高中数学多选题专题复习

1、答案ACD高中数学多选题专题复习专练（一）不等式多选题.下列说法正确的有（）A.若 a6,贝I acfybcf B. 2，贝U a8 c cC.若ab,则22， D.若卧6,则6二解析对于A,若。=0,则痛=右，故A不正确.对于B,若马与 则#0,则二0,则q化简得a6,故B正确. c cc c对于C,若力b,则根据指数函数y=2*在R上单调递增，得22,故C正确.对于D,取a= 1, b=2,则/=1但=4,故D不正确.故选BC.答案BC.给出下而四个推断，其中正确的是（）b aA.若 a, bG （0, +8）,则一+722 a bB若 x, （0, +8）,则 lg x+lg y2y/l

2、g x 1g y4C.若 aR, aWO,则一+a，4 aD.若 x, yR, -vy0, b0, a+b=2,则下列不等式中正确的有（）A.B.C.+Z/22D. -+t2a b解析 由题意得a0,垃0, a+8=2.对于A,由基本不等式可得=上=1,当且仅当 a=b=l时，等号成立，故A正确：对于B,当a= 6=1时，、+$=2人，故B错误；对 于C,因为3十厅22髭，当且仅当a= 6=1时取等号，所以12=4,即才+Z/22,故C正确；对于D, -+3；十22,当且仅当a=6=l时，等号同时成 a b ab立，故D正确.答案ACD4.若 al, 61,且以6 （a+6）=1,则（ ）a+

3、6有最小值2+2也a+8有最大值2 + 2小a6有最大值1+小ab有最小值3 + 2小 ,解析 由ab （a+b） = l,得ab=l+（a+8）W（=| （当且仅当a=b时取等号），即（a+8尸 4（a+6）420,且 a+62,解得 a+62+2，, ；. a+6 有最小值 2+，,故 A 正确： 由 ab（a+6）=l 得，ab-l = a+b，2*/（当且仅当 a=b 时取等号），即 ab 2y/i一 120, 且a6l,解得a823+2*,有最小值3+2也，故D正确.故选AD.答案AD专练（二）平而向量多选题1.已知向量a. b是同一平而”内的两个向量，则下列结论正确的是（）A.若存

4、在实数，使得6=h，则a与6共线B.若a与b共线，则存在实数3使得6= 4 aC.若a与6不共线，则对平面”内的任意向量c,均存在实数入,使得。D.若对平面。内的任意向量,均存在实数儿，使得c=4a+6,则a与8不共线 解析 根据平面向量共线的知识可知A正确.对于B,若&与b共线，可能a=0,当6为非零向量时，不存在实数3使得占=4&，所以B错误.根据平面向量基本定理可知C、D正确.故选ACD.2.设向量a=（，2）, 6=（1, -1）,则下列叙述错误的是（）A.若上一2,则&与b的夹角为钝角B. a的最小值为2C.与b共线的单位向量只有一个为（坐，一平）D.若看=2 b ,贝ijA=2小或

5、一2班解析 对于A,若a与6的夹角为钝角，则a 灰0且a与b不共线，则A 2且AW 2,解得K2且AW 2, R正确：对于B, |=7+44=2,当且仅当衣=0时等号成立，B正确；对于c,与b共线的单位向量为佚，即与6共线的单位向量为（半，一阴或卜挈平）C错误，对于D, a =2b =2陋，也，+4 = 21,解得女=2, D错误.故选CD.答案CD3.已知月5。是边长为2的等边三角形，D,5分别是月C,月6上的两点，且而,AD=2DC.物与维交于点。，则下列说法正确的是（）A.咫.CE=-1QE+OC=QOA-OB-OC =乎.7D.为在反方向上的投影为ab解析 因为占法，月国是等边三角形，

6、所以血月6,所以防全 =0, A错误.以为坐标原点，豆，正的方向分别为x轴，y釉正方向建立平面直角坐标系，如图所示,所以 （0, 0）, 4（1, 0）, 6（1, 0）,。（0,设。(0, y),(0,则5g (1, y),加=(一,，y2), 乂坑?。，所以 y一$,解得y=坐，即。是d的中点，应+应=0，所以B正确.OA+OB-OC =20E-0d = 0E =半,所以C正确.和停平),BC=(1, 73)一 一 ；+2 L所以D正确.故选,荡在反方向上的投影为a=-=BC 26BCD.答案BCD4.尸为凡所在平面内一点，下列结论正确的是()A.若西+丽+瓦-0,则尸为月6。的重心B.若

7、西丽=丽文=百市则尸为月5。的内心A RJC.若茄=a E+=-，则点尸的轨迹一定通过嫉的垂心 ABAC)D,若泊=PB = PC ,则尸为嫉的外心 解析 对于A,若而十丽+讫=0,则行+为=一而 以石，旃为邻边作平行四边形为仍，打 为出的中点，则历+旃=诙，所以元=一而又诙=2而所以无=2丽，所以尸为放 的重心，故A正确：对于B,由历旃=为而 则河旃一旃元0,即丽(再一亦=0,即丽日=0,所以方尸_1_5 同理由后丽=历南 可得力1,所以尸为板的垂心，故B错误；对于C,在边月6, 47上分别取点用尸，使赤=T,则 赤= 赤AB AC1=1,以心 为邻边作平行四边形的,则四边形的为菱形，连接易

8、 则月G为N胡。- 一、的角平分线，由防=八 丹+旦，所以点尸在角平分线HG上，所以点尸的轨迹一定通过 AB AC)欣的内心，故C错误：对于D,若|由=PB =|元1,则点尸到月50的顶点的距离相等, 所以尸为血的外心，故D正确.故选AD.答案AD专练(三)三角函数、解三角形多选题L已知函数f(x)=2 cos jvlsin x+sin 2x,下列结论正确的是()A.函数f(x)的图象关于直线*=二对称4B.函数f(x)在区间 弋,y上单调递增C,函数f(x)的最小正周期是兀D.函数f(x)的值域为-2, 2解析 对于A,函数/(*) =2 cos x sin *+sin 2M因为一号)=-2

9、,壮斗T=。，所以 一勺工汁今)，所以函数/*(*)的图象不关于直线*=?对称，故R错误：对于B,当才 了时，2x6 , cos x0,所以 f(x) =2cos xsin *+sin 2x=2sin 2x, 所以函数f(x)在区间卜亍，上单调递增，故B正确：对于C,因为卜小，4；)= 丸+申)=0,所以后卜4号|，所以函数x)的最小正周期不是叫故C错误；对于D, 当 cos x0 时，/(-y) =2cos -vsin x+sin 2x=2sin 2x,其最大值为 2,最小值为一2,当 cos *0 时，f(.x) = -2cos .vsin x+sin 2x=0,所以函数 f(x)的值域为

10、 2, 2,故 D M 确.故选BD.答案BD2.已知 4 , B, / (0,方)，sin a +sin / = sin B, cos +cos / = cos a,则下列说法正确的是()B. cos( f - a) =解析 由已知，得 sin y = sin P sin。，cos y=cos a -cos B.两式分别平方相加，得(sin sin o)s+ (cos o -cos )=1,2cos( a)二 1, /.COS ( 4), Y(o, 7)A正确，B错误.Asin y = sin )9 sin a0, : B a .，一。，C正确，D错误.故选AC.J答案AC3.已知函数f(x

11、)=，5cos(3*十)一cos 3鼠033)的图象过点/(go),若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f(x)的图象()A.向左平移等个单位长度B.向右平移等个单位长度4 nC.向左平移个单位长度 O4 nD.向右平移个单位长度解析 f(x) =45sin GXcos，”x=2sin(3*-又小了，。)在函数 f(x)的图象上，可n11(x n 3-不=A/(Z)， = 3A+-t 又 0qsBC=不,由余弦定理得 疝=初+的 乙 乙-2ABBDcos ( 整理得 的一35+2=0,又如今 解得劭=2, ：.CD=1, 噌=2, O乙CZ/故A正确上二筹2,故B正确：由余弦定理得cos ns

12、但笑菁萨=平理可得cos N9=誓,则震号=x器=（工2,故C错误：由正弦定理得BD _ AD _ CDsin ZBAD 一一sin ZCAD=詈=2,故D正确.故选ABD.答案ABD专练（四）数列多选题L已知S是等差数列QJ的前a项和，且戈S,则下列说法正确的是（）Si0SK0D.数列5中的最大项为解析 由S,得$ 一 &=会0.由SS,得S$=&6+比0,由WW，得&一& =苗0.对 于A,因为既0,身0,所以水0,故A正确：对于B,因为&=11&0,故B正确；对于C, 因为S=心:生）=6（a+金）0,故C错误：对于D,因为苗0,充0,所以数列2 中的最大项为&,故D错误.故选AB.答案

13、AB2.在等比数列QJ中，公比。为整数，是数列QJ的前a项和.若aa尸32, 士+诙=12, 则下列说法正确的是（）A. g=2B.数列$+2是等比数列C. 5=510D.数列1g &是公差为2的等差数列宝=8,米=4,所电=8,或2 L=J.解析 因为&为等比数列，且a-ai = 32,所以全由=32.又比+由=12,，士=4,2X （1 2）又公比q为整数，所以劣=8,即&=2* =- = 2小JL 乙4=2,q I n * -2.对于A,由上可得q=2,故A正确：对于B,因为s+2=2x,所以三号=产=2则数列$+2是等比数列，故B正确：对于C, S=29-2=510,故C正确：对于D,

14、 1g a。 i-lg&=lg 2,即数列lg aj是公差为lg 2的等差数列，故D错误.故选ABC.答案ABC3.已知数列4满足 =2, （2l1）&+，=（2a+D&（aN）,则（A. 4=3刀一1B. 4=4/?22n- 1千5=-2,C. Sn=riD. Sa2n TOC o 1-5 h z 解析 由题意得=件三,所以4=生.竺=2yZn-1at1故选BD.则数列QJ为等差数列，即$=幺必了2 .=2-：匚2）_=2式 乙乙答案BD4.已知数列aj的前a项和为&GeV）,且S=2（a, - a）（其中a为常数），则下列说法正确 的是（）A.数列QJ 一定是等比数列B.数列QJ可能是等差

15、数列C数列可能是等比数列D.数列2可能是等差数列解析 由题意知，=2（金一a）, &r=2（a”-a）, aCV, n22,两式相减得a=2aq-2a-i, 所以 3js 2,3a-n A 与 2.若a=0,令a=1,则a：=2（全一0）, a,=0,则丛=0,此时是等差数列，不是等比数列，若 60,令a=1,则鼻=2（第一a,=2a,则a,= 24 , G2,此时不是等差数列，所以数 列4不一定是等比数列，可能是等差数列，故A错误，B正确；又=2（4一/=2（一 -1 a）,aN*,得 S=2-i+2a,若 a=0,令 a=1,则 a： = 2（ai - 0）,为=0,则烝=0, 2=0,此

16、时是一个所有项均为0的常数列，所以不可能为等比数列，所以C错 误，D正确.故选BD.答案BD专练（五）立体几何多选题1.已知“，是两个不重合的平而，m, a是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（） A.若 m/ n, ml. ,则 nl.B.若 0 a , a C B =m 则 m/nC.若 0_L a , m_L,则。尸D.若m/n, a,则 a解析 由m/n, gL a ,可得nA. a , A正确：若m/ a , a C B = n,则m与n的位置关系不 确定，B 不正确：由 zz?.L Q , ml. ,得。 , CE确；由 ml. a , m/ a, n/ 8,得 a 工 8, D

17、不正确.故选AC.答案AC2.如图，正方体月6346G的棱长为1,则下列四个命题正确的是()A.直线6。与平面月先所成的角等于;B.点。到平面ABCD的距离为当C.异面直线和园所成的角为?D.三棱柱AA：以一驱Q的外接球的半径为坐即为半，B正确.对于C,因解析 对于A,直线6。与平而的所成的角为/函=字A正确.对于B,连接旦C因为8aL平面ABCD,所以点。到平面月的距离为层。的一半,为BG6,所以异而直线。和所成的角为/月C连接月。，则AM。为等边三角形， 则异而直线。C和 典所成的角为2, C错误.对于D,因为44月6，月以两两垂直，所以三 棱柱44。一舐4的外接球也是正方体 的力一45G

18、q的外接球，所以外接球的半径r= 7零十1=喙,d正确.故选ABD. 乙乙答案ABD3.如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底而的中心，那么这样的棱锥叫 正四棱锥.若一正四棱锥的体积为18,则当该正四棱锥的侧而积最小时，以下结论正确的是 ()A.棱锥的高与底而边长的比为平B.侧棱与底面所成的角为?C.棱锥的高与底而边长的比为也D.侧棱与底面所成的角为?解析 如图，。为正四棱锥S一丽的底面中心，连接S0,则S0是正四棱锥S-皿的高.设点上为a的中点，连接支；SE设该正四棱锥的高为方，底面边长为a,则% 3=9%= 0Q)=-冷a1 nq-令 f=/+当Q0),则 f a令，Q)=0

19、,得 a=3巾.当a(0, 3的时,当)0, f(a)单调递增,所以当a=3线时，f(a)取得最小值，即该正四棱锥的侧面积最小，此时方=3.所以棱锥的高 与底而边长的比为坐，A正确，C错误.连接。，则侧棱与底而所成的角为N$10，由&=3*，得月0=3,而方=3,所以B正确，D错误.故选AB.答案AB4.如图，点M N分别为菱形皿的边比；的中点，将此菱形沿对角线月。折起，使点，不在平而嫉内，如图(2),则在翻折过程中,下列结论正确的有()A. MN/BDB.JA平面板C.异而直线月。与所成的角为定值D.在二面角正片。-5逐渐变小的过程中，三棱锥P-/LK的外接球的半径先变小后变大解析 因为点M

20、 N分别为菱形n用力的边6C的中点，所以.为用力的中位线，所以 MN/BD, A正确,又因为如。平面月劭，E七平而加,所以必V平面的, B正确.对于C,如 图，取47的中点0,连接，0, B0,则HCLR, ACJLBO,因为BOCD0= 0, BO,比t平面5如, 所以47L平面胸，所以月C_L初.因为JC劭，所以47_LMV,即异而直线月。与MV所成的角 为定值J，C正确.对于D,借助极限状态，当平面如。与平而 的重合时，三棱锥D-ABC 乙的外接球的球心是血的外接圆的圆心，球的半径是月反的外接圆的半径，当二面角P- 月。一6逐渐变大时，球心离开平面但是球心在平面月6。的投影仍然是上的外接

21、圆的 圆心，所以二而角P-月。一6不为。时，外接球的半径一定大于4%的外接圆的半径，故二 面角 正月。一5逐渐变小的过程中，三棱锥欣的外接球的半径不可能先变小后变大，D 错误.答案ABC专练（六）概率与统计多选题1.原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势，下面是2008年至2019年国际原油 价格高低的对比图.美元/桶6(w2l()08(6(4(22值吟 2000 2rlMI 2011 2012 id)3 20) 2()J5 2016 2017 2018 泪1。最高点最W点年份下列说法正确的是（）2008年原油价格波动幅度最大2008年至2019年，原油价格平均值不断变小2013年原油

22、价格平均值一定大于2008年原油价格平均值2008年至2019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶 解析 由折线统计图，知2008年原油价格最低小于40美元/桶，最高大于140美元/桶，这 样价格波动超过100美元/桶，而其他年份都没有这么大，所以2008年原油价格波动幅度最 大，A正确：2008年至2019年，原油价格平均值有起伏，B不正确；2008年原油价格最低小 于40美元/桶，最高大于140美元/桶，这样2008年原油价格平均值在90美元/桶左右，而 2013年原油价格最低大于100美元/桶，最高大于110美元/桶，接近120美元/桶，因此2013 年原油价格平均值在110美元/桶

23、左右，所以2013年原油价格平均值一定大于2008年原油价 格平均值，C正确：2013年、2016年原油价格波动幅度均小于20美元/桶，D不正确.故选 AC.答案AC2.某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查 杀的进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是3 O2, *且各轮考核能否通过互不影响，则（）A.该软件通过考核的概率为B.该软件在第三轮考核被淘汰的概率为: O2C.该软件至少能够通过两轮考核的概率为税D.该软件至多进入第三轮考核的概率为葭 o解析 设事件4G=1, 2, 3, 4）表示“该软件能通过第f轮考核，

24、则尸=也产=* 尸（4）=7产（4）J 该软件通过考核的概率为尸（4444）=尸（4）/4）尸尸=x1xy4J00 4x|=1, A正确：该软件在第三轮考核被淘汰的概率为尸（4&4）=尸（4）尸（也）尸（4）=2x|x： o0 0 4=B正确：该软件至少能够通过两轮考核的概率为1 一尸（4）一尸（44）=1 一!一）=:, C 86 6 0 2不正确：该软件至多进入第三轮考核的概率为A4+4也+4&4J =2（4）+尸（44）+尸（444） 15 2 5 3 1s= 7+-X:z+-X-X-7=-f D 正确.故选 ABD.6 6 5 6 5 4 8答案ABD3,已知随机变量X的分布列如表所示

25、，则当a变化时，下列说法正确的是（）X0123p51a16A.弱心随着a的增大而增大B.夙M随着a的增大而减小C.，（刈随着a的增大而减小D.，（加随着a的增大而增大解析 由题意知，爪为=0X,+ lxG-a） + 2a+3X：=l + a,显然不随着a的增大而增 O Z /0大.DX） = （l + a-0），x+ （1+ a-a）+ （1 + a -2）, X a+ （1 + a-3），X/= 一# + a+ 1 = 又:-a0, a0,所以（Kag,所以随着a的增大而增大，故选AD.答案AD4.某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为今且 每位旅客之间互

26、不影响.设在这一时刻9位旅客中恰有k人骑行共享单车的概率为产（x=A）, 则（）A.尸（丫=4）=尸（丫=5）B. P（-y=4）尸（丫=5）C.尸（y=5） P（-y=6）D.尸（才=5）=尸（丫=6）I oot解析 由题意得，产（x=4）=己（目（m，产（*=5） =C；Q）（5，63尸（*=6）（5.因为C=C，所以产（/=4）=产（/=5）故A止确，B错误.又方C1,所以尸（*=5）尸（*=6）,故C正确，D错误.故选AC.答案AC专练（七）解析几何多选题.已知圆。的方程为三+炉=4,圆Q的方程为（x-a尸+/=1,如果这两个圆有且只有一个 公共点，那么实数a的可能取值是（）A. -1

27、B. 1C. 3D. 5解析 由题意得两圆内切或外切，,Qd|=2 + 1或aa =2-1, A a| =3或1a =1, A a = 3,或己=1.故选ABC.答案ABC 一2.设椭圆G5+彳=1的左、右焦点分别为E,三，尸是椭圆。上任意一点，则下列结论正 确的是()A. PF, + PF, =472B.离心率*=乎C. 军其面积的最大值为472D.以线段凡后为直径的圆与直线x+y-2，5=O相切解析 对于A,由椭圆的定义可知|用i + |年;=2a=4，5,所以A正确.对于B,依题意知a= 2yj2 6=2, c=2所以e=,所以B不正确：或者由椭圆的离心率0次1知B不正确.对于C,场长|

28、=2c=4,当产为椭圆短轴的端点时，年片的面积取得最大值，最 大值为32c6=c 6=4,所以C错误.对于D,以线段EE为直径的圆的圆心为(0. 0),也即圆心到直线的距离等于半径,所以以线段内区为直径的圆与直线x+y-22 = 0相切，所以D正确.故选AD.答案ADRR. 一v y3.已知A,厄分别是双曲线二一 =l(a0, 60)的左、右焦点，月为左顶点，P为双曲线右支 a b上一点.若因l=2i质，且阳后的最小内角为30 ,则()A.双曲线的离心率为45B.双曲线的渐近线方程为y=班xZ/=45D.直线x+2y-2 = 0与双曲线有两个公共点解析 因为【即1=2 PFz , PR - P

29、& =2a,所以 年|=4a, PR =2a.又因为2c23,4a2a,所以N；乏=30 ,所以cos乙PRF：=- : 。咒=乎，解得。=小,所以e 乙 4a Lc LKc内T=事,故A正确：=?=上色=3,所以与=2,即丝土地，所以渐近线方程为尸 a aa a故B正确：因为2c=2，5a,所以 本=|相二，所以N年后=90 ,又因为的|= 0+a=(4 + l)&, 根=2a,所以AF,工|相|,所以/座W45 ,故C错误：联立直x+2y2 = 0,线方程与双曲线方程 X： / 化简得7炉一 16y+82才=0, 4 = （-16尸一4X7X （8 了一斤j一2）=32+56/0,所以直线

30、x+2y-2=0与双曲线有两个公共点，故D正确.故选ABD. 答案ABD4.过抛物线/=4*的焦点尸的直线交抛物线于46两点，必为线段的中点，则（）3A.以线段相为直径的圆与直线牙=一5相离B.以线段则为直径的圆与y轴相切C.当崩=2届时，AB =3AB的最小值为4解析 对于A,点”到准线又=一1的距离为41击+ 6尸）=）月万，于是以线段超为直径 乙乙3的圆与直线才=-1相切，进而与直线*=一相离，A正确；对于B,显然线段中点的横 坐标与1不一定相等，因此B错误：对于C, D,设月（x，必），6（如必）,直线月6的方 程为x=sy+l,联立直线与抛物线方程，消去X,得y一4犯一4=0,则%+

31、%=4,必乃= -4, 死忙=（a以 + 1） （勾+1） =zzfn/+s（n+0）+1 = -4m-+4s“+l = l,若设月（4出，4a）, 则45, 一3于是1 阴+2=4/+2+224,四的最小值为4；当左2血寸， 可得乂 =-2%，4a=-2（一口，所以才=:，/15=, 故选 ACD.x a）乙Z答案ACD专练（八）函数与导数多选题L若函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足人才)+2*)=/,则()X I -JTX -X/、 e +en / e -eA. =-d. =pC. f(2) g( 1)D. ( 1) /( -3)解析 因为函数f（x）, g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f（x）+2g（x）=J,、e+e：f (-)=-乙