1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ） (7)

1、含有30锐角的直角三角形的性质及其应用1.理解和掌握有关30角的直角三角形的性质和应用;（重点）2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力（难点）学习目标导入新课问题引入问题1 如图，将两个含30角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接ABCDAC问题2 将剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？动手：用刻度尺测量含30角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.结论：短直角边=斜边讲授新课含30角的直角三角形的性质活动探究ABCD如图，ADC是A

2、BC的轴对称图形，因此AB=AD, BAD=230=60，从而ABD是一个等边三角形.再由ACBD,可得BC=CD= AB.合作探究证明：取线段AB的中点D，连接CD.CD为RtABC斜边AB上的中线，30BCADBCA =90，且A=30，B=60，CBD为等边三角形，证法1证明方法：中线法证法2证明：在ABC 中，C =90，A =30, B =60延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，则ABD 是等边三角形ABCD 证明方法：倍长法BC = AB30)EABC 证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC. B= 60 ，BE=BC. BCE是等边三角形， BEC= 60，BE=EC.

3、A= 30， ECA=BEC-A=60-30 = 30. AE=EC， AE=BE=BC， AB=AE+BE=2BC.BC = AB证明方法：截半法证法330)知识要点含30角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一直角等于30，那么这个直角所对的边等于斜边的一半.应用格式：在RtABC 中，C =90，A =30，ABCBC = AB)30(1)直角三角形中30角所对的直角边等于另一直角边的 一半(2)三角形中30角所对的边等于最长边的一半.(3)直角三角形中最小的直角边是斜边的一半.(4)直角三角形的斜边是30角所对直角边的2倍 判一判例1 如图，在RtABC中，ACB90，B30，CD

4、是斜边AB上的高，AD3cm，则AB的长度是()A3cm B6cm C9cm D12cm典例精析注意：运用含30角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形 D解析：在RtABC中，CD是斜边AB上的高，ADC90，ACDB30.在RtACD中，AC2AD6cm，在RtABC中，AB2AC12cm.AB的长度是12cm.例2 已知:等腰三角形的底角为15 ,腰长为20.求腰上的高. ACBD15 15 20解:过C作CDBA交BA的延长线于点D.B=ACB=15 (已知),DAC= B+ ACB= 15+15=30，)CD= AC= 20=10.方法总结：在求三角形边长的一些问题

5、中，可以构造含30角的直角三角形来解决例3：在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60的方向上，且与轮船相距 海里，如图所示.该船如果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？OBDA北东60解：AOD=30， AO= 海里，AD= AO= 海里20海里，所以无危险.解：如图，取线段AB的中点D，连接CD.CD是RtABC斜边AB上的中线，CD= AB=BD=AD,即BDC为等边三角形,B=60.B+A=90，A=30.思考：如图，在RtABC中，如果BC= AB，那么A等于多少？BCAD知识要点 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，

6、那么这条直角边所对的角等于30.应用格式：在RtABC 中，C =90，ABCBC = AB)30A =30例4：如图所示，在四边形ACBD中，ADBC，ABAC，且AC BC，求DAC的度数解：ABAC，CAB90.AC BC，CBA30.ADBC，BAD30，CADCABBAD120.当堂练习1.如图，一棵树在一次强台风中，于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30角，这棵树在折断前的高度为( )A6米 B9米 C12米 D15米B2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的ABC空地上种植草皮以美化环境，已知A150，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A300a元 B

7、150a元C450a元 D225a元B3.如图，在ABC 中，ACB =90，CD 是高，A =30，AB =4则BD = . A B C D 14.在ABC中,A: B: C=1:2:3,若AB=10,则BC = .55.如图，RtABC中，A= 30，AB+BC=12cm，则AB=_.ACB8cm第5题图6.在ABC中，C=90，B=15，DE是AB的垂直平分线，BE=5，求AC的长解：连接AE，DE是AB的垂直平分线，BE=AE，B=EAB=15，AEC=30，C=90，AC= AE= BE=2.57.在 ABC中, AB=AC,BAC=120，D是BC的中点，DEAB于E点，求证：BE

8、=3EA.证明:AB=AC,BAC=120， B=C=30. D是BC的中点,ADBCADC=90, BAD=DAC=60.AB=2AD.DEAB，AED=90，ADE=30，AD=2AE.AB=4AE，BE=3AE.ABCDE解：DEAC,BC AC, A=30 ，BC= AB, DE= AD.BC= AB= 7.4=3.7(m).又AD= AB,DE= AD= 3.7=1.85 (m).答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.8.如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，A =30，立柱BC、DE 有多长.9.如图，已知ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQAD于点Q, 求证:BP=2PQ.拓展提升ADCBEA.证明：ABC为等边三角形， AC=BC=AB ,C=BAC=60，CD=AE，CAD=ABE,BAP+CAD=60.ABE+BAP=6