数学第十章课件

1、数 学（第3册）第十章 计 数 原 理两个计数原理第一节排 列第二节组 合第三节二项式定理第四节两个计数原理第 一节第一节 两个计数原理问题1 从北京到上海，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从北京到上海共有多少种不同的走法？问题2 从北京到上海，要从北京先乘火车到郑州，再于第二天从郑州乘汽车到上海.一天中从北京到郑州的火车有3班，从郑州到上海的汽车有2班.那么两天中，从北京到上海共有多少种不同的走法？第一节 两个计数原理这两个问题有什么不同？先看问题1，首先要弄清楚这道题是要完成从北京到上海这件事，只要从北京到了上海，就算完成了这件事.其次，

2、从北京到上海有几类走法？可以分两类走法，一类是乘火车，另一类是乘汽车，其中，乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法.再次，无论乘哪班火车或汽车，都能从北京直接到达上海（见图10-1）.所以一天中从北京到上海的走法共有 3+2=5（种）.第一节 两个计数原理图 10-1第一节 两个计数原理一般地，完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.这种计数原理叫作分类计数原理，也称为加法原理.第一节 两个计数原理学习提示分类计数原理中：（1）完成某件事的n类办法彼此之间是相互

3、独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事.(2)分类的标准可以不同，但必须不重复不遗漏.第一节 两个计数原理【例1】第一节 两个计数原理【例2】图 10-2第一节 两个计数原理课堂练习第一节 两个计数原理对于问题2，这个问题也是要完成从北京到上海这件事，但是这个问题又与问题1不同.问题1中乘火车或汽车中的任何一种都能直接到达上海，而问题2里面，无论单独乘火车或汽车都不能从北京直接到达上海，要从北京到上海必须分两步，第1步先到郑州，第2步从郑州到达上海，只有这两步都完成了，才能从北京到达上海.乘火车从北京到郑州有3种走法，再乘汽车从郑州到上海有2种走法，并且两步依次完成后，才能到达

4、上海(见图10-3)，所以共有32=6种不同的走法.第一节 两个计数原理图 10-3第一节 两个计数原理一般地，完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.该计数原理叫作分步计数原理，也称为乘法原理.第一节 两个计数原理学习提示分步计数原理的n个步骤是相互依存的，只有n个步骤都完成了，这件事情才算完成.第一节 两个计数原理【例3】第一节 两个计数原理【例4】第一节 两个计数原理百位数为1的情形，如图10-4所示.图 10-4第一节 两个计数原理课堂练习第一节 两个计数原理有些较

5、复杂的问题往往不是单纯地用分类计数原理或分步计数原理可以解决的，而要将两个原理结合起来运用.一般是先“分类”，再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理.第一节 两个计数原理【例5】第一节 两个计数原理第一节 两个计数原理【例6】第一节 两个计数原理排 列第 二节一、 排列的定义随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容. 某城市交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?为了得到这个问题的结论，我们先来看

6、问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？一、 排列的定义解决这个问题需分2个步骤：第一步，先确定1名参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种选法；第二步，确定1名参加下午活动的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法.如图10-5所示.图 10-5一、 排列的定义在前面我们已经学习了两个基本原理及基本原理的简单应用：（1）分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+m

7、n种不同的方法.（2）分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2m3mn种不同的方法.一、 排列的定义问题1中要完成的“一件事”是从3人中选出2人，分上午和下午参加活动.因此根据分步乘法计数原理，上面问题共有32=6种不同的方法，如图10-6所示. 图 10-6一、 排列的定义我们把上面问题1中被选取的对象（比如说同学）叫作元素.上述问题的实质是：从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排法.再看问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排

8、成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？这里要完成的“一件事”是从4个数字中选3个排成一个三位数.解决这个问题，需分3个步骤：第一步，确定百位上的数字，在1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；第二步，确定十位上的数字，从余下的3个数字中去取，有3种方法；一、 排列的定义第三步，确定个位的数字，只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.如图10-7所示.图 10-7一、 排列的定义因此根据分步乘法计数原理，共有432=24种不同的排法，如图10-8树形图所示.图 10-8一、 排列的定义可得到的所有三位数为123，124，132，134，142，143； 213，214，231，234

9、，241，243；312，314，321，324，341，342；412，413，421，423，431，432.上述问题2的实质是：从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.mn时的排列叫选排列，mn时的排列叫全排列.一、 排列的定义学习提示排列的定义包括两个方面：元素不能重复；“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键.一、 排列的定义根据排列的定义，当且仅当两个排列的元素

10、完全相同，元素的排列顺序也相同时，两个排列才相同.从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数叫作从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号Pmn表示.问题1中是从3个不同的元素中任取2个元素的排列数，记为P23；我们已经计算得出P23=32=6.问题2中是求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数，记为P34；我们已经计算得出P34=432=24.一、 排列的定义课堂练习一、 排列的定义（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少

11、种？二、 排列数公式计算排列数Pmn可以这样考虑：假定有排好顺序的m个空位，如图10-9所示，从n个不同元素a1，a2，a3，an中任意选择m个元素，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数Pmn.图 10-9填法可分为m个步骤：第一步，第一位可以从n个不同的元素中任意选填一个，有n种方法；第二步，第二位可以从剩余的n-1个不同的元素中任意选填一个，有n-1种方法；第三步，第三位可以从剩余的n-2个不同的元素中任意选填一个，有n-2种方法；第m步，第m位可以从余下的n-m+1个不同的元素中任意选填一个，有n-m+1种方法.二、 排列数公式根据分步乘法计数

12、原理，共有n(n-1)(n-2)(n-m+1)中填法.由此，我们可以得到从n个不同元素中取出m（mn）个元素的排列数Pmn为Pmn= n(n-1) (n-2) (n-m+1) （10-1）排列和排列数有什么区别和联系呢？二、 排列数公式排列和排列数有什么区别和联系呢？那么从n个不同元素中取出m个元素的排列数Pmn（m n）是多少呢？ 想一想二、 排列数公式二、 排列数公式式（10-1）叫作排列数公式，其中n，mN，并且mn.可以观察到公式的特征为：公式右边第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1；最后一个因数是nm1；共有m个因数.当m=n时，式（10-1）可以变为Pnn= n(n-

13、1) (n-2) 321 （10-2）式（10-2）表示n个不同元素全部取出的排列数，等于由1到n的正整数的连乘积，叫作n的阶乘，用n！二、 排列数公式来表示，所以n个不同元素的全排列数公式可以写成Pnn= n！（10-3）一般地，我们可以用以下转换来计算Pmn的另外一种计算公式：因此，排列公式还可以写成 （10-4）为了使式（10-4）在m=n时也成立，我们规定0！=1.二、 排列数公式【例1】二、 排列数公式【例2】二、 排列数公式【例3】二、 排列数公式【例4】二、 排列数公式【例5】某宿舍有8名同学，现从中任意抽出3名同学去分别完成3项不同任务，问有多少种不同的分派任务方法？解 3项不

14、同的任务，可记作任务1、2、3.从8名同学中任意抽出3名同学分别完成3项不同的任务，就是从8名同学中选取3名同学按照任务1、2、3的顺序排成一列，一种排列对应一种分派任务的方法，所以这是一个从8个不同的元素中取出3个不同的元素的排列数问题，共有 P38=876=336种不同的分派任务方法.二、 排列数公式【例6】4名男生，4名女生一起照相，问：（1）8名同学任意排成一排照，有多少种排法？（2）4名女生紧邻且4名男生紧邻排成一排照，有多少种排法？解 （1）8名同学任意排成一排，可以看成8个元素的全排列.因此，共有 P88=8!=40 320种不同的排法.二、 排列数公式（2）4名女生紧邻，可把4

15、名女生捆扎在一起，看成一个元素a;4名男生紧邻，可把4个男生捆扎在一起，看成另一个元素b.该问题可以分3个步骤：第1步，将元素a、b全排列，有P22=2！=2种方法；第2步，解环节捆扎着4个女生，并对4名女生全排列，有P44种方法；第3步，解开捆扎着的4个男生，并对4名男生全排列，有P44种方法.由分步乘法计数原理，共有N=P22P44P44=2143214321=1 152种排法.二、 排列数公式课堂练习组 合第 三 节一 、 组合的定义上节课我们学习了从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有P23=32=6种不同的选法.那么

16、从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法呢？下面我们来研究一下这个问题.通过题意我们知道共有3种选法，分别为甲、乙；甲、丙；乙、丙三种组合，本质上是从已知的3个不同元素中每次取出2个元素，并成一组，和顺序无关，我们称之为组合.一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素，不管顺序怎样都并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.一、 组合的定义组合的定义包含两个方面：组合与元素的顺序无关；两个组合的元素完全相同为相同组合.结合排列的定义，我们可以看出组合与排列的共同点是“从n个不同元素中，任取m个元素”，即“取元素”这点是相同的；区别是：排列要求在取出元素

17、后“按照一定的顺序排成一列”，即与顺序有关；组合要求取出元素后，“不管顺序怎样都并成一组”，即与顺序无关.也就是说，对于取出的m个元素，如果只改变它们之间的相对位置，而不改变元素本身，那么对于排列来说它们是不同的排列，对于组合来说它们却是同一个组合.一、 组合的定义两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?思考与讨论二、 组合数公式从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cmn来表示.例如，上述问题从3个不同的元素中任取2个元素的组合数，记为C23；我们已经知道C23=3.那么从n个不同元素中取出m(mn)个元素的组合数Cmn是多少呢

18、？下面我们来讨论下组合数的公式.二、 组合数公式一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下步骤：第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数Cmn；第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数Pmm.根据分步乘法计数原理，可得Pmn=CmnPmm结合公式（10-4），可得 （10-5）式（10-5）叫作组合数公式，其中n，mN，并且mn.为了保证m=n时，公式（10-5）有意义，我们规定C0n=1.二、 组合数公式【例1】二、 组合数公式【例2】三、 组合数的两个性质由组合数公式，我们计算出C28=28,C68=28.即C28=C68.这不是巧合.事实上，从8个元素中取出

19、6个元素后，恰好剩余2个元素.因此，从8个元素中取出6个元素的一个组合，与从8个元素中取出2个舍弃元素的组合是一一对应的.一般地，有性质1 Cmn=Cn-mn(10-6)在组合数计算中，当mn2时， 将Cmn换成Cn-mn，可以简化计算.三、 组合数的两个性质【例3】三、 组合数的两个性质这个结果可理解为：从含a的10个元素中取8个元素的组合可分两类：第一类，含元素a的组合有C79个；第二类， 不含元素a的给合有C89个.于是，C810=C89+C79.一般地，有性质2Cmn+1=Cmn+Cm-1n.(10-7)三、 组合数的两个性质【例4】三、 组合数的两个性质（2）分两步来完成：第1步，从

20、10件次品中取出1件，有C110种方法；第2步，从90件合格品中取出2件，有C290.由分步乘法计数原理，取出的3件中恰有1件是次品的取法共有(3)利用剔除法：“从100件产品中任意取出3件”的所有组合中剔除“取出的3件都是合格品”的组合.至少有一件是次品的取法有三、 组合数的两个性质【例5】三、 组合数的两个性质课堂练习二项式定理第 四 节第 四 节 二项式定理我们知道(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2a1b1+b2观察上面两个乘法公式的展开式中各项的系数有什么规律呢？下面我们通过计算(a+b)4来研究这个问题.先将(a+b)4看作4个(a+b)的乘积，即(a+b)4=(a+b)(a

21、+b)(a+b)(a+b)第 四 节 二项式定理显然，等号右边的乘积的展开式中的每一项都是从每个括号中任取一个字母的乘积，因此各项均为4次式，展开式中所含字母的形式分别为：a4，a3b，a2b2，ab3，b4那么上面5项在展开式中的系数，即在展开式中出现的次数是多少呢？在上面的4个(a+b)中：每个括号中都不取b的情况有一种，即C04种，则a4的系数为C04；只有一个括号中取b的情况有C14种，则a3b的系数为C14；第 四 节 二项式定理只有两个括号中取b的情况有C24种，则a2b2的系数为C24；只有三个括号中取b的情况有C34种，则ab3的系数为C34；四个括号都取b的情况有C44种，则

22、b4的系数为C44.将各项对应的系数代入展开式中，则得到(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b4一般地，对于任意正整数n，有(a+b)n=C0nanb0+C1nan-1b1+Cmnan-mbm+Cnna0bn（10-8）第 四 节 二项式定理式（10-8）为二项式定理公式.其中a、b为任意实数.等号右边的多项式叫作（a+b)n的二项展开式，共有n+1项.其中a的指数按降幂排列，b的指数按升幂排列.每一项中a、b的指数和为n，每项的系数Cmn（m=0,1,2，n）叫作二项式系数；公式中的Cmnan-mbm为展开式的第m+1项，叫作二项式的通项，用Tm+1表

23、示，则有 Tm+1=Cmnan-mbm （10-9）第 四 节 二项式定理应用二项式定理公式时，a与b能不能交换位置，且（a+b)n的第m+1项和（b+a)n的第m+1项相同吗？ 想一想第 四 节 二项式定理我国宋朝时期著名的数学家和数学教育家杨辉，于1261年在详解九章算法一书中提出的三角数表，称之为“杨辉三角”，即为多项式（a+b)n展开后的各个项的二项式系数的规律，如图10-11所示.图 10-11第 四 节 二项式定理从图10-10中我们可以看出二项式系数有如下规律：（1）图中每行两端都是1，即C0n=Cnn；（2）从第三行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和，即Cmn+Cm1n=Cmn+1；（3）对称性：每一行中与首末两端“等距离”的两个数相等，即Cmn=Cnmn；（4）增减性与最大值：当二项式（a+b）n幂指数的n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大且相等.第 四 节 二项式定理令式（10-8）中的a=b=1时，则C0n+C1n+C2n+Cnn=2n这也就是说，（a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，另外由于C0n=1，因此上式还可以写成C1n+C2n+C3n+Cnn=2n1（10-10）式（10-10）叫作组合总数公式.第 四 节 二项式定