1.3.2杨辉三角 (2)

1、杨辉三角九章算术杨辉杨辉三角详解九章算法中记载的表1“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角展开式中的二项式系数，当时，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 杨辉三角二项式系数的性质一些组合数的性质1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 （1）对称性 （3）增减性与最大值 发现规律（2）相邻两行中，除1以外每个数都等于它“肩上”两数之和（4）各二项式系数的和 二项式系数的性质（1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

2、这一性质可直接由公式 得到图象的对称轴： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： （2）相邻两行中，除1以外每数都等于它“肩上”两数之和二项式系数的性质 这一性质可直接由公式得到二项式系数的性质（3）增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由 决定 二项式系数的性质（3）增减性与最大值 由： 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 可知，当 时，二项式系数的性质（3）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。（4）各二项式系数的和 二

3、项式系数的性质在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于 ，上式还可以写成： 一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质： （1） （2） （4） （3）当n为偶数时， 最大 当n为奇数时， = 且最大 （对称性）变式 在 的展开式中，1）系数的绝对值最大的项是第几项？2）求二项式系数最大的项；3）求系数最大的项；4）求系数最小的项。练习： 例2 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和进阶证明恒等式求证： 变式构造例5证明： 证明不等式变式证明： 证明不等式变式设a,b,c 是互不相等的正数，且a,b,c成等差数列 求证巩固练习

4、一选择题1(04福建)已知 展开式的常数项是1120, 其中实数 是常数,则展开式中各项系数的和 是( )C2 若 展开式中含 项的系数与含 项的 系数之比为-5,则n等于( )A 4 B 6 C 8 D 10B 3 被4除所得的系数为（ ） A0 B1 C2 D3A展开式中 的系数是_2 被22除所得的余数为 。 1353 已知 展开式中的 系数是56，则实数 的值是_ 或二填空题4.设 二项式展开式的各项系数的和为P； 二项式系数的和为S，且P+S=272，则展开式 的常数项为_108 1 求 展开式中含 一次幂的项。45x3 在 的展开式中，求： （1） 二项式系数最大的项； （2）系数绝对值最大的项； （3）系数最大的项三计算题 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项