高考数学考点归纳之同角三角函数的基本关系与诱导公式

1、高考数学考点归纳之同角三角函数的基本关系与诱导公式、基础知识1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2C0S2(x= 1 ；(2)商数关系：tan a= 黑. cos Ov，、一、,、-一 TT平万关系对任意角都成立，而商数关系中/kTt+ 2(kCZ).2.诱导公式一一二四五六2k兀+a(kC Z)兀+ a一 a兀一 a兀2一2+ “sin asin asin asin acos acos_ acos acos acos acos_ asin asin atan atan atan atan_ a诱导公式可简记为： 奇变偶不变，符号看象限.“奇” “偶”指的是“k2+ akC Z”中

2、 的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k是奇数，则正、余弦 互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k+ akCZ ”中，将a看 成锐角时，“kj +akC Z ”的终边所在的象限.、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2 a= 1 cos2 a= (1 + COS 矶1 cos a)； cos2 a= 1 sin2 a= (1 + sin o)(1 sin Q;(sin a+ coso)2= 1 2sin ocos a.(2)sin a= tan ocos a 钎2+k兀，kCZ .考点一三角函数的诱导公式典例cos 2+ a s

3、in 2：- a(1)已知 f(4=；,则 fcos 一兀一a tan 兀一a25兀石的值为(2)已知兀2 rnrf2 兀cos 6 a =,则 sin a 解析(1)因为 f(a) =cos 兀a tan 兀一sin a cos a sin acos %cos a所以f25兀3=cos25兀3兀1 = cos3=2.(2)sin=sina = sin 兀一+ a = sin 3工富一兀 工3+ a= sin2 6-a兀cos 6- a23.1答案(1)22 (2)-3题组训练一，11.已知tan a= 2,且氐3 Tt ,Tt, 2,则 cos解析:法一 ：cos a 2=sin &由 aC

4、Tt,3知a为第三象限角,联立tan l 心=1cos a 2sin2 a+ cos2 a= 1 ,解得 5sin，= 1,故 sin k一当法二:jtcos a-2=sin a,由a兀，知a为第三象限角，由tan a= 可知点(2,1)为a终边上一点,由任意角的三角函数公式可得sin a=-当 5.答案：-乎52. sin(- 1 200 )- cos 1 290cos( 1 020 ) - sin1 050)+tan 945 =解析： 原式=sin( 3X360 120)cos(3X 360 + 180 + 30 ) + cos( 3x 360 + 60 )sin(-3X 360+30)

5、+ tan(2X 360 +180 +45 )= sin 120 cos 30 + cos 60sin 30 +tan 453 1 4+4+1=2.答案：23.已知兀J3tan g- a = 3 ,解析:tan 5r+ a = tan 6兀一6 + a = tan兀兀兀一6一 a = tan - a,3T.答案:考点二同角三角函数的基本关系及应用典例sin a+ cos a o右 tan2,则 sin a cos a + cos2k (A.156B.1658 c.5D.(2)已知3 L 兀 兀 frsin acos a= 8, H 4 a2,则cos a sin a 的值为(1 A.21B.巧

6、C-41 D. 一2解析sin a+ cos a osin L cos a + cos2sin a+ cos a2 cos2 asin a cos J sin2 a+ cos2 atan a+ 1tan a 1 + tan2 a+ 1将tan a= 2代入上式，则原式=165 .sin )2 = cos2a 2sin cos a+ sin2 a= 1 2sin ocos a一，3(2)因为 sin acos a= g,所以(COS a一 c、，31 E、r 兀 兀 UL,、r.ctn. c= 12X8= 4，因为 4a2,所以 cos asin a,即 cos a sin a0,1所以 cos

7、 a sin a= 2.答案(1)A (2)D题组训练. （2018甘肃诊断）已知tan4,且角。的终边落在第三象限，则 cos（）=（）34A.5B.D.解析:选D 因为角。的终边落在第三象限,所以 cos（j）0,因为 tan（j）= 4,3所以sin2(j)+ cos2 4= 1,sin(1)_4cos() 3解得 cos(j)= -|.5C.5cos(j0,.已知 tan 0= 3,贝U sin2 0+ sin (Cos 0=解析：sin2 0+ sin Ocos 0=sin2 0+ sin 0cos 0 tan2 0+ tan 0 32+ 3 6sin2 0+ cos2 0tan2

8、0+ 1 32+1 5.解析：由已知可得sin即 sin a= 2cos a,所以从而 sin2 a sin ocos a=sin2a sin ocos a tan2a tan a 222 2sin2a+ cos2 atan2 a+ 1 22+1一5.答案：|3,已知：3cos “ = 5,则 sin2a- sin 0cos a= 3cos a sin aa+ 3cos a= 5(3cos a sin a), , sin a c tan ot 2, cos a2 答案：54.已知一兀a0, sin( -tea) cos a=贝U cos a sin a的值为51斛析：由已知,信sin a+ c

9、os片5,25sin2 a+ 2sin ocos a+ cos2 a=整理得 2sin ocos a= - 242549 因为(cos a- sin o)2=12sin acos a=,25且一ti a0,所以 sin a0,所以 cos a sin o0,故 cos a sin a= 5.答案：75课时跟检测1.已知xC兀 c2, 0一4cos x=5则tan x的值为()A.434.4C.O3解析：选B因为xC02，所以 sin x=一旷1 cos2x= 5, 所以 tan xsin xcos x2.(2019淮南十校联考)已知sin兀a 31 一.兀3,则cos a+ 6的值为(A.C.

10、 32,2D一 3解析：选A- sin a1 cos3=cosa- 3 = - sinjt a一-13.3.计算：sinA. - 1B.C. 0解析：选A原式=sin 2 兀-6 + cos=s% co兀 1 1一2-2=T4.sin 兀一0 + cos 0 2 兀 _ 1右 sin 0+ cos 7t+ 02则tan 0的值为(A.B. 1C.D. 3解析：选D 因为sin 兀e + cos e 2 兀 sin 0+ cos 0sin 0+ cos 兀+ 0sin 0 cos 0 2所以 2(sin 0+ cos ()= sin 0 cos 0,所以 sin 0= 3cos 0,所以 tan

11、 0= 3.155. （2018大庆四地六校调研）若a是三角形的一个内角， 且sin/+ “ + cos 争 则tan a的值为（3B- -4D.不存在解析：选A由sin15得 cos a+ sin1a=524八 2sin acos a= - 250, cos a05所以a为第一或第二象限角.sintan( a+ nt 并cos5兀-2-+ a5兀22 0ccos a=tan a+ -：:sin asin a十cos acos a sin a1sin acos a当a为第一象限角时,cos原式）而*c=5.当a为第二象限角时,cosa= 11 sin2 a= 一原式= :sin ocos a5

12、2.综合知,原式=5T 5一或221.已知sincosa= 2,氐(0,7t则上回，:1 + tan a=(A.中C. 3解析：选A因为 sin a+ cos所以（sina+ cos o)2= 1 +2sinacos a:14所以sin3ocos a= 8 ,又因为(0, nt所以sino0 , cos o0,所以cos a sin a0 ,acos a= 1 一 2 X因为(cos a- sin o)2= 1 -2sin所以 cos a sina=7T所以1 tan a1+ tan asin acos asin a1 + cos acos : sin acos a+ sin a一,7.22已

13、知。是第一象限角，若sin e-2cos 45,则sincos。=解析：sin 0- 2cos 0= 2,5sin 0= 2cos 0-孑，52cos 0 2 2 + cos2 0= 1, 5，5cos20- 5cos 0- 2i”日口37即 cos e- 5 5cos e+ 5=0.又(为第一象限角，cos43,5 sin 0= 4, . sin 0+ cos 0= 7.55答案：753.已知关于x的方程2x2(43+1)x+ m=0的两根分别是sin。和cos仇(0,2 nt,求:.2 sincos而 嬴 +匚嬴1的值；(2)m的值;方程的两根及此时。的值.解：原式=sin2 0cos 0sin 0 cos 0 sin 01 cos 0sin2 0cos2 0sin 0 coscos 0 sin 0sin2 0 cos2 =sin 0+ cos 0sin 0 cos由条件知sinsin2 (cos (sin 0 cos1 一 tan 0(2)由已知，得 sin 0+ cos 0=2, sin Qcos 0=手,因为 1 + 2sin 0cos 0= (sin 0+