概率论与数理统计--理工类简明版-2-课件2

1、离散型随机变量设是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，型随机变量.设是随机变量的所有可能取值，对每个取值是其样本空间上的一个事件，为描述随机变量还需要知道这些事件发生的可能性（概率）.定义设离散随机变量的所有可能的取值为则称为一个离散称离散型随机变量定义设离散随机变量的所有可能的取值为称为的概率分布或分布律，也称概率函数.常用表格形式来表示的概率分布：由概率的定义，必然满足：(1)(2)完例1某篮球运动员投中篮圈的概率是 0.9,求他两次独立投篮投中次数的概率分布.解可取 0, 1, 2 为值,且于是,的概率分布可表示为完例2设随机变量的概率分布为:试确定常数解依据概率分

2、布的性质：欲使上述函数为概率分布应有从中解得例2设随机变量的概率分布为:试确定常数欲使上述函数为概率分布应有从中解得注:这里用到了常见的幂级数展开式完解例3200 件产品中,有 196 件是正品,则服从参数为 0.98 的两点分布.于是,4 件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定完关于分布律的说明若已知一个离散型随机变量的概率分布则可以求得所生成的任何事件概率，一般地，若是一个区间，则例如，设的概率分布由例1给出：特别地，关于分布律的说明例如，设的概率分布由例1给出：则完退化分布定义若一个随机变量以概率1取某一常数，则称服从处的退化分布.注：在所有分布中，最简单的分布是退化分布，其之所以称为退

3、化分布，是因为其取值几乎是确定的，即这样的随机变量退化成了一个确定的常数.完即两点分布定义若一个随机变量只有两个可能的取值，且其分布为则称服从处参数为的两点分布.特别地，若服从处参数为的两点分布，即则称服从参数为的分布.习惯上常两点分布则称服从参数为的分布.习惯上常记对于一个随机试验，若它的样本空间只包含两个元素，即则总能在上定义一个服从分布的随机变量，来描述这个随机试验的结果.例如，抛掷硬币两点分布，来描述这个随机试验的结果.例如，抛掷硬币试验，检查产品的质量是否合格，某工厂的电力消耗是否超过负荷等.完个点上的均匀分布定义若一随机变量共有个不同的取值，且取每一个值的可能性相同，即则称服从个点

4、上的均匀分布.注：可将古典概型与均匀分布联系起来. 在古典概型中，试验共有个不同的可能结果，且每个结果出现的可能性相同.设则个点上的均匀分布每个结果出现的可能性相同.设则若随机变量是上的一一对应函数，则就服从个点上的均匀分布.如，设表示投掷一枚骰子出现的点数，其样本空间令且则服从上的均匀分布.完二项分布在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为用表示重伯努利试验中事件发生的次数，则的可能取值为且对每个事件的k次”，根据伯努利型，有(1)即为“次试验中事件恰好发生定义若一个随机变量的概率分布由(1)式给出，则称服从参数为的二项分布，二项分布定义若一个随机变量的概率分布由(1)式给出，则称服从

5、参数为的二项分布，记为易见，二项分布的图形特点注：当时，(1)式化为此时，随机变量即服从分布.完二项分布的图形特点在图1和图2中，分别给出了当和时二项分布的图形.从图易看出：对于固定及当增加时，概率先是随之增加直至达到最大值，随后二项分布的图形特点当为整数时，二项概率在和处达到最大值.注：为不超过的最大整数.完单调减少.可以证明，一般的二项分布的图形也具有这一性质，二项概率在达到最大值；不为整数时，且当先是随之增加直至达到最大值，随后例4已知 100 个产品中有 5 个次品,现从中有放回地取 3 次,每次任取 1 个,求在所取的 3 个中恰有2 个次品的概率.解因为这是有放回地取 3 次,因此

6、这 3 次试验的条件完全相同且独立,它是伯努利试验,依题意,每次试验取到次品的概率为 0.05.设为所取的 3 个中的次品数,则于是,所求概率为:例4已知 100 个产品中有 5 个次品,现从中有放回地取 3 次,每次任取 1 个,求在所取的 3 个中恰有2 个次品的概率.解于是,所求概率为:注:若将本例中的 “有放回” 改为 “无放回”,各次试验条件就不同了,那么已不是伯努利概型,此时,只能用古典概型求解.完例5某人进行射击,设每次射击的命中率为 0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.解将一次射击看成是一次试验.设击中的次数为则的分布律为于是所求概率为例5某人进行射击,设每次射

7、击的命中率为 0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.解将一次射击看成是一次试验.的分布律为于是所求概率为完例6设有 80 台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由 4 人维护,每人负责 20 台;其二是由 3人共同维护 80 台.试比较这两种方法在设备发生故障时解按第一种方法.以记“第 1 人维护的 20 台中同一时刻发生故障的台数”,以表示修”,则知 80台中发生故障不能及时维修的概率为不能及时维修的概率的大小.人维护的 20 台中发生故障不能及时维“第解按第一种方法.以记“第 1 人

8、维护的 20 台中同一时刻发生故障的台数”,以表示修”,则知 80台中发生故障不能及时维修的概率为人维护的 20 台中发生故障不能及时维“第而故有解即按第二种方法.以记 80 台中同一时刻发生故障的台数.此时故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为结果表明,在后一种情况尽管任务重了维护约 27 台),但工作效率不仅没有降低,反而提高了.(每人平均完几何分布在独立重复试验中，事件发生的概率为设为直到发生为止所进行的次数，显然的可能取值是全体自然数，且由伯努利定理知其分布为(1)几何数列定义若一随机变量的概率分布由(1)给出，则称服从参数为的几何分布.几何分布具有以下列无记忆性：(2)几何分布

9、几何分布具有以下列无记忆性：(2)事实上，而同理代入即证得(2)式.几何分布代入即证得(2)式.注：所谓无记忆性，意指几何分布对过去的次失败的信息进一步还可证明：一个取自然数值的随机变量，若具有(2)式表达的无记忆性，则一定服从几何分布，故无记忆性是几何分布的一个特性.完在后面的计算中被遗忘了.例7某射手连续向一目标射击,直到命中为止,知他每发命中的概率是概率分布.解显然,可能取的值是为计算设第发命中,则已求所需射击发数的例7某射手连续向一目标射击,直到命中为止,知他每发命中的概率是概率分布.解设第发命中,则已求所需射击发数的可见所求需射击发数的概率分布为完超几何分布引例一个袋子中装有个球，其

10、中个白球，个黑球从中不放回地抽取个球，设表示取到白球的数目，则根据古典概型易算得的分布(1)这里规定：时，当定义若一随机变量的概率分布由(1)给出，则称服从超几何分布.超几何分布定义若一随机变量的概率分布由(1)给出，则称服从超几何分布.注：在上述引例中，若每次取球后是放回的，则该问题服从二项分布.在实际应用，很大，而相对较小时，通常将不放回抽取近似当作有放回抽取问题来处理，故可用二项分布来近似超几何分布，即当和均较大，且超几何分布即更进一步有：且则对任意给定的和有注：超几何分布常用于对一大批产品进行不放回抽样检测.时，当完泊松分布定义若一个随机变量的概率分布为则称服从参数为的泊松分布，记为或

11、泊松分布的图形特征如右图所示.注：历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.泊松分布项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.注：历史上，泊松分布是作为二泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一.实际问题中许多随机现象服从或近似泊松分布.泊松分布产生的一般条件完泊松分布产生的一般条件在自然界和现实生活中，常遇到在随机时刻出现的某种事件.把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列称为随机事件流. 若随机事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松事件流(泊松流).这里，平稳性在任意时间区间内，事件发生次的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.无后效性在

12、不相重叠的时间段内，事件的发生相互独立.泊松分布产生的一般条件无后效性在不相重叠的时间段内，事件的发生相互独立.普通性如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计.下列事件都可视为泊松流：某电话交换台一定时间内收到的用户的呼叫数；到某机场降落的飞机数；某售票窗口接待的顾客数；一纺锭在某一时段内发生断头的次数；泊松分布产生的一般条件到某机场降落的飞机数；某售票窗口接待的顾客数；一纺锭在某一时段内发生断头的次数；对泊松流，在任意时间间隔内，事件发生的次数服从参数为的泊松分布，称为泊松流的强度.完例8某一城市每天发生火灾的次数服从参数的泊松分布,求该城市一天内发生 3 次或 3 次以上

13、火灾的概率.解由概率的性质,得完二项分布的泊松近似对二项分布当试验次数很大时，计算其概率很麻烦.例如，要计算故须寻求近似计算方法.这里先介绍二项分布的泊松近似，在本章第四节中还将介绍二项分布的的正态近似.泊松定理在重伯努利实验中，事件在二项分布的泊松近似泊松定理在重伯努利实验中，事件在每次试验中发生的概率为若当时，为常数),则有注：(i)：定理的条件意味着当很大时，必定很小.因此，泊松定理表明，当很大，很小时有下列近似公式：二项分布的泊松近似很小时有下列近似公式：实际计算中，时近似效果变很好.(ii)把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件，此类事件如：地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等

14、，则由泊松定理知，重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.完例9某公司生产一种产品 300 件,根据历史生产记录知废品率为 0.01,问现在这 300 件产品经检验品数大于 5 的概率是多少?解把每件产品的检验看作一次伯努利试验,它有两个结果:正品,废品.检验 300 件产品用表示检验出的废品数,则我们要计算有于是,得对废就是作 300 次独立的伯努利试验.解我们要计算有于是,得对查泊松分布表,得完例10一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道,某种商品每月的销售数的泊松分布来描述,为了以 95%以上的把握保证不脱销,问商店在月底至少应进该种商品多少件?解设该商品每月的销售

15、数为已知服从参数的泊松分布.设商店在月底应进该种商品件,求满足的最小的即可以用参数解设该商品每月的销售数为已知服从参数的泊松分布.设商店在月底应进该种商品件,求满足的最小的即查泊松分布表,得于是得件.完例11自 1875年至 1955年中的某 63年间,上海市夏季( 5-9月)共发生大暴雨 180次,试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型.解每年夏季共有天,每次暴雨发生以 1 天计算,则夏季每天发生暴雨的概率将暴雨发生看做稀有事件,利用泊松分布海市一个夏季暴雨发生次分布模型.来建立上的概率解将暴雨发生看做稀有事件,利用泊松分布来建立海市一个夏季暴雨发生次分布模型.上的概率设表示夏季发生暴雨

16、的次数,由于故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为解故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为并将它与资料记载的实际年数作对照,这些值及的值均列入下表.由上述的概率分布次暴雨的理论年数计算 63 年中上海市夏季发生01234560.0553.540.16010.180.23114.6140.22414.1190.16210.2100.0945.940.0452.82理论年数实际年数理论年数实际年数78910110.0191.210.0070.4410.0020.1200.0010.050000由上表可见,按建立的概率分布模型计算的理论年数这表明的模型分布.与实际年数总的来看符合得较好,所建立能近似

17、描述上海市夏季暴雨发生次数的概率完内容小结1.离散型随机变量及其概率分布设离散型随机变量的所有可能取值为称为的概率分布或分布律,也称概率函数.常用表格形式来表示的概率分布:内容小结2.常用离散型分布退化分布与两点分布个点上均匀分布二项分布二项分布的泊松近似几何分布超几何分布泊松分布完退化分布定义若一个随机变量以概率 1 取某一常数,则称服从处的退化分布.即两点分布定义若一个随机变量只有两个可能的取值,其分布为则称服从处且特别地,点分布,即参数为的两的两点分布.参数为若服从处两点分布定义若一个随机变量只有两个可能的取值,其分布为则称服从处且特别地,点分布,即参数为的两的两点分布.参数为若服从处则

18、称服从参数为的分布.完个点上的均匀分布定义若一随机变量共有个不同的取值,取每一个值的可能性相同,即则称服从个点上的均匀分布.注:可将古典概型与均匀分布联系起来.在古典概型中,试验共有个不同的可能结果,且每个结果出现的可能性相同.设则如果随机变量是上的一一对应函数,服从均匀分布.且则就完二项分布在重伯努利试验中,设每次试验中事件的概率为用表示重伯努利试验中事件发生的次数,则的可能取值为且对每一根据伯努(1)事件即为定义若一个随机变量的概率分布由 (1) 式给出,则称服从参数为恰好发生的次”,有发生次试验中事件“利型,记为二项分布的图形特点:的二项分布,二项分布定义若一个随机变量的概率分布由 (1

19、) 式给出,则称服从参数为记为二项分布的图形特点:的二项分布,完对于固定及当增加时,概率先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的泊松近似泊松定理在重伯努利实验中,事件在每次试验中发生的概率为若当时,则有注(i):定理的条件意味着当很大时,必定很因此,泊松定理表明,当很大,很小时有为常数),小.下列近似公式：实际计算中,时近似效果变很好.二项分布的泊松近似注(i):定理的条件意味着当很大时,必定很因此,泊松定理表明,当很大,很小时有小.下列近似公式：实际计算中,时近似效果变很好.有事件,此类事件如:地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等,则由泊松定理知,重伯努利试验中(ii)出现概率很

20、小的事件把在每次试验中称作稀稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.完几何分布在独立重复试验中,事件发生的概率为设为直到发生为止所进行的次数,取值是全体自然数,且由伯努利定理知其分布为(1)几何数列定义若一随机变量的概率分布由 (1) 给出,称服从参数为的几何分布.几何分布具有以下列无记忆性：(2)显然的可能则注:所谓无记忆性,失败的信息在后面的计算中被遗忘了.意指几何分布对过去的次几何分布定义若一随机变量的概率分布由 (1) 给出,称服从参数为的几何分布.几何分布具有以下列无记忆性：(2)则注:所谓无记忆性,失败的信息在后面的计算中被遗忘了.意指几何分布对过去的次进一步还可证明：一个取整数值的

21、随机变量,具有 (2) 式表达的无记忆性,则一定服从几何分布,故无记忆性是几何分布的一个特性.完如果超几何分布规定:时,当定义若一随机变量的概率分布为则称服从超几何分布.注:在实际应用,而相对较小时,通常将不放回近似当作放回问很大,当和均较大,且题来处理,从而可用二项分布来近似超几何分布,即超几何分布注:在实际应用,而相对较小时,通常将不放回近似当作放回问很大,当和均较大,且题来处理,从而可用二项分布来近似超几何分布,即则对任意给定的和有时,且当完且泊松分布定义若一个随机变量的概率分布为则称服从参数为的泊松分布,记为或泊松分布的图形特征如右图所示.注:历史上,泊松分布是作为二项分布的近似,18

22、37年由法国数学家泊松引入的.于泊松分布注:历史上,泊松分布是作为二项分布的近似,1837年由法国数学家泊松引入的.于泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一.服从或近似服从泊松分布,泊松分布产生的一般条件完称作稀有事此类事件如:地震、火山爆发、特大洪水、外事故等,则由泊松定理知,重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.实际问题中许多随机现象把在每次试验中出现概率很小的事件件,意泊松分布产生的一般条件在自然界和现实生活中,常遇到在随机时刻出现的某种事件.把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列称为随机事件流. 若随机事件流具有平稳性、无后效性、普通性,则称该事件流为泊松事件流(泊松流).这里,平稳性事件发生次的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.无后效性事件的发生相互独立.在任意时间区间内,在不相重叠的时间段内,泊松分布产生的一般条件无后效性事件的发生相互独立.普通性如果时间区间充分小,事件出现两次或两次以上的概率可