线性定常系统的综合课件

1、第五章 线性定常系统的综合综合已知系统的结构及参数，已知所期望的系统运动形式(或某些特性)，确定需要施加于系统的控制作用规律。所期望的系统运动形式包括满意的瞬态响应，抗扰动或参数变化能力，跟踪能力等。 分析-已知系统结构和参数,以及确定好系统的外部输入(系统激励)下,对系统运动进行定性分析（能控性、能观性、稳定性）和定量运动规律分析（运动轨迹、性能品质指标）。综合问题的性能指标函数可分为优化型和非优化型性能指标：优化型性能指标：极值型指标,综合的目的是使该性能指标函数取极小(极大)；非优化型性能指标：是一类由不等式及等式约束的性能指标凸空间,一般只要求解的控制规律对应的性能指标到达该凸空间即可

2、。常用的非优化型性能指标提法：以系统渐近稳定作为性能指标镇定问题；以一组期望的闭环系统极点位置或极点凸约束区域(空间)为性能指标极点配置问题。 系统的稳定性和各种性能的品质指标(如过渡过程的快速性、 超调量、周期性 ), 在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。 设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指 标的期望极点上,可以有效地改善系统的性能品质指标。将一个MIMO系统通过反馈控制实现一个输入只控制一个输出的系统系统解耦问题。状态获取问题观测器问题。5.1 状态反馈与输出反馈5.1.1 状态反馈5.1.2 输出反馈5.1.3 反馈控制对能控性与能观测性的影响控

3、制理论最基本的任务寻找反馈控制律。状态反馈和输出反馈,其意义分别为将观测到的状态和输出取作反馈量以构成反馈律,实现对系统的闭环控制,以达到期望的对系统的性能指标要求。在经典控制理论中,一般只考虑由系统的输出变量来构成反馈律,即输出反馈。在现代控制理论的状态空间分析方法中,多考虑采用状态变量来构成反馈律,即状态反馈。状态变量可完全描述系统内部动态特性。由状态变量所得到的关于系统动静态的信息比输出变量提供的信息更丰富、更全面,因此，若用状态来构成反馈控制律, 反馈律有更大的可选择的范围,而闭环系统能达到更佳的性能。输出反馈可视为状态反馈的一个特例。因此,采用状态反馈应能达到更高的性能指标。本节讨论

4、的主要问题：基本概念: 状态反馈、输出反馈基本性质: 反馈闭环系统的能控性/能观性本节的讲授顺序为:状态反馈的描述式输出反馈的描述式闭环系统的状态能控性和能观性5.1.1 状态反馈对线性定常连续系统(A,B,C,D),若取系统的状态变量来构成反馈,则所得到的闭环控制系统称为状态反馈系统。状态反馈闭环系统的系统结构可如图5-1所示图5-1 状态反馈系统的结构图其中K为rn维的实矩阵,称为状态反馈矩阵;v为r维的输入向量,亦称为伺服输入。将状态反馈律代入开环系统方程,得如下状态反馈闭环控制系统的状态空间模型:状态反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下:设开环系统状态空间模型和状态反馈律分别记为状态反

5、馈闭环系统可简记为K(A+BK,B,C),其传递函数阵为:WK(s)=C(sI-A-BK)-1B5.1.2 输出反馈对线性定常连续系统(A,B,C,D),若取系统的输出变量来构成反馈,则所得到的闭环控制系统称为输出反馈控制系统。输出反馈控制系统的结构图如图5-2所示。图5-2多输入多输出系统的输出反馈至参考输入结构输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下:开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为其中H为rm维的实矩阵,称为输出反馈矩阵。将输出反馈律代入开环系统方程, 则可得如下输出反馈闭环控制系统的状态空间模型:输出反馈闭环系统可简记为H(A+BHC,B,C),其传递函数阵为:WH(s)=C(s

6、I-A-BHC)-1B由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型可知,输出反馈其实可以视为当K=HC时的状态反馈。因此,在进行系统分析时,输出反馈可看作状态反馈的一种特例。反之,则不然。由此也可知,状态反馈可以达到比输出反馈更好的控制品质,更佳的性能。5.1.3反馈控制对能控性与能观测性的影响对于由状态反馈和输出反馈构成的闭环系统,其状态能控/能观性是进行反馈律设计和闭环系统分析时所关注的问题。下面分别讨论两种闭环系统的状态能控性状态能观性1. 状态反馈不改变系统的能控性比较上面二式，可以看到：第一分块B相同；其余各分块类同。2. 状态反馈有可能改变系统的能观性。 例如单输入单输出系统，状

7、态反馈能改变系统的极点分布，但不会影响系统的零点分布，这样就有可能使传递函数出现零、极点相消现象。使系统不再是既能控又能观的，前面已说明状态反馈不改变系统的能控性，所以只能是影响系统的能观性了。3. 输出反馈不改变系统的能控性。 只要把（HC）看成是等效的状态反馈矩阵K，那么由于状态反馈不会改变系统的能控性，所以显然输出反馈也不改变系统的能控性。4. 输出反馈不改变系统的能观性。与1一样， 的每一分块的行由 相应分块的行线性组合而成， 可以看作是 经初等变换的结果，而初等变换不改变矩阵的秩，因此能观性不变。例 系统系统的传递函数为：传递函数无零、极点相消，系统既能控，又能观。引入状态反馈：能控

8、性矩阵满秩，状态反馈系统能控；能观性矩阵：不满秩，状态反馈系统不能观；实际上，此时闭环系统的传递函数为：存在零、极点相消现象，消掉的极点是不能观的。可见，状态反馈没有改变系统的能控性，但改变了系统的能观性。输出反馈：能控性矩阵：满秩，输出反馈系统能控；能观性矩阵：满秩，输出反馈系统能观；实际上，此时输出反馈系统的传递函数为：无零、极点相消现象，系统仍然是既能控又能观的。5.2 极点配置如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极点配置,即通过状态反馈阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。问题一，闭环极点可任意配置的条件；问题二，如何设计反馈增益阵使闭环

9、极点配置在期望极点处。5.2.1 采用状态反馈配置闭环系统极点 1.采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件 结论：一个线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置 它的全部极点的充要条件是系统完全能控。 证明： 充分性。以下充分性证明过程实际上给出了单输入单输出系统设计反馈增益矩阵的规范算法。 若 完全能控，通过状态反馈必成立：f*()为期望的特征多项式：(1)若被控系统 状态完全能控，且设其特征多项式和传递函数分别为 可通过如下变换（设 为能控标准型变换矩阵） 将 化为能控标准I型 ，即 (2)针对能控标准型 引入状态反馈 式中， ，可求得对 的闭环系统的状态空间表达式仍为能控标准型，即 式

10、中， 则闭环系统 的特征多项式和传递函数分别为 以上表明， 的特征多项式的系数可通过 故若被控系统 能控，则其状态反馈系统极点可任意配置。 又独立设置，使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足：得:（3）由 ， 得：则原被控系统使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为必要性。 设系统不能控。 由 实现按能控性分解：系统的特征多项式为： 可见，不能控的系统不能通过状态反馈配置其全部极点。或者说，要通过状态反馈实现系统全部极点的任意配置，系统必须是能控的。5.2.2 系统状态反馈极点配置的算法方法一 标准算法 适用系统维数等于或大于4，控制矩阵中非零元素比较多的情况，所有的矩阵计算都可由计算机

11、实现。1考察系统的能控性。若系统是状态完全能控的，则继续。2利用系统矩阵A的特征多项式确定出 。3确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵 。若给定的状态方程已是能控标准形，无需再写。5此时的状态反馈增益矩阵 为4利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为确定出 ，方法二 解联立方程 如果是低阶系统（n3 ），则将线性反馈增益矩阵K直接代入闭环系统的特征多项式，可能更为简便。例如，若n = 3，则可将状态反馈增益矩阵K写为 。代入闭环系统的特征多项式使其等于即使其两端同次幂系数相等，来确定K的值。例 考虑如下线性定常系统利用状态反馈控制 ，希望该系统的闭环极点为s = -2j4和s = -10。试确定状态反馈增益矩阵K。解：首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为：因而该系统是状态完全能控的，可任意配置极点。方法1：该系统的特征方程为：因此 期望的特征方程为可得因此因此 方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为并使和期望的特征多项式相等，可得5.2.3 输出反馈极点配置部分状态反馈。线性定常连续系统的输出反馈极点配置问题可描述为:给定线性定常连续系统确定反馈控制律 使得输出反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的期望的