第七章-无穷级数课件

1、第七章 无穷级数1齐诺悖论阿基里斯与乌龟 公元前五世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论： 如果让阿基里斯(Achilles，古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开始，假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟仍然前于他10米， 如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是荒谬的，但奇怪的是，这种推理在逻辑上却没有任何

2、毛病.那么，问题究竟出在哪儿呢？ 2第一节 无穷级数的概念 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积31、级数的定义： (常数项)无穷级数通项级数的前 n 项部分和数列42、级数的收敛与发散：定义(设极限为S ) ， 则称该无穷级数收敛， 且称 S 为该级数的和，并记为 5解例1讨论无穷级数 的收敛性. 所以级数收敛，且和为 1。6解例2所以级数发散. 所以7解收敛发散例3讨论等比级数(几何级数) 的收敛性. 8发散发散综上所述，9齐诺悖论阿基里斯与乌龟 阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人

3、。一天他正在散步，忽然发现在他前面一千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：“阿基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说：“胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，咱们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了一百米。当你向前跑过这一百米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀，我明明知道能追上你，可是你说的好像也有道理耶。这到底是怎么回事呢？ 10AB 假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处. 为了赶上乌龟，阿基里斯先

4、跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时，乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到B2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！BB1B1B211 如果我们从级数的角度来分析这个问题，齐诺的这个悖论就会不攻自破。 设阿基里斯的速度为乌龟速度的10倍，则他跑完1000米时，乌龟又爬了100米；等阿基里斯跑完这段路，乌龟又向前爬了10米，依次类推，阿基里斯需要追赶的全部路程为 12思考题：还有没有其他方法解此题？这里已经假定可以追上。13研究课题1：无限循环小数转化为分数？14解例4小课题：请编写一套把循环小数转化为分数的

5、方法。15循环小数转化为分数的方法：第一型：16例如：17第二型：18例如：19第二节 无穷级数的基本性质也收敛，且有性质1证20说明：证矛盾.21性质2证2223性质3 去掉、添加或改变级数中的有限项，不会影响它的敛散性. 这是因为，去掉、添加或改变级数中的有限项后所得数列的部分和数列与原级数的部分和数列只相差一个常数，所以具有相同的敛散性。注意：原级数若收敛，则改变级数中的有限项后，一般要改变它的和.24性质4 收敛级数任意加括号后仍收敛，且其和不变.证例如，25证性质4 收敛级数任意加括号后仍收敛，且其和不变.注收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.推论 发散级数去括号仍发散。例如26性

6、质5 (级数收敛的必要条件)证27说明：1、如果级数的一般项不趋于零，则级数发散； 级数发散； 级数发散。282、必要条件不充分：再举一个重要例子： 但级数发散。 调和级数 29调和级数增加的速度非常缓慢，例如 那么调和级数到底的收敛还是发散？ 调和级数 证明：调和级数发散。于是矛盾，调和级数 假设调和级数收敛，其和为 S ，所以级数发散。证因为31 进一步的研究可以发现，虽然调和级数发散到正无穷大，但其发散的速度却是惊人的缓慢。 这说明调和级数发散到正无穷大实在不是直接的计算所能得到的，由于调和级数发散到正无穷大的缓慢性，我们也可形象地称调和级数为一“坚韧不拔”的级数，另一方面它又提醒我们：

7、人不可“貌相”，级数的敛散性不可凭“想象”，需要严格的证明。调和级数 例1 判断下列级数的敛散性： 因为都收敛，故原级数收敛，解且和为33收敛；发散。例1 判断下列级数的敛散性： 34第三节 正项级数1、定义：这种级数称为正项级数。2、正项级数收敛的充要条件：定理(一) 正项级数的收敛问题35(二)比较判别法证明定理(1)36(一)比较判别法证明(2)是(1)的等价命题。注：定理的条件可放宽为： 定理37解例1所以原级数收敛. 38解例2故原级数发散； 于是有 39所以于是40重要参考级数：几何级数，p - 级数，调和级数。比较：41解例3例4解所以原级数发散。所以原级数收敛。42比较判别法的

8、极限形式：43证明44可知两级数有相同的敛散性。45证明由比较判别法可知， (注意：单向) 由(2)即得结论。 46例5例6所以原级数发散。所以原级数收敛。解解47例7例8发散解所以原级数发散。解所以原级数收敛。48常用等价无穷小：49解例1所以原级数收敛. 50例9解51例10收敛，解所以原级数收敛。52例11所以原级数收敛。53例12解所以原级数收敛。所以原级数发散。54证例13由基本不等式55(三)比值判别法 (达朗贝尔比值判别法) 证略56例14 判别级数下列级数的敛散性 所以级数收敛。解解所以级数收敛。57解解所以级数发散.所以级数收敛.58解练习：所以级数收敛。59解所以用比值法无

9、法判断.用比较法，所以原级数收敛。60例15解61(四)根值判别法 (柯西根值判别法) 证略62例16解所以级数收敛. 例17解所以级数收敛. 63解例18级数发散。64第四节 任意项级数，绝对收敛定义：正、负项相间的级数称为交错级数。定理(莱布尼茨判别法) 称莱布尼茨型级数 如果交错级数 满足条件(一)交错级数 65证另一方面， 由条件(2)可知， 即原级数收敛， 由条件(1)可知， 注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件。定理(莱布尼茨判别法)如果交错级数 满足条件67例19解这是交错级数， 由莱布尼茨定理知，级数收敛。一般地，称为交错 p - 级数. 所以

10、级数收敛。证明级数 收敛。68解由莱布尼茨定理知级数收敛。练习69(二)任意项级数的绝对收敛与条件收敛正项和负项任意出现的级数称为任意项级数。定理：绝对收敛必收敛。70证明定理：71说明：(1) 定理不可逆：级数收敛，未必绝对收敛；72这是因为它们的依据是 说明：73例20 判定下列级数是绝对收敛、条件收敛或发散. 解故原级数绝对收敛. 解故级数绝对收敛. 74解故级数发散. 解所以原级数绝对收敛。75例21解76例22解即原级数非绝对收敛;77由莱布尼茨定理， 此交错级数收敛，故原级数条件收敛78例23解而原级数为莱布尼兹级数，故收敛，即条件收敛。79例24解所以级数发散；故级数绝对收敛；8

11、0小结：判定数项级数敛散性的思路：正项？Y比较判别法比值判别法N绝对收敛？YENDN若用比值法，发散若用比较法，莱布尼茨定理N发散Y81第五节 幂级数 (一)幂级数及其收敛半径和收敛域1、幂级数的定义级数称为关于 x 的幂级数。822、幂级数的收敛半径和收敛域83证O定理 (阿贝尔Abel定理) 84由正项级数的比较判别法知, 证85由(1)结论,几何说明：收敛区域发散区域发散区域这与所设矛盾. 86此时正数 R 称为幂级数的收敛半径.规定问题：如何求幂级数的收敛半径?（2）在整个数轴上收敛； 87定理直接地讲，就是88证89证毕.90求下列幂级数的收敛半径和收敛域。例1解发散；收敛。91求下

12、列幂级数的收敛半径和收敛域。例1一般，92解收敛半径端点处：收敛；发散；例293解收敛半径端点处明显发散，例394例4解例5解95发散；发散，故收敛域为 (-1, 3) .例6解96缺少偶次幂的项级数收敛；例7解直接应用比值判别法，级数发散；97级数收敛，所以原级数的收敛域为级数收敛；级数发散；98(二)幂级数的性质幂级数的加减法：加法：减法：99幂级数和函数的分析性质100且收敛半径仍为R. (2) 逐项求导后，原来收敛的端点可能变发散。101注：逐项积分后，原来发散的端点可能变收敛。且收敛半径仍为R. 102解例8收敛半径端点处明显发散，103解例8所以两边从 0 到 x 积分, 104(

13、1)解逐项求导, 所以例9 求下列幂级数的收敛域及和函数：105(2)解收敛半径106(3)解107简便写法：解(3)108(4)解109第六节 泰勒公式与泰勒级数(一)泰勒公式110不足：问题：1、精确度不高；2、误差不能估计。111分析：2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在 点相交112n 阶接触113拉格朗日型余项114证明：且115116则由上式得证毕117118此时泰勒公式称为麦克劳林公式。麦克劳林(Maclaurin)公式119(二)泰勒级数定义的泰勒级数。 的麦克劳林级数。120第七节 某些初等函数的幂级数展开式问题：2. 如果能展开，怎么展开?3. 展开

14、式是否唯一?1. f (x) 在什么条件下才能展开成幂级数?与求和函数的相反问题：求幂级数，在其收敛域内以 f (x) 为和函数函数的幂级数展开。121上式两端逐项求导，得122且展开式是唯一的。123证由泰勒公式直接获证。124(一)直接展开法(泰勒级数法)步骤：先讨论展开成麦克劳林级数。2、写出幂级数 ，并求其收敛域 D. 如果是，则 f (x)在 D 上可展开成麦克劳林级数 125例1解对任意固定的 x, 由比值法， 126对任意固定的 x, 由比值法， 即证得 127128例2解129130例3收敛域为：( 不为正整数)推导略131特别, 双阶乘132133(二)间接展开法间接展开法是根据展开式的唯一性，利用已知展开式，通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法，求出函数的幂级数展开式。134利用逐项求导公式，得例4解根据已知展开式135例5解两边从 0 到 x 积分