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1、静力学核心内容 第二章 力系的平衡 力系简化结果 平衡条件(几何、解析)一般 特殊 各类平衡问题2-1 一般力系的平衡条件 2-2 特殊力系的平衡方程 2-3 简单平衡问题 2-4 物体系统平衡问题(f=0)2-5 平面静定桁架2-6 考虑摩擦的物体平衡 目录第二章 力系的平衡2-1 一般力系的平衡条件 2-1-1 力系几何平衡条件 2-1-2 力系解析平衡条件平衡方程 目录第二章 力系的平衡2-1-1 力系几何平衡条件 主矢和主矩矢多边形同时封闭。不平衡。实为一合力偶平 衡 2.图示力系沿正方体棱边，各力大小相等，平衡吗?若不平衡，试加一力使之平衡。1.图示受力圆板平衡吗?2-1 一般力系的

2、平衡条件不平衡。加力F后平衡。2-1-2 力系解析平衡条件平衡方程 1.基本形式即空间力系平衡方程基本形式 6个独立方程 可解6个未知量。2. 其它形式 由 、 向直角坐标轴投影，得4矩式 、 5矩式、6矩式及其补充条件。(并不重要)2-1 一般力系的平衡条件由基本式去掉力系几何性质自动满足的方程1.平面一般力系 置各力线于xOy平面，则-三矩式(A,B,C不共线)-二矩式-基本式则2-2 特殊力系的平衡方程 第二章 力系的平衡2.空间汇交力系 ，汇交于O点3.空间平行力系 让各力线平行于z轴，有则则第二章 力系的平衡2-2 特殊力系的平衡方程 (1)力系平衡时，对任意轴x，有 (2)各类力系

3、独立平衡方程数 可用于判断问题是否可解。4. 平衡方程要点第二章 力系的平衡2-2 特殊力系的平衡方程 指出下列力系独立平衡方程数目。1. 各力线平行于某平面。5 2. 各力线平行于某直线。3. 各力线相交于某直线。4. 各力线分别汇交于两点。3 5 5 5. 一个平面任意力系加一个垂直于此平面力系所在平面的平行力系。 6 6. 一个平面任意力系加一个平行于此平面力系所在平面的平行力系。4第二章 力系的平衡2-2 特殊力系的平衡方程 下列问题是否可解?三杆平行， 三杆汇交，一为“0”杆四杆汇交，四杆平行，三杆不平行，三杆不汇交，可解不可解可解不平衡力偶平衡，不可解(非对称)不可解(非对称)第二

4、章 力系的平衡2-2 特殊力系的平衡方程 可解四杆对称汇交，可解四杆对称平行，可解1.汇交力系 分别研究A、B轮，受力如图，由相应力，有2-3 简单平衡问题 已知 f=0， 不计杆重，求平衡位置 角。 1.第二章 力系的平衡若 f0 情形怎样? 轮为二力构件，斜面约束力必指向轮心，摩擦力为零，故结果相同! 三力以上汇交力系，宜用解析法! 本例可用解析法，对A，B分别由 四个方程求解。第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 2. 平行力系 2.如图所示，移动式起重机自重(不包括平衡锤重量) ，其重心O离右轨1.5 m，悬臂最大长度为10 m，最大起重量 。欲使跑车满载或空载时起重机均不致翻倒，求

5、平衡锤的最小重量以及平衡锤到左轨的最大距离x。跑车自重可忽略不计。第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 研究整体，其受力如图所示，各力组成一平面平行力系。满载时，由，有起重机不向右翻倒的条件是故即空载时，第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 故起重机不向左边翻倒的条件是 ， 即(b) ，并将 代入，得故由，有第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 故并验证(a),(b)两个不等式成立。均为临界值。设计时，应和适当取值，使此处将代入(b)式，得第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 3. 试求图示折杆C截面的内力。 截面法。轴力 假设用垂直于轴线 的平面在C处将杆截开，研究BC段，C截面内力

6、如图。 由得由得第二章 力系的平衡A2-3 简单平衡问题 扭矩 由得由得由得剪力 由得第二章 力系的平衡弯矩 2-3 简单平衡问题 分三段，选取三个坐标。 如:将C处2m，改为x，则AE段扭矩为常数，弯矩成为线性函数。 如何求各段内力函数?第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 在x处作截面，研究左半段，受力如图。 4.已知 q、l ,试求图示简支梁，横截面内力随轴线 x 的变化规律(内力函数)。 约束力第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 由有由有由第二章 力系的平衡时，2-3 简单平衡问题 5.图(a)所示支架由三根互相垂直杆刚结而成，两圆盘直径均为d，分别固定于两水平杆杆端上，盘面与杆

7、垂直。竖直杆AB长为l，在图示荷载下试确定轴承A，B的约束力。3. 力偶系研究整体，因主动力是两个力偶矩大小为的力偶，A，B两处约束力必构成一力偶与主动合力偶相平衡。第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 其方向如图(c)所示。 运用力偶系平衡的几何条件解空间三力偶问题十分简便，先由力偶矩矢三角形，求出未知约束力偶矩矢的大小和方向，再用右手法则确定约束力的方向。 由力偶矢三角形(图 b) 知，约束力偶矩 的大小为2-3 简单平衡问题 第二章 力系的平衡先研究杆DE，其受力如图(b)所示。 6.图 (a)所示结构中，杆DE的D端及杆端B为铰，E端光滑搁置，且 DEAC， ，力偶矩为M ,求A，C

8、铰支座约束力。,与AB杆平行， 与 组成一力偶。图(b)第二章 力系的平衡图(a)2-3 简单平衡问题 图(d)再研究杆AB，其受力如图 (c)所示。最后研究整体，其受力如图 (d)所示，因铰A对AB杆约束力为FA，方向沿BA，它与铰C对BC杆约束力组成一力偶。 有由图(c)第二章 力系的平衡可由三力汇交判断!2-3 简单平衡问题 力偶只能由力偶平衡，由此确定D，C处约束力方向；杆端力沿杆向正交分解，常使求解简便。有由第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 图(d) 7.如图(a)所示，等截面梁受横向荷载 作用，试求垂直于轴线的横截面上内力的平衡微分方程。4. 变形体平衡问题图(a)第二章 力

9、系的平衡2-3 简单平衡问题 图(b) 由于B端为可动铰支座，横截面上不产生轴向内力。取梁的微段dx，其受力如图 (b)所示， 先将整体受力简化为梁的纵向对称面内的平面力系，再简化横截面内力。 内力 (称为剪力)，内力偶M (称为弯矩)是横截面上分布内力的简化结果，且均设为正(内力的正负号不能按坐标定出，应重新规定，以使同一截面左右两边的同一内力正负相同)，视 为常量(因 很小)。第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 略去上式中的二阶微量 ，由(a)和(b)式得 这组方程由刚体平衡条件导出，是材料力学中分析梁内力的基础。由 ，得第二章 力系的平衡(b)2-3 简单平衡问题 8. 试导出理想流

10、体(无粘性)的静力平衡微分方程。设单位体积质量体积力为 。 考察左右两侧面中点的压强大小如图所示，并视为整个侧面的平均压强。 在静止流体中取一个无限小六面体微团，边长分别为 及6个侧面上的表面压力作用。 dx,dy,dz ，受体积力 第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 同理可得故有即 这就是静止理想流体的平衡微分方程，也由刚体平衡条件导出，是欧拉于1755年首先提出的。故由 ，得第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 9.悬链线。如图a所示总长为l的柔软绳索两 端对称悬挂于重力场中，已知绳索单位长度的重量为q，试求平衡时绳索的形状。 图(a)第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 取绳索最

11、低点O为坐标原点，研究任意OA段索，其受力如图 (b)所示。由 得:(a)由 得:(b)图(b)其中，s为OA弧长。第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 分离变量后，从O到A点积分得即两边对x求导数，得由式(a)，(b)消去 ，得第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 图(b)再积分，并由时 ，得此即为悬链线方程。可由OC段平衡求得。其中第二章 力系的平衡2-3 简单平衡问题 简单超静定问题 10.如图a所示刚性杆用三根刚度系数均为k的弹簧水平悬吊。今在D处作用铅直方向力杆重，试求3根弹簧的内力。 ，不计2.4 物体系统平衡问题图(a)2-3 简单平衡问题 本题所涉及的力系属平面平行力系，有

12、三个未知力，只有两个独立平衡方程，是一次超静定问题尚需建立一个补充方程。设系统受力后，位移如图b所示。 有由又 可得由(a)(b)2.4 物体系统平衡问题图(b)2-3 简单平衡问题 将代入上式，可得联立(a)，(b)，(c)式得 1.求解超静定问题的关键是，由变形情况，通过物理关系，建立包含未知力的补充方程，再与静力平衡方程联立求解。 2.所设未知力的方向与物体变形假设方向要一致。(c)例题图a中，若有n根弹簧悬吊，如何求解?2.4 物体系统平衡问题2-3 简单平衡问题 确定各构件的受力(外力、内力)目标:第二章 力系的平衡2-4 物体系统平衡问题(f=0)2-4-1 静定与超静定概念 2-

13、4-2 物系平衡问题解法 目录2-4-1 静定与超静定概念 未知量个数Nr独立方程数Ne 未知量个数Nr独立方程数Ne 只用静力平衡条件能求解的问题。静定:超静定:只用静力平衡条件不能求解的问题先建立初步概念，组成分析后再严格定义.(各构件全部外力) 2-4 物体系统平衡问题Nr=6 Ne =6静定结构Nr=7 Ne =6超静定结构Nr=5 Ne =6运动机构(k=1):一个自由度2-4 物体系统平衡问题2-4-1 静定与超静定概念 Nr=8 Ne =6二次超静定Nr=8 Ne =6二次超静定试判断下列系统是否静定?2-4 物体系统平衡问题2-4-1 静定与超静定概念 (c) Nr = 3+2

14、+2 = 7 Ne = 2 3 = 6; 一次超静定2-4 物体系统平衡问题2-4-1 静定与超静定概念 (d) Nr = 6+3 = 9 Ne = 2 4 = 8; 一次超静定 或 Nr = 4 4+3 = 19 Ne = 3 6 =18; 一次超静定(d)2-4 物体系统平衡问题2-4-1 静定与超静定概念 (e) Nr = 4 Ne = 3; 一次超静定(e)2-4 物体系统平衡问题2-4-1 静定与超静定概念 2-4-2 物系平衡问题解法 1.一般步骤 1)灵活选对象，先求未知量 “先整体，后局部” 或 “先局部、后整体” 2)正确画受力图，注意力系的等效条件 3)巧取矩心、投影轴、尽

15、量避免联立方程 常选未知力交点矩心、与多个未知力垂直的投影轴。 2-4 物体系统平衡问题2. 典型例题 整体“静定型” 先研究整体，受力如图 (a)2-4-2 物系平衡问题解法 (a)2-4 物体系统平衡问题 1.已知F1、F2分别作用于AC、BC杆中点， 不计杆重，求AB杆内力。 再研究BC杆，受力如图(b) 整体“静定”，先研究整体，后拆开分析局部。不需求的约束力不求。题型特点:(b)2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题由 ，得1.求出FB后，研究铰B，能求出 FAB吗? 铰B受力如图，直接求不出。求出FCx、FCy后即可求出! 2.若AB上作用一力，AB杆内力有何变化?

16、能否求出? 2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题此时，AB杆内力有3个分量， 2.如图 (a)所示结构中，C，E处为光滑接触，销钉A，B穿透其连接的各构件，已知尺寸a，b，铅垂力F可以随x的变化而平移。求AB杆所受的力。2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题图(a)先研究整体，其受力如图 (b)所示。由 ，得由 ，得图(c)再研究BC杆，其受力如图(c)所示。由 ，得故2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题图(b)最后研究AC杆，其受力如图(d)所示。其中，为AB杆对销钉A的作用力(AB是二力杆)。图(d)由 ，得故 可见，AB杆受力与x无关。

17、2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题 本题所涉及结构属“整体”静定型，先求出铰A约束力。注意AB为二力杆，它所受销钉A对它的约束力与其A端对销钉的作用力等值反向；A处销钉附在AC杆上，使分析过程简化。2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题 3.图a所示铰接横梁。已知荷载q，力偶矩M和尺寸a，试求杆的固定端A及可动铰C端约束力。 2-4-2 物系平衡问题解法 局部“静定”型 2-4 物体系统平衡问题图(a) 先研究杆BC，其受力如图b所示。故，有由(a)再研究整体，其受力如图c所示。2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题图(b)图(c)由，得，得

18、由 (b)由，得式(a)、(b)、(c)联立解之，得(c)2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题图(c)2-4-2 物系平衡问题解法 分析整体“超静定”系统时，可先分析局部“静定”部分，求出相应外力。分布力q的简化，只能在可视为刚体的研究对象上进行，如图(b),(c)所示。2-4 物体系统平衡问题 若在铰B处再加一力，如图所示，试问哪些外力会变化? 4.图(a)所示结构，不计自重，试求铰A、B、C的约束力。已知a，F1=F2=F。 整体和局部“超静定”型 分析: 整体超静定，局部亦超静定，但可求出某些分力。图(a)2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题再研究整体

19、，受力如图(c)由 得:由 得:图(c)先研究COD，受力如图(b)由 得:图(b)2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题 整体与局部均为“超静定”，设法求出某些分力(找突破口)。由 得:题型特点:图(c)2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题1. 是否有其它方法求解? 分析构件BED受力，确定 方位， 再由COD平衡，求出 和 。2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题图(a)2. 若在铰D处加一力F，如何求解? 用第一、二种解法均可得之。 2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问

20、题图(a)平面多层结构 5. B处约束力。 不计自重，已知图a所示为三层铰结构，及尺寸a ，试求铰支座A，先研究整体，其受力如图a所示。故又由，得故由，得，得由 (a)2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题图(a) 其次，研究上部两层结构，其受力如图b所示。故，得由最后研究构件OBD，其受力如图c所示。故 (b) ，得由2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题图(b)图(c)将式(b)代入式(a)解得 1.若考虑本结构自重，如何求解? 2.若有n层结构，如图所示，如何求解? 3. 若A，B铰支座不在同一水平高度上，又如何求解? 2-4-2 物系平衡问题解法 2-4

21、 物体系统平衡问题2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题空间结构 6.试求支承杆1，2，3的内力。 ，作用在斜面CDEF内，边长图a所示三棱柱重量力偶矩图(a) 研究三棱柱，受力如图b所示，设各支承杆均受拉力作用。将M值代入得由得将值代入得得由2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题图(b)再由得巧选投影轴与力矩轴，可使求解大为简化。2-4-2 物系平衡问题解法 2-4 物体系统平衡问题图(b)2-5 平面静定桁架2-5-1桁架的特点与分类2-5-2 桁架的求解方法(一类特殊物系)目录第二章 力系的平衡2-5-1桁架的特点与分类1. 工程实例2-5 平面静定桁架房

22、屋建筑通 讯桥 梁国 防机 械2-5-1桁架的特点与分类2-5 平面静定桁架木桁架钢桁架钢筋混凝土桁架按材料可分为:2-5-1桁架的特点与分类2-5 平面静定桁架空间桁架 组成桁架的所有杆件轴线都在同一平面内 组成桁架的杆件轴线不在同一平面内平面桁架按空间形式可分为:2-5-1桁架的特点与分类2-5 平面静定桁架由二力杆铰接，受结点荷载，汇交力系。略去了结点刚性、荷载偏心产生的次应力。 工程中，某些焊接结构，鉚接结构，可简化为桁架，结果偏于安全。 2. 特点理想模型:2-5-1桁架的特点与分类2-5 平面静定桁架1)简单由三角形规则组成3. 类型:(按组成方式) 2-5-1桁架的特点与分类2-

23、5 平面静定桁架2)联合由简单桁架铰接2-5-1桁架的特点与分类2-5 平面静定桁架3)复杂不同于前两类4)轴力分量与杆长投影的关系 2-5-1桁架的特点与分类2-5 平面静定桁架2-5-2 桁架的求解方法根据所选研究对象不同，分为结点法，截面法与联合法.依次选铰结点为研究对象求各杆内力。 与几何组成次序相反 。 静定: 2j=Nr Nr为连杆数(含支座)1.结点法1)可解条件:2)求解顺序:2-5 平面静定桁架1. 求图示桁架各杆内力。 A、B处约束力如图，由整体平衡得: 研究左半部。 对称:2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架研究结点C:有依次研究结点A、D、F，受力如图 分别由

24、 2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架求出各杆内力如图，负号表示杆受压 60 kN67.1 kN22.4 kN20 kN0 kN60 kN44.7 kN2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架2)线性方程组上机求解 。3)零杆内力为零。 三种常见情形 1)待求力设正。 2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架指出桁架中零杆 。2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架将桁架截开，研究其中一部分，求被截杆内力。 2. 求图示桁架1，2杆内力。已知a，F。整体受力如图2. 截面法2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架将FB代入得 巧作截面，使多个未知力共线，方程中

25、不出现。作1-1截面，研究右半部，受力如图，2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架用截面法求指定杆内力。 1. 求图a中FAB。先整体，求约束力作图示截面，研究内部 再研究结点B: 由 ，得亦可作图法，先求出 ，再由结点A求 。图a2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架作图示截面，研究内部分，受力如图2.求图b中图b2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架再作双截面如图，求铰B处约束力。 对上部分: 对BCE: 后由结点B平衡(上部分)先整体， 3.图c联合桁架由三简单桁架铰接，求 。图c2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架4. 求1，2，3杆内力? 先整体 去

26、掉二力平衡杆，由平衡求之 再作图示截面 2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架作11截面，研究右部，结点法，截面法并用。 3 .已知如图，求 。3.联合法受力如图: 由，有即采用联合法2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架整体受力如图，由 ，有节点B受力对称，由 ，有2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架即(1)、(3)代入(2)式故(压)2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架能!涉及24个未知力，24个方程。2.如何求Fb? 求出 后，对11截面右半部，1.能否不用截面法?2-5-2 桁架的求解方法2-5 平面静定桁架干摩擦(包括滑动摩擦与滚动摩阻)两种形式

27、。摩擦普遍存在:包括干、液体、内摩擦。摩擦机理复杂 。第二章 力系的平衡2-6 考虑摩擦的物体平衡 2-6-1 滑动摩擦力 2-6-2 摩擦角与自锁2-6-3 摩擦平衡问题2-6-4 典型摩擦平衡问题目录2. 静摩擦力 方位:指向:2-6-1 滑动摩擦力 1. 实验曲线大小: 接触面切向 由平衡确定(事先任意假定)2-6 考虑摩擦的物体平衡3. 最大静摩擦力 与运动趋势相反。 1781年，由法国库仑总结，为库仑摩擦定律。 静摩擦因数。由材质及表面条件定。 4. 滑动摩擦力 与运动方向相反(接触处)方向:方向:动摩擦因数2-6 考虑摩擦的物体平衡2-6-1 滑动摩擦力 d. 静止时主动力合力与合

28、约束力二力平衡。 c. 摩擦锥，1. 摩擦角(锥) a. 合约束力 b. 合约束力与法线的最大夹角。如图示2-6-2 摩擦角与自锁(摩擦力的几何描述)2-6 考虑摩擦的物体平衡2. 自锁主动力合力作用在摩擦角内，物体 不滑动。 2-6-2 摩擦角与自锁1.已知 ，求 为何值时自锁?2-6 考虑摩擦的物体平衡 2.鄂式破碎机， ,咬入角 多大时，矿石不上滑?2-6-2 摩擦角与自锁自锁2-6 考虑摩擦的物体平衡1. 滚阻力偶 1) 事实: 能平衡，如汽车、压路辗子受力不动时。 2) 圆轮刚性约束:当时，圆轮不平衡。 2-6-3 滚动摩阻 2-6 考虑摩擦的物体平衡3) 柔性约束考虑接触处变形 4

29、) 滚阻力偶 大小: 方向:图(a)图(b)图(c)与转动方向相反 2.6 考虑摩擦的物体平衡2-6-3 滚动摩阻 2. 滚阻系数 新近研究: 与FN和r均有关。 临界平衡或匀速滚动时， 是FN的最大滚阻系数 ，量纲为长度(mm)， 前移距离。库仑认为 与FN和r无关，仅与材料硬度有关。 2-6 考虑摩擦的物体平衡2-6-3 滚动摩阻 2.为什么轮胎气压不足时，行驶阻力增大? 1. 试比较4与6棱柱翻滚的临界约束力偶矩大小。 由上述分析可知。已知G，r， h。图(a)图(b)由故 ,六棱柱易翻滚。2-6 考虑摩擦的物体平衡2-6-3 滚动摩阻 平衡判断，临界平衡，平衡范围，考虑滚阻。四种类型:

30、核心:关键:临界平衡。临界状态判断。平衡判断问题 1. 图(a)所示折梯立于平地、已知fSA=0.2, fSB=0.6 ，不计梯重，试问人能否爬至AC中点D处 ?图(a)2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡设人爬至D点时，系统平衡，受力如图b所示， 故B处自锁故A处自锁所以系统能平衡。而图(b)2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡1.人沿AB最多爬多高?作 交BC于 ，过 作上线，即得 如图。2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡2. 人爬至顶铰C的条件?故 即 3. 不增加 ，有何办法实现爬顶? 系DE绳段:若 亦可平衡 此时AC为二力杆为超静定2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡随爬高， 增大 能爬至顶点A? 4. 如图所示,若 不计梯重。为多少时人求故即时，可爬顶。2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡 图 (a)所示圆鼓和楔块，已知G，r， ， ，不计楔重及其与水平面间的摩擦，试求推动圆鼓的最小水平力F。2.临界平衡问题由 ，得 先研究整体，其受力如图a所示。图 (a)2-6-4 典型摩擦平衡问题2-6 考虑摩擦的物体平衡再研究圆鼓，其受力如图b所示。若 ，则由 ，得由 ，得解之，得图 (b)B处先滑动。2-6-