各种各样的代数运算

1、教师归纳好，学生照搬套，习惯用技巧，不会去思考。 161电影网整理发布1第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例课件作者：南京师大数科院周兴和1、仿射变换 定义3.1 在拓广平面上，保持无穷远直线不变的射影变换称为射影仿射变换. 定理3.1 射影变换保持l：x3=0不变a31=a32=0.证明：(略, 见教材).显然, 射影仿射变换形如作用于射影仿射平面(拓广平面上).2第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例1、仿射变换显然, 射影仿射变换形如作用于射影仿射平面(拓广平面上).将(3.2)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式), 得称(3.3)决定的变换为仿射变换, 作用于一般仿射

2、平面上.3第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例1、仿射变换中, 如果矩阵A为正交阵, 即满足AA=E, 则称为正交变换, (3.3)的齐次坐标表达式称为射影正交变换.2、正交变换 定义3.2 在仿射变换 注：正交变换作用于欧氏平面上, 而射影正交变换则作用于射影仿射平面上.4第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例二、群与变换群 定义 (代数运算)设A, B, C为集合, 为AB到C的一个对应. 则称为AB到C的一个代数运算. 特别地, 若B=C=A, 则称为集合A上的一个代数运算. 注：代数运算可以满足结合律, 交换律, 分配律中的某一个或者全部. 以下这些概念都将在近世代数课程

3、中学习, 我们仅承认并应用. 定义了代数运算的集合称为代数系统, 代数学就是研究代数系统的科学.5第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例二、群与变换群 比如, 实数集R上的加(减)法、乘(除)法都是R上的代数运算. 比如, 对于数域F上的向量空间V, 数乘向量是FV到V的一个代数运算. 有形形式式的集合, 更有各种各样的代数运算. 比如, 矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算. 比如, sin不是一个代数运算, 而sincos是一个代数运算.6第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例二、群与变换群 定义3.3 (群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为乘法. 如果满足下

4、述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群, 记作G. 注1 定义中的运算是称为乘法, 未必是通常的乘法. 注2 群中的乘法不一定满足交换律. 若满足交换律, 可以将这种乘法称为加法, 这样的群称为交换群或加法群或Abel群.7第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例二、群与变换群 例1 设Q*表示全体非零有理数的集合, 则Q*对于数的乘法构成群. 例2 设M表示实数域上全体n阶可逆方阵的集合, 则M对于矩阵的乘法构成群. 定义3.3 (群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为乘法. 如果满足下述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群, 记作G.8第三章 变换群与几何学一、二

5、维射影变换的特例二、群与变换群 定义3.4 (子群)设G为群, H为G的一个非空子集, 若H对于G上的乘法也构成群, 则称H为G的一个子群. 定理3.2 群G的一个非空子集H为G的子群H满足下述条件. 证明. 只要由上述(1), (2)推出H对于G的乘法满足群的4个条件(严格证明将来见近世代数课程). 9第三章 变换群与几何学一、二维射影变换的特例二、群与变换群 定义3.5 (群的同构)两个群G, G之间的一个能够保持乘法运算的双射称为G与G之间的一个同构映射. 如果群G与G之间存在一个同构映射, 则称G同构于G, 记作GG. 定理3.3 非空集合S上全体一一变换的集合对于变换的乘法构成群. 称为集合S上的全变换群. 定理3.4 非空集合S上若干个一一变换的集合G对于变换的乘法构成群