统计学基础第九章课件

1、第九章假设检验第一节 假设检验的一般问题第二节 单总体参数的假设检验本章内容第一节假设检验的一般问题 假设检验（hypothesis text）是先对总体参数提出某种假设，然后进行随机抽样，并根据样本的信息来验证该假设是否成立。 假设检验可分为参数检验和非参数检验两种。参数检验是对总体的参数进行检验，可进一步区分为单总体参数检验和多总体参数检验。而非参数检验是对总体的分布形式、随机变量独立性等方面进行检验。 本章只讨论单总体均值、比例、方差等参数的检验。一、假设检验的一般原理 假设检验的依据是小概率原理：在一个已知假设下，如果某个事件发生的概率非常小，我们通常认为，这个假设可能是不成立的。 小

2、概率原理是对人们日常思维习惯的抽象概括。在日常生活中，人们习惯于把概率非常小的事件，当作在一次观察中是不可能出现的事件。当然，如果我们认为某个事件是小概率事件，但在一次观察中却发生了，合理的解释自然是我们原来的看法有问题，也就是说，我们原来认定的事件可能并不是小概率事件。例1：ProCare Industries，Ltd.曾经提供了一种称为“性别选择”的产品，根据广告上的说法，这种产品可以使夫妇“将生一个男孩的概率增加到85，生一个女孩的概率增加到80。”对于想要男孩的夫妇，“性别选择”就装在一个蓝色的包装里，对于想要女孩的夫妇，“性别选择”就装在一个粉色的包装里。假设我们对100对想要女孩的

3、夫妇进行了一项实验，他们都遵照了在“性别选择”粉色包装上描述的“户内方便使用说明”。使用常识和非正规统计学方法来判断，如果100个婴儿中包含以下数量的女孩，我们应该对“性别选择”的有效性得出什么结论？ 52个女孩 97个女孩答：在100个婴儿中，正常情况下会有大约50个女孩。52个女孩的结果接近于50，因此我们不应该认为“性别选择”产品是有效的。即使100对夫妇没有使用任何特殊的性别选择方法，52个女孩这个结果也可能很容易地发生。 在100个新生儿中有97个是女孩这个结果在偶然的情况下是非常不可能发生的。我们可以用两种方式来解释出现97个女孩这一现象：要么是极其罕见的事件偶然出现了，要么是“性

4、别选择”产品是有效的。因为出现97个女孩的概率极低，所以更有可能的解释就是这种产品是有效的。 理解了小概率原理，就理解了假设检验的思想：首先对总体参数建立某种假设（称为原假设）H0，然后经过随机抽样取得一组样本数据，如果根据样本数据计算的某个统计量（或多个统计量）在原假设H0成立的条件下发生的概率很小，就拒绝或否定这个原假设并继而接受其对立面备择假设。反之，如果该统计量在原假设H0成立的条件下发生的可能性不是很小，那么就接受原假设。 例2：假设某种饮料的商标上标明的容量为250毫升，标准差为4毫升。如果你从市场上随机抽取50瓶，发现其平均含量为248毫升。据此，可否断定饮料厂商欺骗了消费者？

5、分析：样本平均含量低于厂商声称的平均含量，其原因不外乎有两种：一是由抽样误差引起的。如果样本平均数与总体平均数之差不大，未超出抽样误差范围，则可认为两者之差就是由抽样误差引起的，饮料厂商不存在欺诈行为。二是由饮料厂商短斤少两引起的，即饮料厂商存在欺诈行为。在这种情况下，样本平均数与总体平均数之差就会超出抽样误差范围，因为其差异是厂商的有意行为。 抽样误差范围是与概率保证程度相联系的。对于正态分布总体，若取概率保证程度为99%，则样本平均数与总体平均数之差大于抽样平均误差的2.33倍，即，也就是说，或发生的概率只有1%（见图9-1）。因此，是一个小概率事件，这一事件在100次抽样中只发生一次，而

6、对于一次抽样而言，可认为小概率事件实际上不会发生。图9-1 1%概率示意图（=0.01） 解:在本例中， =248，=4，n=50，假设=250也就是说，对于一次抽样的结果，小概率事件发生了，这是不合常理的，所以可认为总体平均数250这一假设不成立，即该包装饮料的容量不足250毫升，厂商有欺诈故意。 二、假设检验的步骤 1建立假设 2选择检验统计量及其分布 3确定显著性水平、临界值、接受域、拒绝域，计算检验统计量的值，检验原假设是否成立。建立假设应注意的问题检验统计量的选择检验原假设是否成立三、两类错误 假设检验容易犯两类错误： 第一类错误（tape error ），即“弃真的错误”，是指根据

7、小概率原理，当原假设真时拒绝原假设而犯的错误。犯第一类错误的概率为，即显著性水平。 第二类错误（tape error ），即“纳伪的错误”，是指原假设假时没有拒绝原假设所犯的错误 。犯第二类错误的概率记为。 应当注意：只有当原假设被拒绝时，才会犯第一类错误；只有当原假设未被拒绝时，才会犯第二类错误。 决策结果实际情况原假设H0真原假设H0假未拒绝H0正确决策第二类错误拒绝H0第一类错误正确决策 两类错误的概率和存在着一定的关系：增大，则减小；减小，则增大。我们当然希望犯这两类错误的概率都尽可能的小，但实际上很难做到，唯一的办法是扩大样本容量，但扩大样本容量又受到各种因素的限制，因此我们往往是在

8、两类错误之间进行平衡，以使和控制在能够接受的范围内。 例3：某研究机构估计，某地大学生中手机保有率（大学生中拥有手机的比率）超过80。为验证这一估计是否正确，该机构拟在该地大学生中抽取样本进行检验。 建立的假设为： 原假设H0：80 备择假设H1：80 试描述第一类错误和第二类错误的含义。 解：第一类错误意味着：该地大学生中手机实际保有率不到80，但样本结果却拒绝了原假设，认为大学生手机保有率超过了80。 第二类错误意味着：该地大学生手机实际保有率超过了80，但样本结果却接受了原假设，认为大学生手机保有率不到80。四、利用P值进行假设检验 在原假设成立的条件下，检验统计量在某样本中至少达到相应

9、值的概率称为P值（P-value）。双侧检验：H0：0H1：0P值 左侧检验：H0：0H1：0 P值=右侧检验：H0：0H1：0 P值=根据P值进行假设检验： 通过样本观察数据计算检验统计量的值，查表得到该统计量值的概率即P值，然后将P值与所给的显著性水平对比，如果P值小于，则拒绝原假设；如果P值大于，则接受原假设。第二节单总体参数的假设检验一、单总体均值的检验 （一）总体满足正态分布N（，2），且方差2已知， 小样本（n30）时，统计量于是，总体均值的检验方法可 采取Z检验法。原假设：H0：0备择假设：H1：0检验统计量：拒绝域：双侧检验例4：根据长期经验，某厂生产的某产品的抗折能力服从正态

10、分布N（，64 kg2）。现从该厂所生产的一大批产品中随机地抽取10个样品，测得其抗折能力（单位：kg）分别为578，572，570，568，570，572，570，572，596，584。请问：这一批产品的平均抗折能力能否被认为是570kg（0.05）？解：根据题意，可建立假设如下： H0：570 kg H1：570 kg 查标准正态分布表可知，当显著性水平0.05时，双侧检验的临界值为1.96，则拒绝域为（，1.96）（1.96，）。 根据样本数据可知，样本均值 ，故检验统计量的值 即检验统计量的值落入拒绝域之内，所以要拒绝原假设H0：570 kg，接受备择假设，也就是说，不能认为这一批产

11、品的平均抗折能力是570 kg。原假设：H0：0备择假设：H1：0检验统计量：拒绝域：ZZ 右侧检验例5：能否认为这批产品的平均抗折能力超过570 kg （0.05）？ 解：根据题意可建立假设如下： H0：570 kg H1：570 kg 显然这是一个右侧检验问题，拒绝域应在抽样分布的右端。查标准正态分布表可知，在显著性水平0.05下，临界值为Z1.65，即拒绝域为（1.65，）。 由于检验统计量的值Z2.0561.65，即落入拒绝域之内，故要拒绝原假设H0：570 kg，接受备择假设H1：570 kg，也就是说，可以认为这一批产品的平均抗折能力超过570 kg。原假设：H0：0备择假设：H1

12、：0检验统计量：拒绝域：ZZ 左侧检验 例6：某食品加工企业的质检部门规定，某种食品每包净重不得少于20 kg。经验表明，该食品的净重近似服从标准差为1.5 kg的正态分布。假定从一个由50 包食品构成的随机样本中得到的平均重量为19.5 kg，问：有无充分证据说明这些食品的平均重量减少了（0.05）？ 解：根据题意可建立假设如下： H0：20 kg H1：20 kg 这是一个左侧检验问题，拒绝域应在抽样分布的左端。查标准正态分布表可知，在显著性水平0.05下，临界值为Z1.65，即拒绝域为（，1.65）。 由于样本均值 kg，总体方差2(1.5 kg)2，故检验统计量的值为 即检验统计量落入

13、了拒绝域，所以要拒绝原假设H0：20 kg，转而接受备择假设H1：20 kg，即检验结果充分说明这些食品的平均净重减少了。 Z检验可借助于Excel中的ZTEST函数来进行。步骤是： 打开Excel表，录入样本数据； 点击插入函数按钮“fx”，在出现的函数分类对话框中选择“统计”，并在函数名菜单中选择函数“ZTEST”，然后确定。 在所出现的对话框中，Array一栏输入样本数据所在区域；X一栏输入待检验参数0；Sigma一栏输入已知的总体标准差（若未知，则该栏可不填，系统自动以样本标准差S代替。 对话框中自动显示“计算结果”（或点击对话框中的“确定”按钮，在工作表会显示出计算结果）。 根据“计

14、算结果”计算P值，并与显著性水平比较。如果P值大于，则接受原假设；如果P值小于，则拒绝原假设，选择备择假设。前面双侧检验例子的Excel操作过程： P值=20.019916310.0398小于显著性水平0.05，故拒绝原假设而选择备择假设。 （二）总体满足正态分布N（，2），且方差2未知，小样本（n30）时，统计量于是，对总体均值的检验应采取t检验法。其中，S为样本标准差原假设：H0：0备择假设：H1：0检验统计量：拒绝域：双侧检验 例7：某种板材的厚度要求为5 mm，为了解板材生产设备的状况，随机抽取了18 块板材进行检查，测得其厚度资料如下： 已知板材厚度服从正态分布，试以0.05的显著性

15、水平检验生产设备性能是否良好。4.604.914.894.914.874.915.025.034.994.804.695.034.964.934.865.015.115.05 解：这是一个双侧检验的问题，可建立假设如下： H0：5 mm H1：5 mm 根据已知条件，选择检验统计量 根据样本数据，可计算出样本均值 =4.92 mm，样本标准差S=0.128 mm，则检验统计量的值为t=-2.632。 当显著性水平0.05，自由度n117时，查t分布表可知双侧检验临界值为t/2（17）2.1098。显然检验统计量的值落入拒绝域之内，因此要拒绝原假设，接受备择假设，说明该生产设备的性能不好。原假设

16、：H0：0备择假设：H1：0检验统计量：拒绝域：tt（n1） 右侧检验 例8：从某种蔬菜中随机抽取9件样品检测其农药含量，测得某种农药成分的平均值为0.325 mg/kg，标准差为0.068 mg/kg，国家卫生标准规定，蔬菜中农药残留量应0.3 mg/kg。假定蔬菜中该种农药残留量服从正态分布，问该种蔬菜中农药残留量是否超标（0.05）？解：根据题意可建立假设如下： H0：0.3 mg/kg H1：0.3 mg/kg 由已知条件可知，应进行右侧t检验，检验统计量 根据t分布表可知，当显著性水平0.05时，右侧检验临界值为t（8）1.86，即拒绝域为（1.86，）。 根据样本数据计算得检验统计

17、量的值为1.10291.86，即落入接受域内，故要接受原假设H0：0.3 mg/kg ，即没有充分的证据证明这种蔬菜中农药残留量超标。原假设：H0：0备择假设：H1：0检验统计量：拒绝域：t-t（n1） 左侧检验t检验也可借助于Excel中的TDIST函数计算出P值进行检验： 打开Excel表格，点击“f（x）”命令。 在函数分类中点击“统计”，并在函数名菜单下选择“TDIST”，然后确定。 在出现的对话框中，X一栏填入检验统计量t的绝对值，Deg-freedom一栏填入t分布的自由度，Tails一栏填入“1”或“2”（如果是单侧检验填入“1”，如果是双侧检验则填入“2”）。 在对话框填入相应

18、数据后，在下方会自动显示“计算结果”，此即P值。 将P值与显著性水平对比，如果大于则接受原假设，如果小于则拒绝原假设而选择备择假设。前面例子中对板材厚度进行的t检验借助于TDIST函数计算的结果见上图，P值=0.0174819650.05，故要拒绝原假设。 （三）任意总体，大样本（n30） 此时，根据中心极限定理可知（总体标准差已知）（总体标准差未知，以样本标准差S代替）或这时，均值的检验仍采取Z检验法。二、单总体成数的检验 在二项分布中，当n很大，np和n（1p）都大于5时，可用正态分布来逼近。也就是说，当n充分大时，样本成数p近似服从正态分布。基于此，当n充分大时，总体成数的假设检验可采取

19、Z检验法。 原假设：H0：0备择假设：H1：0检验统计量：拒绝域：双侧检验重复抽样条件下 例9：某杂志声称其读者群中有80%为女性。为验证这一说法是否属实，某研究部门抽取了由200人组成的一个随机样本，发现有146个女性经常阅读该杂志。分别取显著性水平=0.05和=0.01，检验该杂志读者群中女性的比例是否为80%？解：根据题意和已知条件，可建立假设如下： H0：80 H1：80 样本容量n200，其中女性读者n0146，故样本成数p146/20073 于是检验统计量的值为 当显著性水平0.05时，查标准正态分布表可知双侧检验临界值为，即拒绝域为（，1.96）（1.96，）。此时检验统计量的值

20、落入拒绝域，要拒绝原假设而选择备择假设，即认为该杂志的读者中女性比例不是80，该杂志的说法不实。原假设：H0：0备择假设：H1：0检验统计量：拒绝域：ZZ 左侧检验重复抽样条件下 例10：某地环保部门声称该地符合废气排放标准的工业企业至少达 60。但一个关心环境保护的社会团体不相信这个结论。于是从该地工业 企业中随机抽出了60家进行检测，发现有33家企业符合废气排放标准。试 以显著性水平0.05检验环保部门的结论是否属实？ 解：根据题意可建立假设如下： H0：60 H1：60 n60，n033，则样本成数p33/6055 计算检验统计量的值Z=0.791 当显著性水平0.05时，查标准正态分布

21、表，可知左侧检验的临界值为Z1.65，即拒绝域为（，1.65）。由于检验统计量的值落入了接受域，所以没有充分的理由拒绝原假设，即必须接受原假设成立，可以认为该地符合废气排放标准的工业企业至少有60，环保部门的结论是可信的。原假设：H0：0备择假设：H1：0检验统计量：拒绝域：ZZ 右侧检验重复抽样条件下在非重复抽样条件下，样本成数p的抽样分布为：这时检验统计量可选择仍然采取Z检验法进行检验。其中N为总体容量。如果满足条件Nn，此时非重复抽样可近似地视作重复抽样，假设检验按重复抽样条件下的方法进行。三、单总体方差的检验（总体服从正态分布）原假设：H0：202 备择假设：H1：202 检验统计量：拒绝域： 或双侧检验 例11：啤酒生产企业采用自动生产线灌装啤酒，每瓶的装填量为640 ml，但由于受某些不可控因素的影响，每瓶的装填量会有差异。此时，不仅每瓶的平均装填量很重要，装填量的方差同样