高考数学大二轮复习第三讲圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的最值范围证明问题限时规范训练文

1、- -第1课时 圆锥曲线的最值、范围、证明问题练技巧练方法，a限时规范训练 ，一一1 ,一1. (2019 广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在 x轴上的椭圆 M的离心率为2,椭圆上异于长轴顶点的任意点 A与左、右两焦点F1, F2构成的三角形中面积的最大值为小(1)求椭圆M的标准方程;(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接 CE与椭圆的另一交点为 B,求证：直线解得c=1, a=2, b= J3.所以椭圆MAB与x轴交于定点P,并求PA EC勺取值范围.解析：(1)由题意知 a=2, 2 2c b=J3, a2 = b2+c：22的标准方程是4=1.(2)证明：设 A(xb y

2、1) , Rx2, y2) , C(xb y0,直线AB y= kx+m 将 y= kx +簿2x代入丁 十428km4m124k2+3，x1x2= 4k2+ 3 .所以2k4n2 128kmET (k)4m 2m= ，解得 m= 4k.所以直线 AB： y=k(x 4),与x轴交于定点P(4,0).一， 23 2b一 一一因为 y2= 3-4x2,所以 PA- F2C= (x1-4,、，.、2_.27 2_.7y1)(x11, y。=x15x1 + 4 y1=%x1 5x1+1 =z10 2 18x 7厂亍.18因为一2x1b0)的左、右焦点分别为点F1, F2,其离心率a b1为2,短轴长

3、为2 3.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F1的直线11与椭圆C交于M N两点，过点 E的直线12与椭圆C交于P, Q两点，且I1/I2,证明：四边形 MNP4可能是菱形.y= 1 得，(4 k2+ 3)x2+8kmx+ 4n212= 0.则 x + x2= 3，八 ,广 kx2+m fkx1 + m因为B, C, F2共线，所以kBR=kCR,即大二 = x1 I整理得 2kx1x2+ (m- k)( x1 + x2) 2m= 0,解析：(1)由已知，得 c=1, b=-J3,又 c2=a2-b2, a 2故解得 a2 = 4, b2= 3,所以椭圆C的标准方程为x- + y-=1. 4

4、3(2)证明：由(1),知Fi( 1, 0),如图，易知直线MN能平行于x轴，所以令直线 MN勺方程为x= my- 1, Mxi, yi), N(x2, y),3x2+4y2- 12=0联立方程,x= my- 1得(3 R2+ 4)y2 6my-9= 0,“，6m- 9所以 y1+y2=3m , y1y2=3m.此时 | MNJ= |(1 + m2 (y1 + y2 2 4y、y2.同理，令直线 PQ勺方程为x=m什1, P(x3, y3) , Qx4, y4)， 6m 9此时 y3+y4=3mT7, y3y4=3m,此时 | PQ =叱1 + m2 y4 2 4y3y4,故|MN=|PQ所以

5、四边形 MNPQ：平行四边形.若平行四边形 MNP盘菱形，则 OMLON即OM ON= 0,于是有*仅2+丫心=0.2又 xiX2= ( my 1)( my- 1) = my42 m y +y2) + 1,所以有(rm+ 1)yymy-y2) + 1 = 0,_ 12m _ 5整理得到中丁 =2即 12m+5=0,上述关于m的方程显然没有实数解，故四边形 MNPQF可能是菱形.x2 y22(2019 安庆二模)已知椭圆C: 1+g=1(ab0)的离心率为 北,且过点(2,、/2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A B为椭圆C的左、右顶点，过 C的右焦点F作直线l交椭圆于M N两点，分别记

6、ABM ABN的面积为S , S2,求| S S|的最大值.C 242222解析：(1)根据题息可得：a=，孑+=1，a = b+c,解得：a2 = 8, b=2.故椭圆C的标准方程为：xr + yr=1. 84(2)由(1)知F(2,0),当直线l的斜率不存在时，Si=S2,于是|S S| =0;当直线l的斜率存在时，设直线 l : y= k(x2)( kw0),设 M(xi, yi) , N(x2, y2),，y=k(x-2 联立x2 y2得(1 +2k2)x28k2x+8k28=0.8 48k2.xi + x2=kk22-8k 8xix2=i + 2k2?于是 | s S| =2X4 W

7、x 1 yi + y2| = 2必| k( xi + x?) 4k| = 2必卜 X8k21 + 2k28小w随=4. n1r+2|k|2 2当且仅当k=当时等号成立，此时|S S2|的最大值为4.综上，|S S2|的最大值为4. 2(20i9 朝阳区模拟)过椭圆WW x2+y2=i的左焦点Fi作直线li交椭圆于A, B两点，其中A(0,i),另一条过Fi的直线l 2交椭圆于C, D两点(不与A, B重合)，且D点不与点(0, - i) 重合.过 Fi作x轴的垂线分别交直线 AD BC于E, G (i)求B点坐标和直线l i的方程； (2)求证:|ER|=|FiG.Py=x+i解析：(i)由题

8、意可得直线l i的方程为y = x+i.与椭圆方程联立，由Sx2 2 5+ y=1可求b1-3,-3.y= k(x+ 1 )由x22尹y = 1(2)证明：当l 2与x轴垂直时，C, D两点与E, G两点重合，由椭圆的对称性，|EF|=|FiG.当l 2不与x轴垂直时,设 C(xi, yi) , D(x2, y2) , 12的方程为 y= k(x+1)( kw 1).消去 y,整理得(2 k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.ni,-4k2川 xi+X2=2k2+ ixix2 =2_2k 22k2+1.由已知，X2W0, 则直线AD的方程为y1 =41x,令x=1,X2得点E的纵坐标yE=X2y2+ 1X2把y2= k(X2+ 1)代入得yE=件+ 1 11 k) .X2则直线BC的方程为11 3 y+3=-4X1+3y 1 X1 1令x = 1,得点 G的纵坐标 yG=7-.3X1 + 3把y-k小+D代入得yG= y：1,X21 1-yE+ yG=X2LY (X1+1 (k1)3X1 + 4r k 俾+ 1：f3X1 + 4 厂 X2(X1+ 1 X2 -3x1+4门一k 2 X1X2+ 3fx1 + X2 廿 4X2 - 3X1+4把 X