一元多项式的定义和运算课件

1、1.1 数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，学习数学也是如此。 比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。例如在有理数范围内不能分解，在实数范围内就可以分解。在实数范围内没有根，在复数范围内就有根。等等。 我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 是指存在一个法则，它使A中任意两个元素 都有A中一

2、个元素与之对应。（即运算是否封闭）。运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。 例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。 根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：数环和数域。 一、数环设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对，总有则称S是一个数环。整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环。例如：1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？问题：

3、2、有没有最小的数环？例1：设a是一个确定的整数。令定义1：则S是一个数环。特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。当a=0时，即只包含一个零组成的数环，这是最小的数环，称为零环。问题：3、一个数环是否一定包含0元？4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的数环？例2：证明是一个数环。问题： 5、除了定义之外，判断一个集合是数环有没有其他简单的方法？定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。二、数域定义2：设F是一个含有不等零的数的数集，如果F定义： 设F是一个数环，如果 F内含有一个非零数； 对且 ，则则称F是一个数域。有理数集Q，实数集R，复数集

4、C都是数域，例如：则称F是一个数域。 中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中，且是三个最重要的数域。问题：6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数集是不是数域？ 7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？例3：证明是一个数域。证明要点：设 （否则当矛盾；当 ，也矛盾）。于是先证有一个非零元对加、减、乘封闭。再证除法封闭：， 8、一个数域必包含哪两个元素？问题：9、最小的数域是什么？定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。证明：设F是一个数域，则于是对 故 10、在判断一个数集是不是数域时，实际上问题：要检验几种运算？设F是一个含有非零数的数集，则F定理1.1.3：问题：11、在Q与

5、R之间是否还有别的数域？在R与C之间是否有别的数域？例：对任意素数P， 是一个数域。在R与C之间不可能有别的数域。设有数域F，使，故设x=a+bi，且数不为零）仍属于F。是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除（若b=0，则，矛盾）。可见F=C。问题：12、设和 是数环，试问是不是数环？若是，给出证明，若不是举出反例。若 和 是数域情况又如何？ 两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。（ 是数域，则是数域的充要条件是或 ）。1.2 一元多项式的定义和运算一、多项式的概念 中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减法运算的整式）的代数和叫多项式。例：

6、4a+3b， 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是形式表达式。后来又把多项式定义为R上的函数：但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中并没有交代。问题：1、高等代数中采用什么观点定义多项式？ 2、多项式的形式观点与多项式的函数观点是否矛盾？定义1：设x是一个文字（或符号），n是一个非负整数形式表达式（2.1）其中，称为数域F上的一元多项式。常数项或零次项 首项首项系数称为i次项系数。 高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方面推广了中学的多项式定义： 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。 系数可以是任意数域。例1.2.1：是Q上多项式；是R上多项式；是C上多项式。都不是多项式。定

7、义2：是两个多项式，除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。 多项式的表法唯一。方程是一个条件等式而不是两个多项式相等。定义3：设 非负整数n称为的次数，记为： 最高次项，亦称为首项。例1.2.2：零次多项式：次数为0的多项式即非零常数。零多项式：系数全为0的多项式。对零多项式不个多项式不是零多项式。首一多项式：首项系数为1的多项式。二、多项式的运算定义4：设 是数域F上次数分别定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这为n和m的两个多项式， 则 与 的和为：。当mn时，取 。定义5：设如上， 与 的积为例1.2.3：设其中相乘积的和作为的系数。得：把 中两个系数下标之和为k的对应项多项式

8、的运算（加、减、乘）满足以下运算规律：加法交换律：加法结合律：乘法交换律：乘法结合律：乘法对加法的分配律：下面证明多项式乘法满足结合律。证：设现证这只要比较两边同次项（比如t次项系数）相等即可。左边中S次项的系数是：左边t次项的系数是：右边中r次项的系数是：右边的t次项的系数是：左、右两边同次项的系数相等，乘法满足结合律。三、多项式的次数定理定理2.1.1：设 当 时，则 证：设当 令 多项式乘法没有零因子。推论1：若证：若f=0或g=0，则必有fg=0。反之，若，矛盾。乘法消去律成立。推论2：若且 则 证：由于故 定义5：对多项式的加、减、乘法是否封闭？上的多项式环。对多项式的加、减、乘法封

9、闭，故称为数域F1.3 整除性理论一、多项式整除的概念 多项式的整除性设 ，若存在，使 ，则说整除，记为：，记为： 。当 时，称作的因式，称作的倍式。 整除的基本性质性质1：否则就说不能整除若则 。（传递性）证：使 性质2：若 ，则 。 证：性质3：若，对 。 证：性质4：若 则对有性质5：若 则 证：为常数。性质6：且 则 性质7： 带余除法定理定理1.3.1：设 ，且则存在使得这里或 满足条件的唯一确定。商式余式证：先证存在性。1、若则取即知结论成立。2、设对 的次数n，利用数学归纳法。当n1时，称为的重因式。如果的标准分解式为：则 分别是的因式，且分别为重。要求的重因式，只要把式写出即可

10、。但我们还没有一般的方法把一个多项的标准分解式分解为不可约因式的乘积。 因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重因式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念。定义2：的一阶导数指的是多项式：（形式定义）多项式一阶导数的导数称为的二阶导数，记为的导数称为的三阶导数，记为 的k阶导数记为多项式的求导法则：1、2、3、4、定理1.6.1：若不可约多项式是 的k重因式（k1），则 是 式，特别多项式的单因式不是式。证：的k-1重因的因从而于是是 的k-1重因式。推论1：若不可约多项式是 的k重因式不是的因式。证：是 的k-1重因式，是 的k-2重因式， （k1），则是 的因式，但是 的（k-(k-1)=

11、1）单因式，因而不是的因式。推论2：不可约多项式是 的重因式的充要条件是是 与 的公因式。证：必要性由推论1立得。充分性，若是 与 的公因式，则 不是 的单因式（否则，由推论1知的因式），故不是是 的重因式。推论3：无重因式的充要条件是多项式与 互素。 推论3表明，判别一个多项式有没有重因式，可以利用辗转相除法得到。 在讨论与解方程有关的问题时，常常要求所讨论多项式有没有重因式。设多项式的标准分解式为：由定理1得：故于是：有没有重因式，只要求1、判别的最大公因式的重因式的重数恰好是中重因式的重数加1。此法不能求的单因式。例1.6.1 在中分解多项式2、分离重因式，即求的所有不可约的单因式：例1

12、.6.2：求多项式有重因式的条件。 当 时，即这时f有重因式 当 时，即时，欲有重因式，只需即 重因式是例1.6.3：用分离因式法（单因式化法）求多项式在Q上的标准分解式。解：利用辗转相除法求得：把 单因式化，得由于故 是 的3重因式，是 的单因式，故 在Q上的标准分解式为多项式在 中没有重因式，问题：在 中是否也没有重因式？由于多项式的导数以及两个多项式互素与否在由数域F过渡到含F的数域 时并无改变，故有没有重因式不因数域的扩大而改变。1.7 多项式函数与多项式的根一、多项式函数 定义：设对 数 称为当F中的根或零点。 定义（多项式函数）：设对 作映射f：为F上的多项式函数。时 的值，若则称

13、c为在映射f确定了数域F上的一个函数被称当F=R时，就是数学分析中所讨论的多项式函数。若 则 二、余式定理和综合除法所得的余式是 。用一次多项式x-c去定理1.7.1（余式定理）：除多项式证：由带余除法：设则 。 问题1、有没有确定带余除法：的简单方法？中 和 设 把 代入中展开后比较方程两边的系数得：因此，利用与 之间的系数关系可以方便和r，这就是下面的综合除法：于是得去除例1.7.1：求用的商式和余式。解：由综合除法因此 利用综合除法求与r时应注意：1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；2、除式要变为例1.7.2：把表成的方幂和。定理1.7.2（因式定理）：因式的充要条件是 。证明：

14、设若 即 故 是 的一个因式。若 有一个因式即 故 此即 。由此定理可知，要判断一个数c是不是的根，可以直接代入多项式函数，看 是否等于零；也可以利用综合除法来判断其余数是否为零。多项式有一个三、多项式的根定义3：若是 的一个k重因式，即有但 则 是 的一个k重根。问题2、若多项式有重根，能否推出有重因式，反之，若有重因式，能否说有重根？由于多项式有无重因式与系数域无关，而 有无重根与系数域有关，故有重根有重因式，但反之不对。定理1.7.3（根的个数定理）：数域F上次多项式至多有n个根（重根按重数计算）。证明（用归纳法）：当时结论显然成立，假设当是 次多项式时结论成立，则当是n次多项式时，设

15、是 的一个根，则有是n-1次多项式，由归纳知至多只有个根，故至多只有n个根。证二：对零次多项式结论显然成立，数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不定理1.7.4：超过n，若在F中有n+1个不同的数使与 的值相等，则 。证明：令设它们的次数都不若 又 把 若是一次数0的多项式，分解成不可约多项式的乘积，这时在数域F中根的个超过n。由于F中有n+1个不同的数，使 与 的值相等，故有n+1个不同的根，这与定理1.7.3矛盾，故即 问题3、设是F中n个不同的数，是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项式，使利用定理1.7.4可求一个n-1次多项式使作函数 则 这个公式也称为Lagrange插值

16、公式。例1.7.3：求一个次数小于3的多项式使 。 解一（待定系数法）：设所求的多项式由已知条件得线性方程组：解之得解二（利用Lagrange公式）：利用Lagrange插值公式可得： 问题4、用形式定义的多项式与用函数观定义的多项式是否一致？四、多项式相等与多项式函数相等的关系 多项式相等：即对应项的系数相同； 多项式函数相等：即对 有 定理1.7.5：中两个多项式和 相等的充要条件是它们所确定的在F上的多项式函数相等。证明：若 它们对应项的系数相同，于是对故这两个多项式函数相等；若对有 令 此时有无穷多个根，故此即 。1.8 复数域和实数域上的多项式一、C上多项式对于上的多项式，它在F上未

17、必有根，那么它在C上是否有根？ 每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有一个根。定理1.8.1（代数基本定理）： 任何n（n0）次多项式在C上有n个根（重根按重数计算）。定理1.8.2：当n=1时结论显然成立。证：假设结论对n-1次多项式成立，则当是n次多项式时，由于在C上至少有一个根，设为则 ， 是C上n-1次多项式。由归纳假设知在C上有n-1个根， 推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多项式。推论2：任一个n（n0）次多项式在 在C上的根，所以n个根。它们也是在C上有上都能分解成一次因式的乘积，即的标准分解式是：其中是不同的复数，是自然数且韦达定

18、理：设是 的两个根，则C上多项式的根与系数关系：设 （1）是一个n（n0）次多项式，则它在C中有n个根，记（2）比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，则 为得根与系数的关系为：如果根与系数的关系又如何？利用根与系数的关系，可以构造一个n次多项式，使其恰以为根。例1.8.1：它以1和4为单根，-2为2重根。求一个首项系数为1的4次多项式，使解：设则 二、实数域上的多项式定理1.8.3：如果是实数系数多项式的与 有相同的重数。证：设由于是 的根，故有两边取共轭复数，注意到和0都是实数，则有可见也是的根。非实复根，则的共轭复数也是的根，且因此多项式：能整除，即存在多项式 ，使 是实系数多项式，故

19、也是实系数多项式。若 是 的重根，由于 ，故 必是的根，是实系数，故也是的根，故 也是的重根。与重复应用这个推理方法知的重数相同。唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的定理1.8.4 每个次数的实系数多项式都可乘积。就是一次因式子，结论成立。 若 ， 证明：的次数作数学归纳。对 假设对结论次数0）次实系数多项式具有标准分解式：不可约，即满足在R上例1.8.2：设是多项式的非零根，求以为根的四次多项式。解：设为多求多项式。所求多项式是：或 1.8 有理系数多项式 本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如何求Q上多项式的有理根，由于与 在 上的可约性相同。因此讨论在Q上的可约性可转化为求整系数

20、多项式在Q上的可约性。一、整系数多项式的可约性定义1（本原多项式）：若整系数多项式的系数互素，则称是一个本原多项式。例如： 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。是本原多项式。引理（高斯定理）：两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。证：设都是本原多项式若 不是本原多项式，则存在素数p，使由于都是本原多项式，故的系数不能都被p整除，的系数也不能被p整除，可设但 但 现考虑除了这一项外，p能整除其余各项，因此这是一个矛盾，故 是本原多项式。定理1.9.1：一个整系数n（n0）次多项式在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。证：充分性显然。下证必要性。设可分解成

21、中两个次数都小于n的多项式与 的乘积，即有设 的系数的公分母为m，则一个整系数多项式，把是系数的公因式n提出来，是本原多项式，即 同理，存在有理数S，使也是本原多项式，于是下证是一个整数，设（p,q互素且p0），由于是整系数多项式，故p能整除q与的每一系数的乘积，而p,q互素，故p能整除的每一系数，但由引理1知，是本原多项式，故p=1，从而rs是一个整数。 C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判别法回答了这个问题。问题：定理1.9.2（Eisenstein判别法）：设是整系数多项式，若存在

22、素数p，使 则 在Q上不可约。证（反证法）：若在Q上可约在Z上可约，即存在：使 其中故 或 但两者不能同时成立。不妨设但 。 由于 ，由 知 的系数不能都被p即但 现考虑但p能整除其它项，故与已知矛盾。假设是第一个不能被p整除的系数，整除，在 中不可约在 中不可约。 由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不可约多项式。例1.9.1：是Q上不可约多项式，p是素数。例1.9.2：判断在Q上是否可约？解：分别取p=2, p=3即知。解：取素数p即知。Eisenstein是判别多项式在Q上不可约的充分条件，但不是必要条件。注意：例：不可约，但找不到素数p。系数多项式。特别地，若是本原的，则也是

23、本原的。推论：设若 都是整系数多项式，且是本原的，则必是整的所有系数。）（若不是二、整系数多项式的有理根定理1.9.3：设是一个整系数多项式，若有理数是整系数多项式的一个根，这里u，v是互素的整数，则证：（1）是 的根，有一次因式即 因为是本原多项式是整系数多项式，故是整系数多项式。（2）设是整数。比较两边n次项与常数项系数得：由定理1.9.3，要求整系数多项式的有理根，只要求出最高次项系数的因数以及常数项的因数。然后对形如有理数用综合除法来检验，如果最高次系数为1，则整系数多项式f的有理根只能是整根。这样的例1.9.3：求的有理根。解：2的因数是的因数是故 可能的有理根只能是对 用综合除法逐

24、一检验知：的有理根只能是 。定理1.9.4：设是互素的整数，且是整系数多项式的根，则证：由把 代入得：1.10 多元多项式 前面介绍了一元多项式的基本性质，但是除了一元多项式外；还有含多个文字的多项式，即多元多项式，如下面简单介绍有关多元多项式的一些概念。设F是一个数域，是n个文字，形如（1）的式子，其中是非负整数，称为一个单项式。 如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项。一些单项式的和就称为n元多项式，简称多项式，记为（2） 和一元多项式一样，n元多项式也可以定义相等，相加、相减、相乘。 相等：如果F上两个n元多项式有完全相同的项（或者只差一些系数为零的项），则称这两个多项

25、式是相等的。 相加：F上两个n元多项式与 的和指的是把分别出现在这两个多项式中对应的同类项的系数相加多得的n元多项式。例如：设则f与g的和是 相减：设 把g的系数都换成各自的相反数，所得多项式叫做g的负多项式，记为 相乘：F上两个n元多项式与 与g的每一项相乘，然后把这些乘积相加（合并同类项）所得的多项式称为f与g的积，记为fg。的乘积指的是，先把f的每一项例如则 这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里多项式的运算一致，n元多项式的运算满足以下运算律：设则 （加法结合律）（加法交换律）（乘法结合律）（乘法交换律）（乘法分配律）我们把F上一切n个文字的集合，连同以上定义的加法和乘法叫做F上n个

26、文字的多项式所成的多项式环，记作同一元多项式一样，也可以谈论n元多项式的次数。设 称为单项式的次数， 对f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式f的次数，记为 设f、g是F上两个不等于零的n元多项式，则f与g的和与积的次数与f、g的次数有如下关系：1、2、 结论1是显然的，但要证明结论2，还得先考虑多元多项式的排列顺序，在一元多项式中，我们看到多项式的升幂（或降幂）排列对许多问题的讨论是方便的。为此，对多元多项式也引入一种排列顺序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，因而称为字典排列法。每一类单项式（1）都对应一个n元数组 为了给单项式之间一个排列顺序的方法，我们只要对n元

27、数但定义一个先后顺序就可以了。其中为非负整数，这个对应是1-1的，设两个单项式分别对应n元数组和 考虑如果有使 而 则称n元数组先于数组记为于是对应于的单项式就排在对应于的单项式前面。例如，对多项式按字典排列法写出来就是：应该注意的是， 把一个多项式按字典排列法书写后，次数较高的项并不一定排在次数较低的项的前面，例如上面的首项次数为4，第二项的次数为6，而 关于多项式的首项有以下定理，这个定理在下一节讨论对称多项式时将要用到定理1.10.1：数域F上两个非零的n元多项式和 的乘积的首项等于这两个多项式首项的乘积。证明：设的首项为的首项为为了证明它们的积为fg的首项，只要证明数组先于乘积中其他单

28、项式所对应的有序数组就行了。的有序数组有三类：中其他单项式所对应 其中 于是 这证明在乘积fg的首项。推论1.10.1：则 的首项等于每个的首项的乘积。如果推论1.10.2：如果则 现在回到两个n元多项式的乘积的次数上来，设是一个n元多项式，则称f是一个k次齐次多项式，简称k次齐次。如果中各项都有同一次数k，例如就是一个4次齐次多项式。 两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，它的次数就等于这两个多项式的次数之和。任何一个m次多项式都可以唯一地表成几组齐次多项式的和，即是i次齐次多项式，若就是f的一个i次齐次成分。数域F上两个不等于零的n元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次数的和。定理1.10.

29、2：证明：设且 它们的次数分别为m和s，把f与g分别写成齐次多项式的和：这里或者等于零，或者分别是i次或j次齐式并且于是由推论1.10.2：且是一个m+s次齐式，其余各项或者等于零，或者是一个次数低于m+s的齐式。因此 同一元多项式一样，F上n元多项式与多项式函数是相同的。对于数域F上一个n元多项式对F中任意n个数如果在中，用代替就得到数域F中一个确定的数，称为时多项式的值，用来表示。如果由此一个n元多项式就确定一个n元多项式函数。则数组叫做的一个零点。对 作映射：这个映射就确定一个由到F的函数，称为多项式在 的值。设 如果则对都有这说明相等的多项式确定相同的多项式函数。下面证明其反面也成立。

30、定理1.10.3：设如果对任意都有则 证明思路： 当n=1时结论显然成立，假设对于F上n-1个文字的多项式来说结论成立，现考虑n个文字的多项式，把含有同一次幂的项归在一起并把的幂提到括号外，则这里任意取定代入得已知对有 取 则有由于定理对一元多项式成立，故有又由于对中 有 由归纳假设，故从而1.11 对称多项式 对称多项式是多元多项式中常见的一种，也是一类比较重要的多元多项式，它的应用比较广泛，对称多项式的来源之一以及它应用的一个重要方面，是一元多项式根的研究，下面我们从一元多项式的根与系数的关系谈起。设 是 的一个多项式，如果在F中有n个根（重根按重数计算），则 可分解为把上式展开，比较两边

31、系数，得根与系数关系如下：由此看出，多项式的系数是对称地依赖于方程的根的，改写上述方程组得（1）所得n个n元多项式是对称地依赖于文字下面给出对称多项式的概念。定义1.11.1：对于n元多项式如果对任意的都有则称这个多项式为对称多项式。例如：是一个三元对称多项式，是一个n元对称多项式。都是n元对称多项式，（1）中的称为初等对称多项式。并非每一个多项式都是对称多项式，例如这时由定义可以推出：1、两个n元对称多项式的和、差、积仍是n元对称多项式；2、如果一个对称多项式含有一项则 也一定含有一切形如的项。这里是 的任意一个排列；3、如果是n元对称多项式，而是任一多项式，那么是n元对称多项式。 在对称多项式的理论中，初等对称多项式占有一个很重要的地位。下面将要证明，每一个n元对称多项式都可以唯一地表示成初等对称多项式的多项式。这是对称多项式的基本定理。下面不加证明给出一个引理。引理1.11.1：设是数域F上一个n元多项式，以代替得关于的一个多项式如果则有定理1.11.1：数域F上每个n元对称多项式都可以表成关于初等对称多项式的多项式且这种表示方法是唯一的。证明：1、设对称多项