标准偏差相对标准偏差公式

1、-PAGE . z标准偏差出自 MBA智库百科(wiki.mbalib./)数学表达式： S-标准偏差% n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 i-物料中*成分的各次测量值，1n； 标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式 HYPERLINK wiki.mbalib./wiki/%E5%9D%87%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%B7%AE l _note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3*_note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3 o 1标准偏差的理论计算公式设对真值为*的*量进展一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、

2、ln。令测得值l与该量真值*之差为真差占, 则有1 = li *2 = l2 * n = ln *我们定义标准偏差(也称标准差)为 1 由于真值*都是不可知的, 因此真差占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。 标准偏差的常用估计贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值li与算术平均值之差剩余误差也叫残差Vi来代替真差 , 即 设一组等精度测量值为l1、l2、ln则 通过数学推导可得真差与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有 (

3、2) 式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。 它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，,可见贝塞尔公式与的定义式(1)是完全一致的。 应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差的一个估计值。它不是总体标准偏差。因此, 我们称式(2)为标准偏差的常用估计。为了强调这一点, 我们将的估计值用S 表示。于是, 将式(2)改写为 (2) 在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有 于是, 式(2)可写为 (2) 按式(2)求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。 标准偏差的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明

4、S2是总体方差2的无偏估计。即在大量重复试验中, S2围绕2散布, 它们之间没有系统误差。而式(2)在n有限时,S并不是总体标准偏差的无偏估计, 也就是说S和之间存在系统误差。概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差的无偏估计值为 (3) 令则 即S1和S仅相差一个系数K,K是与样本个数测量次数有关的一个系数, K值见表。 计算K时用到 (n + 1) = n(n)(1) = 1由表1知, 当n30时, 。因此, 当n30时, 式(3)和式(2)之间的差异可略而不计。在n=3050时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n50时的情况, 当n50时,n和(n-1)对计算结果的

5、影响就很小了。 2.5标准偏差的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大, 不宜现场采用, 而极差估计的方法则有运算简便, 计算量小宜于现场采用的特点。 极差用R表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。 假设对*量作次等精度测量测得l1、，且它们服从正态分布, 则 R = lma* lmin概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为 (5) S3称为标准偏差的无偏极差估计, d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数, 其值见表2 由表2知, 当n15时, 因此, 标准偏差更粗略的估计值为 (5) 还可以看出, 当200n1000

6、时，因而又有 (5) 显然, 不需查表利用式(5)和(5)了即可对标准偏差值作出快速估计, 用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进展校核。 应指出,式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低, 但当5n15时,式(5)不仅大大提高了计算速度, 而且还颇为准确。当n10时, 由于舍去数据信息较多, 因此误差较大, 为了提高准确度, 这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差R1、, 再由各组极差求出极差平均值。 极差平均值和总体标准偏差的关系为 需指出, 此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查表2。再则, 分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。

7、标准偏差的平均误差估计平均误差的定义为 误差理论给出 (A) 可以证明与的关系为 (证明从略) 于是(B) 由式(A)和式(B)得 从而有 式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。用该公式估计值, 由于right|Vright|不需平方,故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。标准偏差的应用实例 HYPERLINK wiki.mbalib./wiki/%E5%9D%87%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%B7%AE l _note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3*_note-.E5.91.A8.E5.AF

8、.8C.E8.87.A3 o 1对标称值Ra = 0.160 m 的一块粗糙度样块进展检定, 顺次测得以下15个数据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63m, 试求该样块Rn的平均值和标准偏差并判断其合格否。 解：1)先求平均值2)再求标准偏差S 假设用无偏极差估计公式式(5)计算, 首先将测得的, 15个数据按原顺序分为三组, 每组五个, 见表3。表3 组号l_1l_5R 11.481.651.601.671.520.19 21.461.721.691.771.640.31 31.561.501.641.741.630.24 因每组为5个数据, 按n=5由表2查得故 假设按常用估计即贝塞尔公式式(2) , 则 假设按无偏估计公式即式(3)计算, 因n=15，由表1查得K = 1.018, 则 假设按最大似然估计公式即式(4)计算, 则 = 0.09296( m )假设按平均误差估计