线性代数第三章-线性空间课件

1、第三章 线性空间第一节 n 维向量的线性相关性 一、n 维向量定义1由 n 个数 所组成的有序数组称为 n 维向量，或简称为向量其中 n 称为向量的维数， 第 i（ ）个数 称为 n 维向量的第 i 个分量，并且把 n 个分量均为实数的向量称为实向量；n 维向量可以写成一行形式也可以一列的形式把个分量均为复数的向量称为复向量而用符号 表示行向量 按照上一章的约定，通常用黑体希腊字母表示列向量， 在本书中，如果没有特别说明，我们涉及的向量均指分量为实数的列向量，即列形式的实向量 将所有 n 维实向量的全体记为 ，即并将其称为 n 维向量空间事实上，n 维向量是解析几何中向量概念的推广 定义2设

2、，则对应的分量均相等，即1）称向量 与 相等，记作 ，如果 与2）称向量为向量 与 的和，并记 ；3）称向量为数 k 与向量 的数量乘法，也简称为数乘 向量的加法和数量乘法通常称为向量的线性运算 定义3将 中分量全为 0 的向量称为零向量，并且仍记为 0； 设 ，将向量 称为向量 的负向量，记为 ； 并且，定义向量 与 的减法为 容易验证，向量的加法和数量乘法满足下面8条性质：1）加法交换律： ；2）加法结合律： ；3）对于任意的 ，均有 ；4）对于任意的 ，均存在负向量 ，使得5） ；6）数乘结合律： ；7） ；8） 二、n 维向量的线性相关性定义4将若干个维数相同的向量所组成的集合称为向量

3、组； 将由向量组的一部分向量组成的向量组称为原向量组的部分组例如，将 s 个向量 所组成的向量组记成 I，即 通常也将集合的大括号去掉，写成向量组 ，或向量组 对于一个 mn 矩阵 A，按列进行分块，即其全体列向量构成一个含有 n 个 m 维列向量的向量组，通常称为矩阵 A 的列向量组；若对 A 按行进行分块，即 其全体行向量构成一个含有 m 个 n 维行向量的向量组，称为矩阵的行向量组 并且，矩阵和含有有限个向量的有序向量组是一一对应的 定义5设 ， ，使得则称向量 是向量组 的一个线性组合， 或者说，向量 可以由向量组 线性表出（或线性表示）此时，相应地被称为组合系数或者表出系数两个向量之

4、间成比例的关系是线性组合最简单的情形，使得 所谓两个向量和成比例，即存在数 k如果存在数定义6将 n 维向量称为 n 维单位向量 任何一个 n 维向量 可以写成n 维单位向量 的线性组合，即另外，零向量 0 是任何向量组的线性组合 定义7设 和 是两个向量组均可以由向量组 线性表出， 则称向量组 I 可以由向量组 II 线性表出如果向量组 I 中的每一个向量 ( ) 如果向量组 I 和 II 可以相互线性表出，则称这两个向量组等价显然，任何一个向量组可以由其自身线性表出1）反身性：2）对称性：II 和 I 也等价；3）传递性：和 III 也等价，那么向量组 I 和 III 等价另外，向量组之间

5、的等价关系满足如下规律：任何向量组均与本身等价；如果向量组 I 和 II 等价，那么向量组如果向量组 I 和 II 等价，且向量组 II定义8给定一个向量组 ，如果存在不全为零的数 ，使得则称向量组 I 是线性相关的；性无关的线性无关也就是线性不相关，即不存在不全为零的数 ，使得否则，称向量组是线因此，线性无关的定义也可以叙述为： 对于向量组 ，如果由 可以推出则称向量组是线性无关的 例1证明：n 维单位向量 是线性无关的定理 1 向量组 （ ）线性相关的充分必要条件是向量组 I 中至少有一个向量可以由其余的向量线性表出定义 如果向量组 （ ）中至少有一个向量可以由其余的向量线性表出，则称向量

6、组 I 是线性相关的任何包含零向量 0 的向量组是线性相关的 另外，容易证明，性相关的由单个向量 0 组成的向量组是线于是，单个向量 组成的向量组线性相关当且仅当换句话说，单个向量组 成的向量组线性无关当且仅当定理2如果向量组 的一个部分组线性相关，那么这个向量组 I 就线性相关这个命题的逆否命题为： 如果向量组 线性无关，那么它任何一个部分组也线性无关定理3如果向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 可以由向量组 I 线性表出，并且表示法唯一推论任意一个 n 维向量 可以由 n 维的单位向量 线性表出，且表示法唯一第二节 向量组的秩和矩阵的秩将线性方程组 （1）的系数矩阵按列进行分块， 即

7、则方程组（）可以写成 线性方程组（）有解当且仅当方程组的常数项向量可以由其系数矩阵的列向量组线性表出对于齐次线性方程组 （3）也将其系数矩阵按列进行分块：则方程组（）可以写成 齐次线性方程组（）有非零解当且仅当方程组系数矩阵的列向量组是线性相关的 或者说齐次线性方程组（）只有零解当且仅当方程组系数矩阵的列向量组是线性无关的一、消元法解线性方程组定义9设 A 是一个 mn 矩阵如果 A 满足下列两个条件：1）如果第 i 行元素全为零，那么第 i+1 行（如果存在）的元素也全为零；2）如果矩阵中存在非零元素，那么每个非零行的第一个非零元素所在列号自上而下严格单调上升则称 A 是一个行阶梯型矩阵 特

8、别地，对于一个行阶梯型矩阵，如果它的每个非零行的第一个非零元素均为 1，且这些元素 1 所在列的其它元素均为 0，则称是一个最简行阶梯型矩阵例如 行阶梯型矩阵中每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零例2求解线性方程组例3求解线性方程组例4求解线性方程组例5判断向量组的相关性例6设向量 试把 表示成其它向量的线性组合 二、向量组的极大无关组和向量组的秩定理4如果向量组 可以由向量组 线性表出，且 ， 线性相关推论1如果向量组 可以由向量组 线性表出，且线性无关，推论2如果 与 等价，且两个向量组均线性无关，则有 那么向量组则有推论3任意 n+1 个 n 维向量均线性相关定理5设向量

9、组 线性无关，且如果在向量组 I 的每一个向量上均添加 r 个分量，得到一组 n + r 维向量那么向量组 仍然线性无关推论设 线性相关，则将向量组的每一个向量去掉若干分量所得到的向量组仍线性相关定义10设向量组是向量组 的一个部分组 如果 1）向量组 是线性无关的；2）向量组 I 可以由向量组 线性表出， 则称部分组 是向量组 I 的一个极大无关组非零向量组 I 均存在极大无关组 线性无关的向量组的极大无关组就是这个向量组本身定理6 非零向量组与其极大无关组等价，换句话说，极大无关组是一个与向量组自身等价的无关部分组例7验证 与 均为向量组 的极大无关组向量组的任意两个极大无关组是等价的;

10、所含向量的个数是相同的定义11将向量组 的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记为 从而，并规定，含有单个零向量的向量组的秩为 0定理7向量组 线性无关的充分必要条件是 向量组 线性相关的充分必要换句话说， 条件是定理8等价的向量组必有相同的秩 定理9设向量组 的秩为 r 那么该向量组中任意含有 r 个向量的无关部分组均为这个向量组的一个极大无关组三、矩阵的秩及性质定义12设 是 mn 矩阵，是一个正整数 在中任取 k 行（第 行）和k 列（第 列）交叉点上的 个元素，它们在 A 中所处的位置不变，按照而得到的一个 k 阶行列式称为矩阵的一个 k 阶子式 当子式 D 的值为零时，称这个子式

11、 D 为零子式，否则，称为非零子式特别地， 当 时， 称子式 D 为A 的一个 k 阶主子式定义13如果在矩阵 A 中存在一个 r 阶的非零子式 D， 而的所有 r +1 阶子式（如果存在的话）均为零子式， 那么称为矩阵 A 的一个最高阶非零子式， 并将 D 的阶数 r 称为矩阵 A 的秩，记为 R(A)并规定零矩阵 O 的秩为 0mn 矩阵 A 的秩 R(A) 满足 矩阵 A 的秩 R(A) 即为 A 中非零子式的最高阶数 性质1 性质2如果矩阵 A 存在一个 k 阶的非零子式，那么 ;如果矩阵 A 的 l 阶子式全为零子式，则 性质3初等变换不改变矩阵的秩，即如果 ，则 性质4设 A 是一

12、个 mn 矩阵，P, Q 分别为 m 阶、 n 阶可逆矩阵，则性质5设 A 是一个 n 阶方阵则 的充分必要条件是 R(A) = n例8计算下列矩阵的秩：例9求矩阵 R(A) ，并求 A 的一个最高阶非零子式： 定义14设 A 是一个矩阵将 A 的行向量组的秩称为矩阵 A 的行秩；的列秩例10计算矩阵 A 的秩，及其行秩和列秩 引理1初等行变换不改变矩阵的行秩 引理2初等行变换不改变矩阵的列秩 将 A 的列向量组的秩称为矩阵 A定理10初等变换不改变矩阵的行秩，也不改变矩阵的列秩定理11矩阵的行秩与列秩相等，并且等于矩阵的秩 例11求向量组的秩，并给出这个向量组的一个极大无关组 性质6 性质7

13、 第三节 线性空间的基本概念一、线性空间的定义定义15 设 V 是一个非空集合， 或者 是一个数域定义两种运算：1）加法： 对于任意的 ，存在唯一的与之对应，称为 与 的和，2）数量乘法： 对于任意的 ，存在唯一的 与之对应，称为 k 与 的数量乘积， .如果加法和数量乘法满足以下 8 条运算规律，则称 V 是数域 F 上的一个线性空间，记为 ；记为仍记为 V 1）加法交换律： ；2）加法结合律： ；3）存在 ，5） ；6）数乘结合律： ；7） ；8） 使得 ，将 0 称为零元素； 4）存在 ，使得将 称为 的负元素； 当 时，我们称 F 上的线性空间 V 为实空间， 当 时，我们称 F 上的

14、线性空间 V 为复空间 本课程中，如果不特别说明，涉及的线性空间均为实空间通常情况下， 我们仍将线性空间中的元素称为向量，并用黑体希腊字母 表示， 也将线性空间中的加法和数量乘法称为线性运算 例12 数域 F 本身按照数的加法和乘法，构成数域 F上的一个线性空间 例13所有 mn 实矩阵的全体，仍记为 按照矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，的一个线性空间构成 上同样，所有 mn 复矩阵的全体，仍记为按照矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，的一个线性空间构成 上例14 以数域 F 中的数作为系数的多项式的全体，为 ，即按照多项式的加法和数与多项式的数量乘法，记 F 上的一个线性空间例15 区间 a,

15、b 上所有连续实函数的全体， 按照函数的加法和数与函数的乘法，个线性空间构成记为构成 上的一二、线性空间的简单性质性质1线性空间 V 中的零元素 0 是唯一的 一的性质2线性空间 V 中任意元素 的负元素 是唯性质3对于线性空间 V 中的任意元素 ，的数 ，以及任意有特别地，当 k = 1 时，有 性质4设 ， 如果 ，那么或者 第四节 线性空间的基、维数 及向量的坐标 一、基、维数及向量坐标的定义定义16设 V 是数域 F 上的一个线性空间 V 中存在 n 个线性无关的向量，记为 ， 且任意的 均可由这组向量线性表出， 即存在 ，使得则称 V 是一个 n 维线性空间，维数是 n，记为 ，或者

16、说线性空间 V 的并且称 是线性空间的一组基如果在如果在 V 中存在无限多个线性无关的向量，称 V 是无限维的线性空间 则如果不特别说明，本课程提到的线性空间均为有限维的在 n 维线性空间 V 中， 任意向量 在 V 的一组基 下的表出系数 是由 和这组基所唯一确定， 下的坐标或坐标向量， 将这组数称为 在基记为 例16将数域 F 看作其自身上一个线性空间，数 1 就是一组基，从而这个线性空间是 1 维的 且对于任意的 ，本身 关于基 1 的坐标就是 k 这个数例17对于 n 维向量空间 则有 是 的一组基，从而 的维数为 n对于任意的 ， 在基下的坐标就为向量 本身 那么例18对于数域 F 上的线性空间令 表示第 i 行第 j 列是 1，其余位置均为零的 mn 矩阵 容易验证 构成 的一组基， 从而 任意 ， 关于上面这组基的坐标为例19在数域 F 上的线性空间中，对于一个固定的正整数 n，所有次数小于 n 的多项式的全体 按照多项式的加法、数与多项式的乘法也构成数域 F上的一个线性空间并且 中的元素就是 的一组基