金融工程学课件：6-2 期权价值限分析

1、三、期权价格的上、下限（一）期权价格的上限 1. 看涨期权价格的上限对于美式和欧式看跌期权来说，标的资产价格就是看涨期权价格的上限：其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。 第二节 期权价值限分析 2. 看跌期权价格的上限 美式看跌期权价格（P）的上限为X： 欧式看跌期权的上限为： 其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。第二节 期权价值限分析（二）期权价格的下限 1. 欧式看涨期权价格的下限 （1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限我们考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金组合B：一单位标的资产 第二节 期权价值限分析1. 欧

2、式看涨期权价格的下限（2）在T时刻，组合A 的价值为：组合B的价值为ST。 由于 ，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为： 第二节 期权价值限分析（2）有收益资产欧式看涨期权价格的下限我们只要将上述组合A的现金改为 ，其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为： 第二节 期权价值限分析2. 欧式看跌期权价格的下限（1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限 考虑以下两种组合： 组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产 组合D：金额为 的现金在T时刻，组合C的价值为：max

3、（ST，X），组合D的价值为X 。第二节 期权价值限分析（1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为： 第二节 期权价值限分析我们只要将上述组合D的现金改为 就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为： 从以上分析可以看出，欧式期权的下限实际上就是其内在价值。 （2）有收益资产欧式看跌期权价格的下限第二节 期权价值限分析四、提前执行美式期权的合理性 （一）提前执行无收益资产美式期权的合理性 1. 看涨期权 由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标的资

4、产无收益，再加上美式期权的时间价值总是为正的，因此我们可以直观地判断提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。 第二节 期权价值限分析考虑如下两个组合：组合A：一份美式看涨期权加上金额为 的现金组合B：一单位标的资产在T时刻，组合A的现金变为X，组合A的价值为max（ST，X）。而组合B的价值为ST，可见，组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。这意味着，如果不提前执行，组合A的价值一定大于等于组合B。第二节 期权价值限分析若在 时刻提前执行，则提前执行看涨期权所得盈利等于S-X，其中S 表示时刻 标的资产的市价，而此时现金金额变为 ，其中 表示 T- 时段的远期利率。因此，若提前执行的话，

5、在 时刻组合A的价值为： ，而组合B的价值为 。由于 ，因此 。这就是说,若提前执行美式期权的话，组合A的价值将小于组合B。第二节 期权价值限分析比较两种情况我们可以得出结论：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。因此，同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即：C=c 根据上式，我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限： 第二节 期权价值限分析2.看跌期权我们考察如下两种组合： 组合A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产 组合B：金额为 的现金若不提前执行，则到T时刻，组合A的价值为max（X，ST），组合B的价值为X，因此组合A的价值大于等于组合B。第二节

6、期权价值限分析若在 时刻提前执行，则组合A的价值为X，组合B的价值为 ，因此组合A的价值也高于组合B。比较这两种结果我们可以得出结论：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。美式期权的下限为：第二节 期权价值限分析（二）提前执行有收益资产美式期权的合理性 1.看涨期权 由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息，因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。 我们假设在期权到期

7、前，标的资产有n个除权日，t1，t2，tn为除权前的瞬时时刻，在这些时刻之后的收益分别为D1，D2，Dn，在这些时刻的标的资产价格分别为 S1，S2，Sn。 第二节 期权价值限分析由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，我们可以据此得到一个推论：在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。我们先来考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。如果在tn时刻提前执行期权，则期权多方获得Sn-X的收益。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到Sn-Dn。 第二节 期权价值限分析根据式前式，在tn时刻期权的价值（

8、Cn）:因此，如果：即： ,则在tn提前执行是不明智的。相反，如果 ,则在tn提前执行有可能是合理的。实际上，只有当tn时刻标的资产价格足够大时，提前执行美式看涨期权才是合理的。第二节 期权价值限分析同样，对于任意在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为： 第二节 期权价值限分析 2.看跌期权由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。通过同样的分析，我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是：由于美式看跌

9、期权有提前执行的可能性，因此其下限为： 第二节 期权价值限分析五、期权价格曲线的形状 （一）看涨期权价格曲线 我们先看无收益资产的情况。看涨期权价格的上限为S，下限为max 。期权价格下限就是期权的内在价值。当内在价值等于零时，期权价格就等于时间价值。时间价值在S=Xe-r(T-t)时最大；当S趋于0和时，时间价值也趋于0，此时看涨期权价值分别趋于0和SX e-r(T-t)。特别地，当S=0时，C=c=0。第二节 期权价值限分析此外，r越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大，则期权价格曲线以0点为中心，越往右上方旋转，但基本形状不变，而且不会超过上限，如下图所示： 第二节 期权价值限分析（

10、二）看跌期权价格曲线 1.欧式看跌期权价格曲线 我们先看无收益资产看跌期权的情形。欧式看跌期权的上限为 ，下限为 。 当 时，它就是欧式看跌期权的内在价值，也是其价格下限，当 时，欧式看跌期权内在价值为0，其期权价格等于时间价值。当S= 时，时间价值最大。当S趋于0和时，期权价格分别趋于 和0。特别地，当S=0时， 。 第二节 期权价值限分析r越低、期权期限越长、标的资产价格波动率越高，看跌期权价值以0为中心越往右上方旋转，但不能超过上限，如下图所示：看跌期权价格 X e-r(T-t) 上限 欧式看跌期权价格 下限、 内在价值 时间价值 0 X e-r(T-t) S第二节 期权价值限分析2.美

11、式看跌期权价格曲线对于无收益标的资产来说，美式看跌期权上限为X，下限为XS。但当标的资产价格足够低时，提前执行是明智的，此时期权的价值为XS。因此当S较小时，看跌期权的曲线与其下限或者说内在价值XS是重合的。当S=X时，期权时间价值最大。其它情况与欧式看跌期权类似，如下图所示。第二节 期权价值限分析美式看跌期权价格曲线 x 上限 美式看跌期权价格 下限、 内在价值 时间价值 0 x s第二节 期权价值限分析六、看涨期权与看跌期权之间的平价关系 （一）欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系 1.无收益资产的欧式期权 考虑如下两个组合： 组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金 组合B：一份有效期

12、和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产第二节 期权价值限分析在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即： （1）这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（Parity）。如果式（1）不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式（1）成立。 第二节 期权价值限分析2.有收益资产欧式期权在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为 ，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系： 第二节 期权价值限分析(2)（二）美式看涨期权和看跌期权之间的关系 1.无收益资产美式期权 由于Pp,从式（1）中我们可得：对于无收益资产看涨期权来说，由于c=C，因此： 即 （3）第二节 期权价值限分析无收益资产美式期权考虑以下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为X的现金组合B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产第二节 期权价值限分析如果美式期权没有提前执行，则在T时刻组合B的价值为 max(ST, X) ，而此时组合 A 的为 。因此组合A的价值大于组合B。 如果美式期权在时刻提前执行，则在时刻 ，组合B的价值为X，而此时组合