确的打“，”，错误的打“X”）（1）在一次函数模型中，系数 k的取值会影响函数的性质.（）（2）在哥函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性.（）答案：（1） V （2） V某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为电动自行车0.3元/辆,普通自行车0.2元/辆.若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为 y元，则y与x的函数关系式为()y=0.2x(0WxW4

3、000)y=0.5x(0 x4 000)y=- 0.1 x+1 200(0 wxw4 000)y= 0.1 x+ 1 200(0 x400)(1)将利润表示为月产量 x的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少?【解】(1)设月产量为x台，则总成本 Gx) = 20 000 + 100 x,利润f (x) =R(x) -G(x)|-2x2+300 x-20 000 (0 x400)(2)由 0WxW400 时，f (x) = 2( x300)2+25 000.所以当x= 300时，f(x)取得最大值25 000元.当 x400 时，f(x)=60 000 100 x 是减

4、函数，f (x) v 60 000 -100X 400= 20 000 v 25 000.所以当x= 300时，f(x)的最大值为25 000元.25 000 元.即每月生产300台仪器时，能获得最大利润，最大利润为规律方法理解所给函数模型中各量的意义，利用已知量求解析式，进而求函数的问题来解释实际 问题.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一个单，、，一，、- 八1，位产品，成本增加1万元，又知总收入 R是单位产量Q的函数：R(Q = 4Q-诋Q,则总禾I润L(Q的最大值是 万元，这时产品白生产数量为 单位.1 22.12斛析：总利润=总收入一成本，L(Q = 4Q-

5、200Q(200 + Q = - 200( Q- 300) +250.所以产品的生产数量为 300单位时，总利润L(Q)的最大值是250万元.答案：250 300探究点构造函数模型解决问题例团 目前某县有100万人，经过x年后为y万人.如果年平均增长率是1.2%,请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万.(精确到1年)【解】(1)当 x=1 时，y= 100+100X 1.2 %= 100(1 + 1.2%);当 x=2 时，y= 100(1 +1.2%) +100(1 +1.2%)

6、 X1.2 %= 100(1 + 1.2%)2;当 x=3 时，y= 100(1 + 1.2%) 2+100(1 + 1.2%)2X 1.2%一 一 3= 100(1 +1.2%);故y关于x的函数解析式为 y= 100(1 +1.2%)x(xC Nj .(2)当 x= 10 时，y= 100X(1 + 1.2%)10= 100X1.012 10= 112.7.故 10 年后该县约有 112.7 万人.x120(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100X (1 + 1.2%) =120,解得x = log 1.012赤16.故大约16年后该县的人口总数将达到120万.建立函数模型应把握的

7、三个关口(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口.(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题.50辆自行车某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租.该景区有供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过 6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，

8、用y（元）表示出租自行车的日净收入 （日净收入=一日出租自行车的总收入一管理费用）.（1）求函数y= f （x）的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？解：（1）当 x0,解得 x2.3.因为 xC N*,所以 3 x6 时，y=50 -3(x-6) x- 115.令50 -3(x-6) x-1150,得 3x268x+115V0.又 xCN*,解得 2WxW20,所以 6x20, x N,50 x- 115, 3x6, xC N*,故 y = *2*3x +68x-115, 6x20, xC N,定义域为x|3 WxW20, xC M.*(2)对于

9、 y = 50 x-115(3 x6, xC N),显然当 x=6时，ymax= 185,对于 y=3x2+68x 115= -3x-34 ； +811(6x185,所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多.探究点&T拟合函数模型解决问题例国 某经营商经营了 A B两种商品，逐月投资金额与所获纯利润列表如下:投资A种商品金额（万元）123456获纯利润（力兀）0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额（万元）123456获纯利润（力兀）0.250.490.7611.261.51该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A, B两种商品各多少万元才

10、合算.请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）.【解】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出A B两种商品的散点图分别如图所示.B种商品观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数乂种商Inr模型进行模拟.取点(4, 2)为最高点，则y=a(x4)2+2, 2再把点(1 , 0.65)代入，得 0.65 =a(1 -4) +2, 解得 a=- 0.15 ,所以 y=- 0.15( x 4)2+2.B种商品所获纯利润 y与投资额x之间的变化规律可以用一次

11、函数模型进行模拟.设丫=1+。取点(1 , 0.25)和点(4, 1),代入得0.25 =k+b,解得1 = 4k+ b,k=0.25 ,所以 y= 0.25 x. b=0,2y= 0.15( x-4)故前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是+ 2,前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.设第七个月投入A,xa+ xb= 12,W= yA+ yB= 0.15B两种商品的资金分别为xa, xb(万元)，总利润为,.、2(xa 4) + 2 + 0.25 xb.所以 W= 0.15 xa好+ 0.151 000 得，x号,3故每天至少需要卖

12、出 234张门票.巩固提升A基础达标 . * 1.某种产品今年的产量是 a,如果保持5%勺年增长率，那么经过 x年(xCN),该产品的产量y满足()A. y=a(1 +5%x)B. y= a+5%C. y=a(1+5%)x1D. y= a(1 + 5%)x解析：选 D.经过1年，y=a(1+5%),经过2年，y=a(1+5%)2,，经过 x年，y= a(1 + 5%)x.2.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的 单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波，其音量的大小 刀可由如下公式计算：刀=10-lg ；(其中I。是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设Y

13、 1 = 70 dB的声音强度为I1, Y 2= 60 dBI 0 的声音强度为I2,则I1是12的()A.7倍B. 10 倍7c. 106倍 TOC o 1-5 h z 解析：选 B.依题意可知，Y 1= 10 - lg Y 2= 10 - lg 所以 Y1 Y2=10|g I 0I 0I 010 - lg F，则 1 = lg I1 lg I 2,所以二=10.故选 B. I 0I 23.设在海拔x m处的大气压强是y Pa, y与x之间的函数关系为 y=cekx,其中c, k为 常量.已知海平面处的大气压强为1.01 x 105 Pa,在1 000 m高空处的大气压强为0.90X10 5

14、Pa,则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据：0.89 0.6 =0.93)()A. 9.4 x 104 PaB. 9.4 x 106 PaC. 9X103 PaD. 9X 105 Pa解析：选 A.依题意得：1.01 X10 5=ce=c, 0.90 X 105 = ce1 0k,因此 e1 00=吉10.89 ,因此当 x=600 时,y = 1.01 X10 5e600k=1.01 x 105(e 1 000k)0.6 = 1.01 x 1 05x 0.89，9.4 x 104,故 选A.4.如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动， M是CD的中点.当数y = f(x)的图像大

15、致是(P经过的路程x与APM勺面积y之间的函点P沿路线AB-GM运动时，点11解析：选A.由题意得，当0vxwi时，SAPg- x 1 x x=2x；当1vxW2时,1JSaAPg S 梯形ABCMH S abp- S PCM= 2 X 1 +112 |X 1 X 1 X (x 1)1 12X2X(2 x)=-4x+l ；当 Zvxv)时，SaAPg；X gx 1 1 =x+).22224结合选项可知，A选项符合题意.(2019 唐山一中期中)拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位：元)由函数f(n), 0Vme 4,=”给出，其中m是不小于m的最小整数，例如2 =2, 1.21x ( 0.5

16、 m + 1) , m 4=2,那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为()A. 3.71 元B. 4.24 元C. 4.7 元D. 7.95 元解析：选B.由m是大于或等于 m的最小整数可得5.2 =6.所以f(5.2) =1.06 X (0.5 X6+ 1)=1.06 X4= 4.24.故从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为 4.24元.故选B.为绿化生活环境，某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a,则经过x年后植树的棵树y与x之间的解析式是 ,若计划3年后全年 植树12.5万棵，则a=.解析：经过x年后植树的棵数 y与x之间的解析式是 y= 6.4(1 +a

17、)x,由题意可知6.4(1 +a)3 = 12.5, 3 1255所以(1 +团3=封，所以1 + a = 4,故 a= 7= 25%. 4答案：y= 6.4(1 +a)x 25%. 一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%勺速度减少.为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过 小时才能开车.(精确到1小时， 参考数据：lg 2 =0.30, lg 3 =0.48)解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为 0.3(1 - 0.25) n.根据题意，有 0.3(1

18、-0.25) 至0.09 ,即(1 - 0.25) n0.3 ,在不等式两边取常用对数，则有 nlg |=n(lg 32lg 2)131wlg 0.3 =lg 3 1,将已知数据代入，得n(0.48 -0.6) y=43,故至少经过5小时才能开车.答案：5.放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化.常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T1现测得某种放射性元素的剩余质量A随2时间t变化的6次数据如下:t (单位时间)0246810A(t)3202261601158057从以上记录可知这种元素的半衰期约为 个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)

19、=.解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A = 320,则经过时间t的剩余质量为 A(t) =Ad - 2 it7= 320 - 2 4 ( t 0).2答案：4 320 2 4( t 0).汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为 S,驾驶员反应时间内汽车行驶距离为Si,刹车距离为 S2,则S= S1 + S2.而Si与反应时间t有关，S=10ln（ t + 1）, S2与车速v有 关，&= bv2.某人刹车反应时间为（水一1）秒，当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离 为20米，

20、若在限速100 km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？（精确到米）解：因为刹车反应时间为 （g1）秒，所以 S=10ln（m一1 + 1） = 10ln/ = 5,当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则& = b（60） 2=20,11 2解得b=湎，即&=醐.一 1）若 v=100,则 &=痴* 1002=56, S = 5,所以该汽车的安全距离S= Si+ &= 5+ 56= 61（米）.家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q= Qe 卷，其中Q是臭氧的初始量.（1）随着时间的增加，臭氧的含量是增加还

21、是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（精确到年，参考数据：In 2 = 0.693, In 3 =1.099）解：（1）因为 Q0, - 4001，所以Q= Qe 上;为减函数， 400所以随着时间的增加，臭氧的含量减少.（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则C C X 1 - rrX 1Q= Q400=尹，即 e-400=2,什 X 1 .取对数可得400= In 2,解得 x=4001n 2 =277.2.所以278年以后将会有一半的臭氧消失.B 能力提升. 一种放射性元素，每年的衰减率是8%那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半）t等于（）0.5A. Ig T g

22、0.920.92 B Ig_0TCjg2.5.lg 0.92D lg 0.92.lg 0.5.一、.t a 一t 1 . 一t解析：选C.由题意知a(1 8%) = 2,即(1 8%)=/，等式两边取对数得lg 0.92 =lg 0.5,lg 0.92即tlg 0.92 =lg 0.5 ,所以t=205一,故C选项是正确的. (2019 宜昌一中期中)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是0 i ,空气的温度是 0 0 , t min后物体的温度 0 C可由公式9 = 60+(61-60) - e-0.24t求得， 且把温度是100 C的物体放在10 C的空气中冷却t min后，物体的温度是 40 C,那么t的 值约等于.(参考数据：ln 3取1.099, ln 2取0.