工程有限元方法非线性有限元概述PPT(33页)

1、有限元方法与应用非线性有限元分析张有为 工程力学系自由度缩减方法瑞利阻尼柯西阻尼比例阻尼非线性有限元概述静力学有限元动力学有限元非线性有限元概述非线性有限元概述非线性有限元概述非线性有限元概述结构非线性问题的来源、分类及特征 线弹性分析的特点 非线性问题的来源 非线性分析的分类 非线性问题的特征非线性方程组的基本解法 直接迭代法 Newton-Raphson法 修正Newton-Raphson法 增量法线弹性分析的特点节点位移为无限小量几何方程（应变位移关系）为线性材料为线弹性物理方程（应力应变关系）为线性边界条件性质保持不变边界条件中接触状态为已知离散控制方程控制方程为线性代数方程非线性问题

2、的来源固体力学问题，从本质上讲是非线性的，线性假设只是实际问题中的一种简化。在分析线性弹性体系时，假设节点位移无限小；材料的应力与应变关系满足胡克定律；加载时边界条件的性质保持不变，如果不满足上述条件之一的，就称为非线性问题。非线性问题的来源材料非线性：体系的非线性是由于材料的应力与应变关系的非线性引起几何非线性：结构的位移使体系的受力状态发生了显著的变化，以致不能采用线性体系的分析方法接触非线性：由随时间发生变化的接触状态引起非线性问题的分类(1) 材料非线性（小应变）(2) 几何非线性（大位移、大转动、小应变）增压器涡轮机轮盘叶片组件弹塑性变形L型梁大变形分析如高层建筑、大跨度钢架结构的结

3、构分析大多属于此类问题如应力集中问题(缺口、裂纹等)非线性问题的分类(2) 几何非线性（大位移、大转动、大应变）(3) 接触非线性轮轨接触 齿轮啮合冲压导致的厚度减薄如金属的压力加工问题非线性问题的分类结构非线性有限元分析的类型、特点及描述方法分析类型特点描述方法应力和应变仅材料非线性位移和应变无限小，应力应变关系是非线性的非线性弹性弹塑性工程应力工程应变大位移大转动小应变线元的位移和转动充分大，但线元的伸长和线元之间的角度改变无限小，应力应变关系是线性的或非线性的完全Lagrangian描述Kirchhoff应力Green应变更新Lagrangian描述Cauchy应力Almansi应变大位

4、移大转动大应变线元的伸长和线元之间的角度改变充分大，线元的位移和角度也可以充分大，应力应变关系是线性的或非线性的完全Lagrangian描述Kirchhoff应力Green应变更新Lagrangian描述Cauchy应力Almansi应变非线性问题的特征非线性问题最终可转化为求解如下方程其中结构非线性分析最终均可转化为上述非线性方程组的求解，然而由于刚度矩阵及外力向量均为位移的函数，在求解过程中将发生变化，因此求解比线性问题复杂，计算量大得多(1)非线性方程组求解的直接迭代法改写原始方程组为直接迭代法计算流程(1) 假定初始试探解为(3) 若满足如下迭代判据其中则停止迭代，否则转向(2)某给定

5、的小量某误差范数可取线弹性解为初始试探值非线性方程组求解的直接迭代法收敛发散非线性方程组求解的直接迭代法为避免直接迭代法每一步中对系数矩阵的求逆，可以采用常系数矩阵进行迭代常系数矩阵的直接迭代法计算流程(1) 假定初始试探解为(2) 求第一步迭代近似解为(3) 对近似解进行修正其中非线性方程组求解的直接迭代法典型算例直接迭代法计算流程其中(1) 假定初始试探解为迭代11次收敛非线性方程组求解的直接迭代法常系数矩阵直接迭代法计算流程(1) 假定初始试探解为(2) 第一步迭代近似解为迭代16次收敛非线性方程组求解的直接迭代法迭代历史比较非线性方程组求解的N-R法非线性方程组的一阶Taylor展开式

6、N-R方法的计算流程切线矩阵其中(1) 计算近似解修正量并更新近似解非线性方程组求解的N-R法N-R方法的收敛性一般情况下具有良好的收敛性偶尔会出现发散（如下图）收敛可能的发散非线性方程组求解的mN-R法为避免N-R方法每一迭代步中对切线矩阵的求逆，常常可以采用修正的方案，即修正N-R方法(mN-R)，其中切线矩阵总是采用它的初始值mN-R方法的计算流程其中(1) 计算近似解修正量并更新近似解非线性方程组求解的mN-R法非线性方程组求解的(m)N-R法典型算例N-R法计算流程其中迭代5次收敛(1) 假定初始试探解为非线性方程组求解的(m)N-R法mN-R法计算流程(1) 假定初始试探解为迭代1

7、6次收敛，对于此特例问题，其与校正的直接迭代法类似则非线性方程组求解的(m)N-R法迭代历史比较扩展拟牛顿法秩2算法BFGS算法非线性方程组求解的增量法用以表示载荷变化的参数切线矩阵其中上式所提出的是一典型的常微分方程组问题，可以利用很多方法求解如：(1) 欧拉方法，(2) N-R方法非线性方程组求解的增量法欧拉方法计算流程校正的欧拉方法流程其中(2)其中(3)非线性方程组求解的增量法欧拉方法的收敛性采用(2)和(3)式计算的结果都不能精确满足原方程，且将导致解的漂移，且随着增量的增加，解的漂移现象愈加严重考虑平衡校正的增量解法，即对(2)式进行修正，改写为(4)欧拉法求解增量方程和解的漂移考虑平衡校正的增量解法非线性方程组求解的增量法N-R方法计算流程mN-R方法流程每一个增量步中采用N-R方法迭代求解本步结束时的解其中(5)(6)将N-R方法中每一个迭代步的切线矩阵用本步初始值替代非线性方程组求解的增量法N-R和mN-R方法的收敛性两种方法较增量法的收敛性好mN-R方法求解非线性方程组时，可以避免每次迭代重新形成和求逆切线矩阵，但降低了收敛速度，尤其是P-a曲线突然趋于平坦时（如结构分析中结构趋于极限载荷或突然变软），收敛速度会很慢。为加速收敛，可采用一些常用的方法进行改进，如Aitken加速法，这里不再详细列举N-R方法求解增量方程mN-R方法求解增量方程非线性