重要高中数学数列十种求通项和七种求和方法-练习及答案

1、学习必备欢迎下载高中数列知识点总结.等差数列的定义与性质定义：an.an=d （ d 为常数），an=a+（n1）d等差中项：x, A, y成等差数列u 2A=x + yn n -1 d2a1an n刖 n 项和：Sn =- = na12性质：（1）若mn巾p ，则amAWpd ；（2） an为等差数列=Sn=an2+bn（a, b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）.等比数列的定义与性质定义：冬士=q （q为常数，q*0）, ann 1an =aq等比中项：X、G、y成等比数列=G2=xy ,或G=JXy前n项和:（要注意公比q ）na (q =1)Sn 二 a 1 -qn(q = 1)

2、1-q性质：MJ是等比数列(1)若m + n = p + q ,则a/ an =ap- aq.求数列通项公式的常用方法、公式法 例1已知数列an满足%中=2%+3M 2n , a1 = 2,求数列an的通项公式。 TOC o 1-5 h z 解：an书=2an+3M 2n两边除以2nL得笔=尊+3 ,则船-尊=之故数列 e是以 2222222勺=2=1为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得包 = 1+（n-1）3,所以21222n231 n数列an的通项公式为an=（-n）2no22、累加法an - an 4 = f (n)例2已知数列an满足an+ =an + 2n +1,

3、a1 =1,求数列4的通项公式。学习必备欢迎下载解：由 an4 =an+2n+1 得 an斗一an =2n+1 则an - (an -an 1) ( an J. _ an -2) I 11 (a3 - a2 ) . ( a2 f al) . al =2(n1) 1 2(n2)1 | (2 2 1) (2 1 1)1 = 2(n -1) (n -2) | 2 1 (n -1) 1 . 2(1n (n-1) 12=(n -1)(n 1)1 2 二 n所以数列an的通项公式为an =n2。例3已知数列an满足an4=3an +2 M 3n +1, a1 =3,求数列 an的通项公式。解：an+=3a

4、n +2M3n +1两边除以3+ 得热=粤+2+工，333 3贝U汇_a3n 13nn -1三、累乘法江=f(n)an例4已知数列an满足an4=2(n+1)5nM an, a1 =3,求数列an的通项公式。解:因为 an书=2(n +1)5nMan, a1 =3,所以 an #0,则=2(n +1)5”，故 anan an 3a3 a2an =lH a1an 4 an 2a2 a1= 2(n -1 1)5142(n -2 1)52(2 1) 522(1 1) 51 3=2n=n(n-1) IH 3 2 5(n/)g)121 3n(n 4)=3 2n , 5 n!n(n 4)所以数列an的通项

5、公式为an =3父2n，乂5丁 Mn!.例5 (20XX年全国I第15题，原题是填空题)已知数列 an满足 a1 =1, an =a1 +2a2 +3a3 +IM +(n 1)an口(n 之 2),求an的通项公式。学习必备欢迎下载解：因为 an =a1+2a2+3a3+|+(n-1)an(n i2)所以 an + =a1 +2a2 +3a3 +| +(n 1)an+ nan 用式一式得 an 1 -an =nan.则 an 1 =(n , 1)an(n 一2)故包1 -n 1(n _2)an四、待定系数法 (重点)例6已知数列an满足an4=2an+3M5n, a1=6,求数列an的通项公式

6、。解：设 an书+x 父5n* =2(an+x M5n)将an4 =2an +3M5n代入式，得 2an + 3M5n+xx5n*=2an+2xx5n，等式两边消去 2an,得3 5n+x 5n+=2x 5n,两边除以5n，得3ExNx则W代入式得an省5n* = 2(an 5n)例7已知数列an满足工.=3an +5父2n +4, a1 = 1,求数列 an的通项公式。解：设 an书+x 黑2“* + y =3(an+xM 2n + y) 将an平=3an+5 M2n+4代入式，得3an 5 2n 4 x 2nl y =30 x 2n y)整理得(5 十 2x)M2n +4 + y =3xM

7、2n +3y o5 2x=3x x=5令，则，代入式得an书+5黑2 +2 = 3(an+5黑2 +2)4 y =3yy = 22例8已知数列an满足%* =2烝+ 3n +4n +5, a1 =1,求数列an的通项公式。解：设 an书 +x(n +1)2 + y(n +1) + z = 2(an + xn2 + yn + z) 学习必备欢迎下载将an4 =2an +3n2 +4n +5代入式，得 TOC o 1-5 h z 222、 一2an +3n +4n+5+x(n+1) + y(n+1) + z = 2(a0+xn +yn + z),则222an (3 x)n (2x y 4)n (x

8、 y z 5) = 2an 2xn 2yn 2z等式两边消去 2an ,得(3+x)n2+(2x + y+4)n+(x+y + z + 5) = 2xn2 +2yn + 2z , 3 x = 2xx = 3!J口斛方程组2x + y+4=2y ,则y =10,代入式，得I x y z 5=2z z=18an+ +3(n +1)2 +10(n +1) + 18 =2(an +3n2 +10n +18) 五、对数变换法例9已知数列an满足an.=2 M 3n M a： , a1 = 7 ,求数列an的通项公式。解：因为an4 =2父3nMa；, a=7,所以an 0, an书a 0。在an书=2父

9、3nM a5式两边取常用对数彳导 lg an +=5lg an + n lg3 + lg 2设 lgan由 +x(n +1) +y =5(lg an +xn +y)(11六、迭代法例10已知数列an满足an书=a；(n4)2n, a1 二5,求数列an的通项公式。解：因为 an 1 =a；(n 1)2n3n 2n ,所以an = an3(n 4) 2n 2 3n 2n 工= an2七、数学归纳法例11已知an+ =an.8(n 1)22 ，(2n 1) (2n 3)8a1 =-，求数列an的通项公式。(其他方法呢？) 9解：由 an 1 = an .8(n 1)(2n 1)2(2n 3)2及a

10、1学习必备欢迎下载 TOC o 1-5 h z 8(1 1)88 224a2 a1 22 =-(2 1 1) (2 13)9 9 25258(2 1)248 348a3222(221)2(2 23)2252549498(3 1)488480a4 = a3 -22 =(231) (2 33)49498181由此可猜测an_2D 一12,(2n 1)2往下用数学归纳法证明这个结论。(1)当 n =1 时,一2一_(2 11) -1-82(2 11)9所以等式成立。(2)假设当n = k时等式成立，即ak2/(2 k 1) -12-,则当 n = k+1 时,(2 k 1)ak 1 = ak8(k

11、1)-2_ 2(2 k 1) (2k 3)2(2k 1)2 -18(k 1)(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 1)2 -1(2k 3)2 8(k 1)22(2k 1)2(2k 3)22_2_2_(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 3)2 8(k 1)22(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2k 3)2 -12(2 k 3)222( k 1) 12 -12( k 1) 12由此可知，当n = k +1时等式也成立。r 一 *根据(1) , (2)可知，等式对任何 nW N都成立。八、换元法例12已知数列an

12、满足an+=(1 +4an +j1+24an), a1 =1 ,求数列4的通项公式。学习必备欢迎下载24解：令 bn = 1 24an ,则 an =一 (bn -1)一121故an4 =痴(4斗一 1)，代入 门卡=行(1 + 4dn + JT12面)得 TOC o 1-5 h z 2112(bn1 -1)1 4(b2-1) bn2416242即 4bn1 =0 3)因为bn =尸福之0,故04=5+24-“131则 2bn+=bn+3,即 bn4=一灯+,可化为必用 一 3 = (bn - 3),222九、不动点法21a- -244 an 1例13已知数列an满足an书=-n ,a1 =

13、4 ,求数列an的通项公式。-.21x -24 o21 x 24 ,一*斛：令 x =,得 4x 20 x + 24 = 0 ,则 x1 =2, x2 =3是函数 f (x)=的两个 TOC o 1-5 h z 4x 14x 1不动点。因为21an -24 2an 1-2_ 4an 121an-24 -2(4an1) _ 13an -26 13an-2an 1-3- 21an -24- 21an-24-3(4an1) - 9an -27 - 9 an- 34an 1-3十、倒数法2 anan 2a1 二1，an 书,求 an4.求数列前n项和的常用方法一、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求

14、和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式：Sn = n(a1 +an) = na1 + n(n-1) d TOC o 1-5 h z 22na1(q =n2、等比数列求和公式：Sn=a(1q)a1 一 anq/-=-(q、1-q 1-q学习必备欢迎下载3、Sn = k =1n(n 1)24、八，1Sn = k =n(n 1)(2n 1) 6kJn5、Sn 八 k3 k 4例1求x+x? + x3 +x” +的前n项和.*一、一尸4*一_例 2设 Sn= 1+2+3+ +n , n C N ,求 f (n)=Sn(n - 32)Sn的最大值.1二、错位相减法（等差乘等比）一 .一 _一23一

15、一 n1例 3求和：Sn=1+3x+5x +7x + 一十(2n1)x例4求数列2,当与，W，前n项的和. TOC o 1-5 h z 2 22 232n2n 1解：由题可知，下的通项是等差数列2n的通项与等比数列七的通项之积22n设Sn1 Sn2246=+ + +22223246=+ + +-2342222n ,十 , 2n2nr 12得(1)Sn =2 222n 1l.Z.A.Z.22（设制错位）=22八2-3 八42221 2nn 42 n 12 n 2n 1（错位相减）三、倒序相加法这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可

16、以得到 n个（a1 + an）.例 5求证：C0 +3C： +5C2 + (2n +1)C： =(n+1)2n证明： 设 Sn =C0 + 3C： +5C；+(2n+1)C；把式右边倒转过来得（反序）Sn =(2n +1)C； +(2n -1)C丁+ +3C； +C0又由Cnm =C；引可得学习必备欢迎下载 TOC o 1-5 h z Sn =(2n+1)C0 +(2n1)C： + +3C/+C；+得 2Sn =(2n +2)(C： +C： + +C+C：) = 2(n+1) ,2n(反序相加)Sn = (n 1) 2 n例 6求 sin21 +sin2 2 + sin2 3 + +sin28

17、80+sin2 89 -的值解：设 S =sin21+sin2 2 一 + sin2 3 一 + + sin 2 88+sin2 89 -.将式右边反序得_222、2 一.2S =sin 89 +sin 88 + +sin3 +s i n 2 +sin1 .(反序)22又因为 sinx=cos(90 fx),sin x cos x=1+得(反序相加)2-22 一 222 一2S = (sin 1 + cos 1 ) + (sin 2 + cos 2 ) + + (sin 89 + cos 89 ) = 89S= 44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当

18、拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 111例7求数列的前n项和：1+1,+4,= + 7,，F工+3n2 , a a a例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设 ak = k(k 1)(2k 1) = 2k3 3k2 k TOC o 1-5 h z nnSn = k(k +1)(2k +1) = Z (2k3 +3k2 +k)k 1k 1将其每一项拆开再重新组合得nnnSn= 2Z k3 +3 k2 +Z k(分组)k 1k=1k=1五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合，使之

19、能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如：sin 1(1) an = f(n + 1) f (n)(2) ： = tan(n+1) -tanncosn cos(n 1)学习必备欢迎下载ann(n 1)an -(2n)2(2n -1)(2n 1)=1 -(-)2 2n -1 2n 1ann(n-1)(n 2) 4n(n 1) (n 1)(n 2)12(n 1) -n 1n(n 1)2nn(n 1)2nn_jnn 2 (n 1)2，则 Sn = 1(n 1)2n 1例9求数列产,L L, 1223的前n项和.例 10在数列a n中，ann 十又bn2,求数列b n的刖n项a n an

20、1的和.例 11求证:cos1解:cos0 cos1 cos1 cos22 /cos88 cos89 sin 1cos0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89sin 1cosn cos(n 1)-=tan(n 1) -tan n（裂项）cos0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89（裂项求和）sin 1sin1c(tan89 -tan 0 )=1 一：cot1 =sin1cos1. 2sin 1-(tan 1 - tan 0 ) (tan 2 - tan1 ) (tan 3 - tan 2 ) tan 89 - tan 88 原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数

21、列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.例 12 求 cos1 + cos2+ cos3 + + cos178 + cos179 的值.解：设 Sn= cos1+ cos2 + cos3 + + cos178 + cos179cosn = -cos(180 -n )（找特殊性质项）Sn=(cos1 + cos179 ) + ( cos2 + cos178 ) + (cos3 + cos177 ) + -学习必备欢迎下载（合并求和）+ ( cos89 + cos91 ) + cos900例13数列an：a=1,a2=3,a3=2,

22、a7=an 平an,求S2002.解：设2002= ai +a2 +a3 +22002a1 1, a2 3, a3 2, an 崔=an书 一 an 可得a7=1, a8 =3,a9 - 2, a10 - -1, a11 - -3, a12 二 一2a6k 1 - 1, a6k 2-3, a6k 3 - 2, a6k 4-1, a6k 5 - -3, aa6k 1 26k 2 a6k 3 a6k 4 a6k 5 a6k 6 - 0（找特殊性质项）- -3, a6 - -2,（合并求和） a6k .6)S2002= a1a2 - a3 - 22002=(a1 , a2 a3 , 26), (a7

23、 a8 .七或)一 (a6k 1a6k 2(a1993 a1994 . a1998 ) a1999 a2000 a2001 a2002=21999 22000 22001 22002=26k 1 , a6k 2 - a6k 3，26k 4=5例14在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 = 9，求10g 3 a1 + log 3 a2+ ,+log 3 a10的值.解：设 Sn = log 3 2110g 3 a2Tog 3 a10由等比数列的性质m + n = p+q= am2n =2paq(找特殊性质项)和对数的运算性质log a M +logaN =logaM N 得Sn = (log

24、3 21 +log3a10) +(log3a2 +log3a9) + +(log3a5 +log3a6)(合并求和)=(log 3 a1 210) (log 3 a2 29)log 3a5 a6)=log 3 9 log 3 9 log 3 9=10七、利用数列的通项求和学习必备欢迎下载先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n项和，是一个重要的方法.例 15求 1 +11 +111 + +U=1 之和.n个1 TOC o 1-5 h z 11（找通项及特征）解：由于 111 . . 1 = - x 999 9 = (10k 1)一百

25、r9 一百19111 111 二-1111n个1（分组求和）=1(101 -1) 1(102 -1) 1(103 -1)1(10n -1)9999=1(101 102 10310n)-1(1 1 11)99n个1=1 10(10n -1) n910 -191=(10n 1 -10-9n)81例 16已知数列an： an =，求Z (n+1)(an an由)的值.(n 1)(n 3) nw数列练习、选择题.已知等比数列an的公比为正数，且a3 - a9 =2 a52, a2=1,则a1 = TOC o 1-5 h z A. 1B. -C.、2D.222.已知为等差数列,为+%+/=1。50+%+

26、% = 99则叼等于A. -1B. 1C. 3D.7.公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn .若a4是a3与a7的等比中项，S8 =32，则A. 18B. 24C. 60D. 90 .学习必备欢迎下载4设Sn是等差数列a#的前n项和，已知a2=3, a6=11,则S等于A. 13B. 35C. 49D. 63.已知4 为等差数列，且a7-2a4 = -1, a3=0,则公差d =(D) 2 TOC o 1-5 h z 11(A)-2(B)-(C)-22.等差数列 an的公差不为零，首项a=1, a2是a1和a5的等比中项，则数列的前 10项之和A. 90B. 100C. 145 D. 19

27、0.等差数歹IQn的前n项和为Sn ,已知am_1 +am书一a： =0 , Szm=38，贝U m =382010(D) 9 .设4是公差不为0的等差数列，4=2且aa3,a6成等比数列，则%的前n项和& =A.21n7n-T-442 n 5nB. 十 332n3nf-24.等差数列 an的公差不为零，首项a=1, a?是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是 TOC o 1-5 h z A. 90B.100 C.145 D.190.二、填空题1设等比数列an的公比q = 1,前n项和为& ,则盘=.2a4.设等差数列an的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S1

28、2成等差数列.类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4 ,通成等T12比数列.在等差数列an中，a3 =7 =a2 +6,则 a6 =.等比数列an的公比q 0 ,已知a2 =1 , an七+an由= 6an,则 an 的前4项和S4= .学习必备欢迎下载数列练习参考答案一、选择题 TOC o 1-5 h z 2n.【答案】B【解析】设公比为q,由已知得a1q2 q8 =2（a1q4 ），即q2 = 2,又因为等比数列烝的公比为正数，所以q =.J2，故a=a2 = _1_ = _!，选b q 、22.【解析】ai+a3+a5=105 即3a3=105a3=35 同理可得 a4=

29、33公差 d =a -a3=-2a20 =a4 +(20 -4)xd =1.选 B。【答案】B2一. 一一 2一_ _ .、一 一 _.答案：C【解析】由a4 =%27得 + 3d) = (ai + 2d)(ai + 6d)得2al + 3d = 0 ,再由c56S8 =8a +yd =32 得八,，八一，八90， 一一2al + 而=8Ud =2,a1 =-3，所以 0 = 10a +万d = 60，.故.解：5=771=逅3=73A = 49.故选 C TOC o 1-5 h z 222a2 = a1d = 3 一 1al = 1,a7 = 1 6 2=13.a6 -a1 5d -11d

30、=2c7(a1 a7)7(1 13)所以& =49.故选C.22.【解析】a72a4= a?+4d2(a 3 + d) = 2d = 1 = d =【答案】B2.【答案】B【解析】设公差为d ,则(1+d)2 =1 11+4d) . d W0,解得d =2,S10 = 100.【答案】C【解析】因为an是等差数列，所以，am,+ am书=2am,由am+am+ a1 = 0 ,得：2am am2 = 0,所以，am =2,又 S2m4 = 38,即（2m仇；1 +a2m,）=38,即（2m 1）X2=38,解得 m=10,故选.C。1 .【答案】A解析设数列an的公差为d ,则根据题意得（2 +2d）2 = 2 （2 +5d）,解得d =一或22-d =0 （舍去），