重复控制理论电流跟踪

1、重复控制理论2.1重复控制的基本思想重复控制是基于内模原理的一种控制思想。所谓“内模”，是指在稳定的闭环控制系统中包含外部输入信号的数学模型。 下面是内模原理的具体描述：对于 一个控制系统而言，如果控制其的反馈来自被调节的信号， 且在反馈回路中包含 相同的被控外部信号动态模型，那么整个系统是结构稳定的。内模原理的本质是 把系统外部信号的动力学模型植入控制器以构成高精度的反馈控制系统。这样的系统能够无静差的跟踪输入信号。对于所有的无静差系统，都存在这样的问题， 即当输入信号趋于0时，如何保证继续输出适当的控制信号，以维持合适的控制 作用。此时虽然给定信号和反馈信号依然存在，但误差信号为 0,系统

2、信号通道 已经断开，输出与输入无关，这就要求控制器中必须包含能够反映外部指令或干 扰的模型，该模型能持续不断地输出相应的控制信号。 从这个角度来说，内模的 作用类似于一个信号发生器，可以不依赖外部变量给出的控制信号。由控制理论知道，含有积分环节的闭环控制系统可以无静差的跟踪阶跃信号，而且可以完全抵消作用在积分环节之后的阶跃型干扰。 可从内模原理的角度 对此作出解释，阶跃信号的数学模型为 1/s,而闭环系统中的积分环节也是1/s, 系统包含了外部信号的数学模型，从而获得来无静差的跟踪给定信号的能力，可 以将积分控制理解为内模原理的一个典型应用。当内模中的数学模型描述的是周期性的信号时， 那么闭环

3、控制系统就能够无静差地跟踪周期信号。如果系统的给定信号或扰动为单一频率的正弦信号，那么只要在控制器内植入与指令同频的正弦信号模型 G(s) -2 ,就可以实现系 s统的无静差跟踪。如果外部信号包含其它频率成分， 这种情况下，若要实现无静 差，只能针对每一种频率的信号设置一个内模，如果频率成分较复杂，那么内模数量就会很大，从应用角度而言不太合理，工程上也不易实现。而这种情况在实 际系统中经常出现，例如机械手在进行重复性动作时，它所受到的干扰信号并非 单一频率的正弦信号，频谱比较复杂，形式为指令信号的倍数关系；负载为整流 器的逆变电源的干扰信号除了基波频率外，还包含谐波成分。对于这样的系统，若采用

4、传统的内模控制会使控制器结构异常复杂。 为此需要寻找一种新的内模形 式来描述此种类型的外部信号。分析可知，上面所述两种情况的干扰信号具有两个特点：首先是可重复性， 即周期性。其次是指令信号的谐波形式。因此扰动信号在每个基波周期都以完全Ls相同的波形出现。对于这样的信号，可采用如下形式的内模：G(s) 上1t，L1 e为给定信号的周期。这是一个周期延时正反馈环节，不管什么形式的信号，只要 重复出现，而且频率是基波的倍数，讷么该内模的输出就是对输入信号的逐周期 累加。当输入信号衰减为0,该内模依然会不断的逐周期输出与上周期相同的信 号，相当于任意信号发生器。它的作用类似于积分环节，区别仅在于它是逐

5、周期 的累加，因此这样的内模能够满足要求。采用这种特殊形式内模的闭环控制系统 称之为重复控制系统。由于上式中的存延时环节 e Ls难以用模拟器件实现，因而 在应用中重复控制都是以离散的数字形式实现。重复控制器内模的离散形式为Z N，人厂一EG N-, N为一个周期的米样次数。见图 2-1。1 Z N2.2重复控制器的结构及功能重复控制器的内模对于重复控制控制而言，内模是系统的核心，它提供了稳定持续的控制信号， 图2.1表明，当内模为理想情况时，输入信号为0的情况下输出可以无衰减的反 复重现上一周期的信号。但是理想内模的极点分布在虚轴上，处于临界振荡状态， 系统稳定性较差。当受控对象的参数稍有变

6、化，整个闭环系统很可能不稳定。图 2.2所示的重复控制器基本框图，可得到闭环系统的传递函数为：式右面第二项是稳定收敛的R + M +心-力-*21* 3匚 qzffi2.3结构框图图2.4改进型内模原理图由图可见，系统稳定存在约束条件| 1 P|1。这表明在理想内模条件下，只有满足此约束条件误差才会收敛。 但在一般情况下，被控对象难以在整个频段 满足此条件，此时可对内模加以改造，即采用 QZ N代替Z N,保证系统稳定收 敛。Q可为小，于1的常数，也可以为具有低通性质的函数。使得回路满足 Q(1 P)| 1。改进型内模结构见图2.4。但是引入Q之后，内模的“纯积分” 特性也被破坏，当输入信号为

7、0时，改进内模的输出不能完全复现上个周期的信 号，而是逐周期的衰减。如果 Q为常数，那么仅为幅值衰减，如果 Q为低通函 数，对于非单一频谱的信号而言，信号的形式就会发生变化。以图 2.4为例子，信号的传递函数为下面形式:Uo 1Ui 1 QZ N差分形式为:Uo(k) Ui(k) Q(k N)此式表明每个周期(N步)的输出量都会增加，增量是将上一周期输出值衰减 Q倍。当Q为具有低通特性的函数时，作用完全相同，只是频率越高增量越小。此方法虽然提高了系统的稳定性，但是牺牲了无静差特性，内模的“纯积分”变 成了 “准积分”。R(1 Z N)PZ NE R Y=E ()N R Y= Y R(N )1

8、(1 P)Z N1 (1 P)Z N一 N Z G2.2,2周期延时环节在一些文献中，z被单独列出作为周期延时控制环节，本文虽然也采用了这种论述形式，但需要说明的是zN并非单独的控制环节，它实际是内模的一部分，延时特性是重复控制内模的固有性质，不能为了提高动态性能而舍弃次环节。Z N由图2.1可以看出，完整的内模表达式应为：=)。为了便于分析内模的作1 Z1用，将内模变化为图2.2中虚线内的形式，数学表达式为： N*Z No形式1 Z N上可以理解为“积分”和延迟两部分。Z N位于重复控制系统的前向通道上，使控制信号延时为1个周期。由于指令信号和扰动信号均为周期性， 这样可使控制 信号对下一周

9、期而言具有一定的超前性。而且对于超前相位补偿，此环节也是必 须的，后面的章节有详细说明。引入周期延迟环节后，系统的快速性受到影响，有较大的控制滞后。因此在使用重复控制器时多采用嵌入式结构，保留指令信号 的快速通路，见图2-5.0-,臣 q| 15tzl N 殁 .-+f侬:_图2.5 重型检制系统框图补偿器补偿器S(z)是针对对象P(z)特性而设置的，它决定了重复控制系统的性能。当重复控制器的内模输出了包含指令和扰动信息的信号后， 如何使控制对象的输 出完美地跟踪指令信号，这是补偿器要解决的问题。以往的文献利用零相移误差跟踪理论对补偿器S(z)进行设计研究，但此方法没有考虑到补偿器S(z)对系

10、统性能的影响。对于控制系统而言，极点的位置和系统的性能有着密切的关系， 因 此本文从极点分布的角度对补偿器的特性进行研究。由图2.5给出r到e的传递函数:e (1 P)(1 QZ N) r 1 Z n(Q SP)e r (u r)*P=u e* Z N N S- e r (e* Z N N S r)*P 1 QZ N1 QZ N=)e (1 P)f qzN) r 1 Z n(Q SP)由传递函数可知，系统的极点：ZN Q SP,当所有的极点都位于圆心上,即z=0时，系统具有最好的动静态特性，此时Q SP,在理想内模情况下Q 1,即SP 1。所以当取S P 1形式时，系统既有最好的稳定性，又具有

11、最快的误差收敛速度和最小的稳态误差。但是有两个因素制约着S无法取P 1的形式。首先，如果P包含单元圆外的零点，这样按照S P 1会存在单位圆外的极点，补偿器会不稳定，导致整个系统无法稳定。其次,要想在整个频段保证S P 1 ,前提是获得一个完美精确的逆变电源模型P ,这在一定程度上是很难实现的，尤其是针对其高频的特性。补偿器的设计7 d1假定受if$对象PB(z ) , d为受控对象的响应延时，根据前面的结论设Az计控制器S(z) ；：；),可以实现完美的跟踪特性。但由于上述原因(补偿器的极点为受控对象的零点，当受控对象的零点在单位圆外时，可能会导致补偿器不稳定)不能对受控对象直接求逆的方法设

12、计 S(z)。传统的方法是通过零相移误差跟踪理论设计相应的S(z)控制器。首先对B(z 1)进行分解，得到B(z 1) B：(z 1)BU(z 1),其中B：(z 1)包含所有单位圆内的零点，B：(z 1)包含单位圆外以及单位圆上的零点。新设计的补偿器形式为S(z)1A(z1)B：(z 1)B：(1)zd,其中B：(1)的作用是调整S(z)的增益。根据零相移误差跟踪理论，S(z)P(z)应满足零相移、零增益的条件，因此有如下推导:SPd 11zdB(z1)* A(z 1)A(z1)a z 1 u ,八Bc (z )Bc(1)dB：(z 1)ZBcU(1)定义:B：(zBU(e j T)B：1)

13、bU。bU c1 zB：(B：(e j T)1U 2bc2 zU r s bcsz csSP的频率形式为:B：(e j T) Re( ) j Im()Be其中：Re()bcU0 bu1 cos( t)喘 cos(2 t)bCOb(U1b：2bcos(s t)bscs| ()b：。bsin( t)b：2sin(2 t)()hU hU Ubc0bc1bc2blsin(s t) b：s得出：Mv,Re2( ) Im2( ) , tan 1(Im()/Re()分析可知，幅值和频率随频率的变化有明显变化。尽管在实际系统中需跟踪的信号频率都很低，M和 变化都很小，但是 /较大，所以会引起较大的延时,明显影

14、响对信号的跟踪特性。此时可采用下面的数学特性达到零相移跟踪，即:晔1*晔)，其中 B：(z) b：。bzbQ2Bc(1)BcU(1)bUszs ,计算得:u j Tu j TBc(e)* Bc(e)BuBu(Re( ) jIm( )*(Re( ) j Im()Re2( ) Im2()上式计算结果为一实数，这表明任何频率下的相移均为 0,在低频段增益接近1当受控对象含有单元圆外零点时，补偿器的形式为下面形式:1 _ u* 1A(z )Bc (z ) d s S 11一u一工 z,Bca(z:S(z)P(z) Q(z)z)B(U(1)bCS cs其中 Bz1) bC0z sbAz s 1bz2.3

15、重复控制系统性能分析谐波抑制特性由图2.5可以得到e(z)d(z)1NQ(z)zN1 Q(z) S(z)P(z)zN假设Q(z) 1,且P(z)稳定，那么闭环系统稳定的条件为:1 S(z)P(z) 1对于图2.5所示系统，若扰动d的角频率m 2f*m, m 0,1,2,M有:z N 1,此时 胆 0,这表明重复控制器可以消除任意次谐波， d(z)|并且参考信号的频率小于采样频率1/2时，系统可对它无差跟随。2.3.2稳定性分析关于稳定性的讨论，前面已经有所涉及，在 2.2.1节改进型内模的讨论中,已经推导出了稳定的一个必要条件|1 PII 1。对于此约束条件，我们通过对内模加滤波器Q的方式来满

16、足稳定的要求。在 2.2.3中，同样涉及稳定的问题，需通过补偿器对P进行改造，使得受控对象稳定。对于图2.5所示的嵌入式重复控 制系统而言，在Q、S同时作用下，系统的稳定性讨论可见下面:由图2.5得出误差e的表述为:e(z) r(z) r(z) uP(z) d(z),Urz N S(z)1 Qz Ne(z)整理可得误差与指令、扰动的关系为:/、(1 P)(1 QZ N) /、e(z)N-r(z)1 Z n(Q SP)Q(z)z N1 Q(z) S(z)P(z) zn d(z)(2-1)个根，再根可以判定系统的特征方程为：1 z n(Q SP) 0o解此方程，可得到 N据根的分布判定系统的稳定性

17、。当特征方程的所有解都位于单位圆内,重复控制系统是稳定的。但是当方程阶次较高，N较大时，根的求解比较麻烦。例如给定信号为50Hz,采样频率为10kHz时，N=200。采样频率越高，N成比 例的增大。对于这样的一个高阶方程，求解的难度和工作量可想而知。 尤其是设 计时必须反复调整参数，反复进行计算。由分析可知，当系统稳定时有|乙| 1,乙为特征方程的一个根，必然有z/ 1,对于等式zN Q SP而言，有|zN Q SP 1,即Q SP 1,满足 此条件，系统必然稳定。此式说明，在控制器工作的频段内，只要保证Q SP的模小于1,就可以保证控制系统是稳定的。这一结论避免了求解特征方程的复杂 过程，使

18、得稳定性的判断十分简单。同样，也可以通过误差表达式来研究重复控制系统的稳定性问题，误差表达 式可以表述成图2.7的形式。图中控制对象P是稳定的，因此1-P也是稳定的。Q为常数或具有低通滤波特性的函数，因此（1 P）（1 Qz N）是稳定环节。可见此 时稳定性仅有正反馈回路决定。如果 Q-SP的增益小于1,那么就可以保证e有界，即当Q SP 1时，系统稳定。前面的讨论以数学的形式对稳定性进行了分析，此种方法虽然严禁，但是不够直观，下面采用图形的方式，用几何意义阐述稳定的条件。如图 2.8所示，将18 2.7 重登控制谀并传递大系图2用稳定性的几何表述Q SP 1的各部分以频率响应的矢量形式画在复

19、平面上， 在 从0到/T变化 的过程中，SP矢量顶端形成的轨迹不能超过以适量 O的顶端为圆心的单位圆， 这就是Q SP 1的几何表述。从图中可以看出，Q为1时，单位圆的圆心位于（1,0）点，单位圆的左侧圆周与虚轴相切。由于受控对象的频率特性是其固有 性质，不能改变，因此只能通过补偿器 S的作用保证SP的轨迹始终位于圆内。 当P精确可知时，可令S P 1 ,那么SP的相角为0,幅值为1, SP矢量顶端始 终位于（1,0）点，系统有最好的稳定性。但是由于存在建模误差，幅值和相位 的补偿不可能很精确。对于实际系统而言，中低频段的模型比较精确，可以设计 出合适的补偿器，使得SP矢量的顶点轨迹接近（1,

20、0）点，满足|Q SP 1条 件。但是在中高频段，模型误差较大，相位补偿的误差逐渐增大，当频率高于某 一值后，SP的相角可能超过（-90, 90）范围，由于单位圆是与虚轴相切的，因 此只要SP不为0, SP的轨迹必然超过单位圆，系统不稳定。如果重复控制器的内模采用改进型内模，就可以有效地改善系统稳定性。这是因为当Q为小于1的数时，相对于图2.8,只要SP的增益小于某一值，系统仍然保持稳定。当 Q为带有低通特性的函数时，单位圆的圆心不再是固定值。 在低频段，圆心接近于 (1, 0)点，单位圆基本与虚轴相切。随着频率的升高，圆心逐渐左移，单位圆进入2, 3象限。与Q为常数的作用相同，矢量 SP的变

21、化范围更大，可获得比 常数Q更大的稳定裕度。需要说明的是，此处对 Q的分析是基于Q零相移的前 提，若考虑函数型Q的相频特性对单位圆轨迹的影响， 则对Q SP 1的分析将 很困难。收敛性分析由图2.7可以看出，在稳定的重复控制器中，Q-SP对误差e具有衰减作用。定义：H(ejT) Q(ejT) S(ej T )P(ej T),或 H (z) Q SP。假设 Q 1 ,且指令和扰动具有完全重复性，那么有:r(z) d(z)Nr(z)zNd(z)z(2-2)根据式2-1 (亦可根据图2-8看出)，得到:zNe(z) (Q(z) S(z)P(z)e(z) H (z)e(z)(在无外部干扰的情况下)上式

22、表明，每经过一个基波周期，在每个采样点上的误差值都变成上周期的H(z)倍，H(z)越小，误差收敛越快。如果将H(z)以频率响应的形式H(ejT)表达，那么就可以针对任意谐波讨论它的收敛速度。H (ej T)即为谐波收敛速度。理想情况下Q=1, SP=1,则有H(ej T) 0o可以看出奈奎斯特频率以下的所有谐波误差分量，包括基波的误差，都将在下一周期完全消除，此时各次谐波的误差收敛速度都相同。但是在实际系统中，由于无法设计出补偿器S使SP的频率响应与Q完全一致，所以不同频率的谐波误差收敛速度不同。此外由于指令和 扰动在系统中始终处于动态调整状态，不会呈现完全的重复性，这也会影响到重 复控制器的

23、收敛速度。例如带有非线性负载的逆变电源系统，输出电压在重复控 制器作用下逐周期的修正，其电流波形也发生了变化，这些因素都使得误差收敛 规律变得复杂化。但是H(ejT)越小，收敛速度越快这一规律是成立的。非谐波次干扰分析通过选择合适的参数和补偿器，重复控制器可以有效地跟踪给定信号，消除谐波干扰的影响。但是对于一个控制系统而言，还存在随机干扰的情况，需要对 非谐波次干扰下重复控制器的性能进行研究。2假设干扰形式为白噪声且方差为功率谱fdd ()定义为d 二口fdd ( ) 一，块2差的功率谱为fee(),定义为fee(1 Q(ejT)1 H(ejT),误差的方差:feed T M 2 ,幅值 M1

24、 Q(ej T)1 H(ejT)假设重复控制器为理想情况，Q-SP=0, Q为常数，则幅值M为下面形式;12M(1 Q 2Qcos T)d21 Q2(2-3)可以看出对于重复控制系统，幅值 M总是大于1。当Q=1时,对于谐波扰动,重复控制器可以完全补偿，使其误差为0,但是对于非谐波次干扰，系统将其放大1倍。图2.9为Q与M的关系。上面的分析是在假设Q-SP=0的条件下，实际系统中此假设往往不能完全成 立，下面针对Q SP 0的情况下推导M与SP、Q的关系=M=MSPQ SP 0 =k Q(1 ) Q1 Q(ej T)1 H(ej T).- 211Q2Qcos21k22 k cos2Q2(2kr

25、 1) 11 Q2(1 kr)2Q(1 kr) = krSP q(2-4)下面在系统稳定的前提下，对kr的变化范围进行讨论Q (0,1Q SP Q ,系统保持稳定二0 SP 2Q TOC o 1-5 h z - SP-krkr (0,2,Q (0,1Q以kr为自变量研究M的单调性，对M求导的：2_ 2dM 2Q kr(Q (1 kr) 1)ZT22-20dkr(1 Q (1 kr) )kr (0,2因此，M在kr上连续而且单调增加。1 3Q _2Q (2k.1) 1 1 3Q2_ 22_ 21 Q (1 kr)1 Q在满足系统稳定的条件下，M的变化规律见图2.10。可以看出系统对非谐波次干扰信

26、号的放大倍数与 Q值、SP值呈非线性关系。M为大于1的值, 当Q 1,kr 2时，M趋向于无穷大，此时外部微小的随机扰动都会导致 重复控制系统发生振荡，系统无法工作。也可以通过2.3.2节的图2.8进行解 释，当Q=1、kr 2时，矢量H的顶端位于单位圆周，系统处于临界稳定状 态，系统难以稳定工作。当 Q不变时，kr 0,即SP越接近0, M越小,SP=0时M有最小值1,表示此时系统对非谐波次干扰即不放大，也不衰减,由于M . 0 1, M . 2I 2 ,且M在kr上单调递增，M的变化范围为:h 0K 21 Q2但重复控制系统也失去对谐波干扰的抑制作用。因此设计时应保证系统SP Q 0,即k

27、r 1,止匕时M的表达式2-3与表达式2-4相同，M的值 随Q的增大而从1变化到2,见图2.9。图2.11给出了不同kr下M与Q的曲线。结合图2.10可以看出，同样的 Q下K对M的影响程度不同，而且是非线性关系。在实际系统中，应考虑 到此非线性对M的影响。例如为了有效地消除谐波干扰，重复控制器参数 的设计目标是Q = SP,即kr 1 ,但是由于设计误差以及其他原因，kr不可能 精确为1,由于kr、M的非线性关系，kr的微小增量都会引起M的急剧增 加，因此设计参数时应保证kr从小于1侧接近1。对于逆变电源系统，通常 在中低频段的补偿误差较小，K接近1,此频段对非谐波干扰的放大倍数为 1 Q2,

28、而在高频段，由于补偿误差较大，kr远远偏离1。为了减小对非谐 波次干扰的放大效应，应使kr偏向小于1的方向，即令kr 0,此时放大倍 数近似为1。所以对于采用重复控制的逆变电源系统而言，它对非谐波次干 扰的放大倍数是从低频段的1 Q2向高频段的1变化。以1耳-图230 -变化曲线KI2J1不同匕卜附少一。变化现体图2.10时变化规律2.3.5稳态误差分析根据2.3.1可知，重复控制系统理论上可以消除任意次谐波，实现系统的零静差。但在实际系统中，不可避免的存在稳态误差。下面对其进行分析讨论。由误差公式eI；界QQZsPkz1 Q(z)z N1 Q(z) S(z)P(z) z#d(z)可以看出，误

29、差包含两部分，给定信号的跟踪误差和扰动引起的误差。 可以将它转化在频域进行分析。此处只考虑稳态误差的幅值，得到下面的表达式:e(ej T)1 Q(ejT)1 H(ejT)* 1 P(ej T)*r(ej T)1 Q(ej T)1 H(ej T)* d(ej T)这两种误差都被抑制到初始值(重复控制投入前)的1 Q(ej T)1 H (ej T)倍，显然这个系数代表了系统的谐波抑制能力，本文定义为谐波衰减率，将它写成下面的形 工1:1 Q(ej T) S(ej T)P(ej T) 1 Q(ej T)在一般情况下成立二)1_Q(ej2) 11 H (ej T)因此，采用重复控制器后稳态误差减小。当Q(ej T) 1时，|*Q 0 ,此时从01/2采样频率以下的各次谐波都被消除，系统稳态误差为0,与前面的分析一致。当Q(ejT) 1时，此时L_Q 0,1 H系统存在稳态误差。值得注意的是，误差是谐波频率的函数，对于不同的谐波频率，L_Q的值不同，抑制效果也不同。在实际应用中，需要根据谐波的频谱来H设计Q、H参数，以达到最佳的抑制效果。此外对某一频率的谐波而言，其稳态 误差值与Q(ejT)、H(ej T)的选取也有很大的关系。例如，当 Q(ejT) 0.97, 其相位幅值补偿效果理想时，即 SP 1