机械制图及AutoCAD绘图第3章--机械制图投影基础课件

1、第3章 机械制图投影基础学习目标 掌握平行投影的基本性质。理解三视图的形成原理和投影规律掌握点、直线和平面的投影规律。3.1 投影法的基本知识3.1.1 投影法的基本知识如图3-1（a）所示，表示灯光照射空间物体的投影情况。点S称为投影中心，SA、SB、SC、SD称为投影线，平面P称为投影面。延长SA、SB、SC、SD与投影面P相交，其交点a、b、c、d称为点A、B、C、D在投影面P上的投影。这种用投影线将物体投影在投影面上得到物体投影的方法，称为投影法。1中心投影法投影线都是从一点发出的投影方法称为中心投影法，如图3-1（a）所示。用这种方法所得到的投影，称为中心投影。图3-1 两种投影法2

2、平行投影法投影线相互平行的投影法称为平行投影法，如图3-1（b）所示。用平行投影法得到的投影，称为平行投影。根据投影方向与投影面是否垂直，平行投影法又分为斜投影法和正投影法。斜投影法投影线与投影面相倾斜的平行投影法，如图3-2（a）所示。正投影法投影线垂直于投影面的平行投影法，如图3-2（b）所示。图3-2 平行投影法3.1.2 正投影的基本性质如图3-3、图3-4和图3-5所示，直线或平面与投影面有平行、垂直和倾斜3种相对位置关系，它们的投影分别具有如下特性。1真实性2积聚性3类似性图3-3 正投影的真实性图3-5 正投影的类似性3.2 三视图的形成及投影规律三视图是多面投影，是将物体向三个

3、相互垂直的投影面作正投影所得到的一组图形。3.2.1 三视图的形成在三投影面体系中可得到物体的3个视图，即正面投影称为主视图、水平面投影称为俯视图、侧面投影称为左视图，如图3-6所示。图3-4 正投影的积聚性面体系中，三投影面分别称为正立投影面（简称正面，用字母V表示），水平投影面（简称水平面，用字母H表示）、侧立投影面（简称侧面，用字母W表示）。两投影面的交线称为投影轴，V面与H面的交线为X投影轴，W面与H面的交线为Y投影轴，V面与W面的交线为Z投影轴。三根投影轴线的交点称为原点，用字母O表示。国家标准规定：V面必须保持不动，H面绕X轴向下旋转90，W面绕Z轴向右旋转90，如图3-6（b）所

4、示，从而将三视图摊在一个平面上，如图3-6（c）所示。去掉投影面边框线，规定投影轴不画，从而得到物体的三视图，如图3-6（d）所示。图3-6 三视图的形成3.2.2 三视图的投影规律1三视图的配置关系以主视图为基准，俯视图放在主视图的正下方，左视图放在主视图的正右方。如图3-6（d）所示。2物体的方位与三视图的对应关系物体都有上下、左右、前后6个方位，物体的三视图及投影规律如图3-7所示。从图3-8可看出，主视图反映物体的上、下、左、右；俯视图反映物体的左、右、前、后；左视图反映物体的前、后、上、下。3投影规律三视图反映了物体3个视图之间的度量关系，其中，主视图和俯视图的长度相等；主视图和左视

5、图的高度相等；俯视图和左视图的宽度相等。这就是三视图的投影规律，画图时要符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。图3-7 物体的三视图及投影规律 图3-8 三视图的位置方位关系 【例3-1】 画出图3-9所示的三视图。解： 物体是由一块右端上面切去了一个角的弯板和一个三棱柱叠加而成。为能清楚地表达物体的形状和结构，尽可能避免使用虚线，选用图3-9所示方向为主视图的投影方向。图3-9 轴测图根据三等关系，画弯板的三视图，如图3-10（a）所示；根据三等关系，画三棱柱的三视图，如图3-10（b）所示；先从左视图入手，画切角的三面投影，注意三等关系，如图3-11（a）所示；检查、整理图线、加深粗实

6、线，完成全图，如图3-11（b）所示。图3-10 三视图的作图方法和步骤图3-11 三视图的作图方法和步骤3.3 点 的 投 影3.3.1 点的投影特点空间点的投影仍为一个点。如图3-12所示，将点A置于三投影面体系中分别向投影面V、H、W作正投影，就是过A点分别向投影面V、H、W作垂线所得到的垂足，如图3-12（a）所示。三投影面体系展开后，点的3个投影在同一平面内，得到了点的三面投影图。应注意的是：投影面展开后，同一Y轴旋转后出现了两个位置。图3-12 点的三面投影为了统一起见，规定空间点用大写字母表示，如A、B、C等；水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用相应的小写字母

7、加撇表示，如a、b、c等；侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a、b、c等。3.3.2 点在两投影面体系中的投影点的投影仍为一点，且空间点在一个投影面上有唯一的投影。但已知点的一个投影，不能唯一确定点的空间位置，至少需要两个投影。如图3-13（a）所示，在由V、H两互相垂直的投影面形成的两面体系中，过空间点A作投影线分别垂直于V、H两面，得出点A的V面投影a 和H面投影a。投影线Aa 和Aa所决定的平面与V面和H面垂直相交，交线分别是aax和aax，因此aaxx=aaxx=90。将V、H两投影面展开后，这两个直角保持不变，合起来等于180，即aaxa成为一条垂直于坐标轴X的直线，这里把a与a

8、的连线称为投影连线，如图3-13（b）所示。投影面的边框对作图没有作用，略去不画，得到空间点A在两投影面体系中的投影，如图3-13（c）所示。图3-13 点在两面投影体系中的投影由上图可知：Aaax a组成一长方形，Aa= a ax，Aa= aax 。点的两面投影图的投影规律： （1）点在两个投影面上的投影连线，垂直于该两投影面的交线，即垂直于投影轴； （2）点的投影到投影轴的距离等于空间点到相应投影面的距离。3.3.3 点在三面投影体系中的投影将点A放在三投影面体系中分别向3个投影面V、H、W作正投影，即过A点分别向V面、H面、W面作垂线所得到的垂足。如图3-14（a）所示，V面不动，H面和

9、W面沿Y轴分开，水平面H和水平投影一起绕X轴往下旋转与正面V重合；侧面W连同侧面投影一起绕Z轴往右旋转与正面V重合得到展开后的投影图，如图3-14（b）所示。原有的Y轴分成YH和YW两轴。在点的投影图中一般不画出投影面的边界线，也不标出投影面的名称。常见的投影图如图3-14（c）所示。由上图可知：Aaax a az aayO组成一长方体，a aOx，a aOz，aaYHOYH，aaYWOYW，点A的三面投影有下列关系：Aa = aaz = axO= a ayAa= aax =ayO= a azAa= aax = azO= a ay图3-14 点的三面投影综合以上分析可得到点的三面投影图的投影规

10、律。 （1）点的投影连线垂直于相应的投影轴。 （2）点的投影到投影轴的距离反映该点到相应投影面的距离。【例3-2】 如图3-15（a）所示，已知点A的V面投影a和H面的投影a，求W面投影a。解：过原点O作45线；过a作垂直于YH轴的直线与45线相交，再过交点作垂直于YW轴的直线；过a作垂直于Z轴的直线与垂直于YW轴的直线相交于a，即为所求，如图3-15（b）所示。图3-15 已知点的两面投影求第三面投影3.3.4 点的三面投影与直角坐标三面投影体系相当于直角坐标体系，以投影面为坐标面，投影轴为坐标轴，O为坐标原点，则空间一点A至三个投影面的距离便是A点的坐标x、y、z，如图3-17所示。因此，

11、点的投影与点的坐标有如下关系：A点到W面的距离 点 的x坐标A点到V面的距离 点 的y坐标A点到H面的距离 点 的z坐标图3-17 点的投影与直角坐标由上述关系可知，A点的正面投影a由x、z坐标确定，水平投影a由x、y坐标确定，侧面投影a则由y、z坐标确定，并且点的任何两个投影都反映了点的三个坐标值。因此，若已知点的坐标x、y、z，便可作出该点的投影图；反之，已知点的两个投影图，也就唯一地确定了该点的坐标值。【例3-4】 已知点B距V、H、W三个投影面的距离分别为10、20、15，求点B的三面投影。图3-18 已知点的空间位置求点的三面投影解：根据空间点位置和坐标关系，可判定B点的坐标为（15

12、，10，20）。由点的投影与坐标的关系，在X轴上向右取x=15，得bx，如图3-18（a）所示；过bx作X轴的垂线，上下分别取z=20、y=10得b和b，如图3-18（b）所示；最后根据点的投影规律，作出侧面投影b，如图3-18（c）所示。3.3.5 特殊位置点的投影空间点相对于投影面除一般位置点外，还有以下三种特殊位置的点。 （1）投影面上的点：如图3-19所示的B点和C点。 （2）投影轴上的点：如图3-19所示的D点。 （3）与原点重合的点：点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。图3-19 特殊位置的点3.3.6 两点的相对位置两点的相对位置是指空间两个点的左右、上下、前后的关系。两点在

13、空间的相对位置由两点的坐标差来确定。1判断两点相对位置空间两点左右相对位置由正面和水平投影判断，由X坐标大小来确定；上下相对位置由正面和侧面投影判断，由Z坐标大小确定；前后相对位置由水平投影和侧面投影判断，由Y坐标大小确定。x（X轴方向坐标差）=xB-xA，确定两点左右相对位置；y（Y轴方向坐标差）=yB-yA，确定两点前后相对位置；z（Z轴方向坐标差）=zB-zA，确定两点上下相对位置。x、y、z为正时，点B分别在基准点A的左方、前方、上方；为负时，点B分别在基准点A的右方、后方、下方。图3-20 两点的相对位置2重影点及可见性判断如果空间两点位于某一投影面的同一条投影线上，则这两点在该投影

14、面上的投影就会重合为一点，称之为对该投影面的重影点。如图3-21所示，A、B两点的x、y坐标分别相等，而z坐标不等，从而它们的水平投影重合为一点，称之为对H面的重影点。图3-21 重影点类似地，也会有V面重影点和W面重影点。重影点需判断点的可见性。对于某面重影点，规定距该面距离较远，即坐标值大者为可见；反之，为不可见。如图3-21所示，因为zAzB，故水平投影上a可见，b不可见。当需要表明可见性时，应对不可见点的投影加上括号。3.3.7 综合实例 【例3-5】 如图3-22（a）所示，已知点A的三面投影，点B在其右方14，上方12，前方8，作其投影图。图3-22 两点相对位置图解：在X轴上自a

15、x往右量14得点bx；过bx作X的垂线，沿OZ方向量Z=12，得点b；沿Y方向量Y=8，得点b，如图3-22（b）所示。根据已知点b、b求得b，如图3-22（c）所示。3.4 直线的投影直线的空间位置由直线上任意两点决定。画直线的投影图时，根据“直线的投影一般仍是直线”的性质，可在直线上任取两点，一般取其两个端点，画出它们的投影，再把它们各组同面投影连接起来，即得到直线投影。3.4.1 直线的投影特点直线的投影仍为直线，两点可以唯一确定一直线，所以在绘制直线的投影图时，只要作出直线上任意两点的投影，然后连接这两点的同面投影，即得直线的三面投影。直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角。其对H面

16、的倾角用表示，对V面的倾角用表示，对W面的倾角用表示，如图3-24所示。图3-24 直线的投影3.4.2 各种位置直线的投影特性在三投影面体系中，按直线与投影面的相对位置分有特殊位置直线（投影面平行线、投影面垂直线）和一般位置直线。 （1）与某个投影面平行，但与另外两投影面倾斜的直线，称为投影面平行线。平行线可分为3种：水平线平行于H面，同时与V面、W面倾斜的直线；正平线平行于V面，同时与H面、W面倾斜的直线；侧平线平行于W面，同时与V面、H面倾斜的直线。各种投影面平行线的投影特性如表3-1所示。水 平 线正 平 线侧 平 线立体图表3-1投影面平行线的投影特性水 平 线正 平 线侧 平 线三

17、视图投影图投影特性（1）水平投影反映实长，即bc=BC（2）正面投影bc平行于X轴，侧面投影bc平行于YW轴（3）水平投影与X轴的夹角等于该直线对V面的倾角，与YH轴的夹角等于该直线对W面的倾角（1）正面投影反映实长，即ab=AB（2）水平投影ab平行于X轴，侧面投影ab平行于Z轴（3）正面投影与X轴的夹角等于该直线对H面的倾角，与Z轴的夹角等于该直线对W面的倾角（1）侧面投影反映实长，即ac=AC（2）水平投影ac平行于YH轴，正面投影ac平行于Z轴（3）侧面投影与YW轴的夹角等于该直线对H面的倾角，与Z轴的夹角等于该直线对V面的倾角续表 （2）与某个投影面垂直的直线，称为投影面垂直线。铅垂

18、线垂直于H面，同时平行于V面、W面的直线；正垂线垂直于V面，同时平行于H面、W面的直线；侧垂线垂直于W面，同时平行于V面、H面的直线。各种投影面垂直线的投影特性如表3-2所示。铅 垂 线正 垂 线侧 垂 线立体图三视图表3-2投影面垂直线的投影特性铅 垂 线正 垂 线侧 垂 线投影图投影特性（1）水平投影积聚为一点，即b(a)（2）另外两个投影都垂直于相应的投影轴，且反映线段实长，即ab垂直于X轴，ab垂直于YW轴，ab=ab=AB（1）正面投影积聚为一点，即a(b) （2）另外两个投影都垂直于相应的投影轴，且反映线段的实长，即ab垂直于X轴，ab垂直于Z轴，Ab=ab=AB（1）侧面投影积聚

19、为一点，即a(b)（2）另外两个投影都垂直于相应的投影轴，且反映线段的实长，即ab垂直于YH轴，ab垂直于Z轴，ab=ab=AB续表 （3）与三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。一般位置直线的投影特性如表3-3所示。直线的位置直 观 图投 影 图一般位置直线投影特性（1）三个投影均仍为直线，且都小于线段的实长（2）三个投影都倾斜于投影轴，且与投影轴的夹角均不反映空间直线与投影面倾角的真实大小，如直观图中的1不等于表3-3一般位置直线的投影特性3.4.3 一般位置直线的实长和对投影面的倾角特殊位置直线的投影反映直线的实长和与投影面的倾角。一般位置直线的投影不能反映直线的真实长度。但是，可根

20、据直线的两面投影求出直线的实长及对各投影面的倾角。下面介绍一种求一般位置直线的实长和倾角的方法直角三角形法。1直角三角形法的作图原理如图3-25所示，在四边形ABba中，过A点作AC/ ab，交Bb于C，得RtABC。此时，AC=ab；BC= BbAa，即B、A两端点与H面的坐标差；斜边AB即为实长；AB与AC的夹角，就是AB对H面的倾角。2直角三角形法的作图方法以ab为一直角边，Z为另一直角边作一直角三角形，则斜边即为AB的实长，斜边与水平投影的夹角为AB与H面的倾角。图3-25 直角三角形法如图3-26所示，可用直角三角形法求直线AB的实长及直线AB与V面的倾角。同样，也可以通过直角三角形

21、法求出直线相对于W面的倾角。直角三角形法的作图要领可总结如下。图3-26 直角三角形法求直线实长与倾角 （1）用直线在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以直线的两端点对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为直线的实长，斜边与投影长之间的夹角即为直线与该投影面的夹角。 （2）直角三角形法的四个要素即实长、投影长、坐标差和直线对投影面的倾角。已知四个要素中的任意两个，便可确定另外两个。如图3-27所示。 （3）各投影面直角三角形的四要素如表3-4所示。图3-27 直角三角形法的四要素直角三角形倾 角投 影坐 标 差实 长H面abZABV面abYABW面abXAB表3-4各

22、投影面直角三角形法的四要素 【例3-8】 如图3-29（a）所示，已知直线AB的两面投影ab和ab，求直线AB的实长及与水平面夹角的真实大小。图3-29 直角三角形法的应用（二）分析：以水平投影ab和Z为两直角边构成直角三角形，其斜边是直线AB的实长，Z的对角反映直线与水平面夹角的真实大小，如图3-29（b）所示。解：过点b作直线bB0垂直于ab；在bB0直线上量取bB0=Z；连接a、B0，则aB0即为直线AB的实长，直角边bB0所对的角即为，如图3-29（c）所示。3.4.4 直线上点的投影直线上点的投影有以下特性。从属性直线上点的投影，必在直线的同面投影上；反之如果点的三面投影都在直线的同

23、面投影上，则该点在直线上。如果点的投影不都在直线的投影上，则该点一定不在直线上。定比性不垂直于投影面的直线上的点，分割直线段之比，在投影后仍保持不变。积聚性垂直于投影面的直线上的点，投影后积聚为一点。如果点的各投影均在直线的各同面投影上，且分割直线各投影长度成相同比例，则该点必在此直线上，如图3-30（a）所示，点C在直线AB上。如图3-30（b）所示，点C不在直线AB上，点D在直线AB上。如图3-30（c）所示，点C在直线AB上。图3-30 直线上的点 【例3-10】 已知直线AB的投影图如图3-32（a）所示，试将直线ab分成23的两段，求分点C的投影。解：如图3-32（b）所示，过a点作

24、一直线aD，并在此直线上以任意长度取5等分，得端点B，在aB上取第2等分点c1，利用平行定比性质求得cc1，从而可求得C的投影c。图3-32 利用定比性确定直线上的点3.4.5 两直线的相对位置空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种情况。其中，平行、相交的两直线为同面直线，而交叉两直线为异面直线。1两直线平行两直线平行的投影特性为两直线的三个同面投影分别相互平行。如图3-33所示，如果AB/CD，则ab/cd，ab/cd，ab/cd。反之，如果两直线的三个同面投影分别互相平行，则两直线在空间上也一定互相平行。图3-33 两直线平行 【例3-12】 如图3-36（a）所示，判断两直线AB、C

25、D是否平行。图3-36 判断直线AB与CD是否平行解：方法一作第三面投影，第三面投影仍平行，则AB与CD平行，如图3-36（b）所示。方法二因为A、C两点在两面投影中同向，且ab：cd=ab：cd，所以AB与CD平行，如图3-36（c）所示。方法三如图3-36（d）所示，连接AD、BC，因为AD与BC相交，所以A、B、C、D 四点共面，AB与CD平行。2两直线相交相交两直线的所有同面投影都相交，其各同面投影的交点符合点的投影规律。如图3-37所示，AB、CD两直线相交于点K，即点K为AB、CD的共有点，AB、CD分别向H、V、W面投影时，其投影ab和cd、ab和cd、ab和cd的交点k、k、k

26、必是交点K的三面投影。图3-37 两直线相交一般情况下，两直线在空间是否相交，根据其两面投影就可以直接判断，如图3-38所示。但如果两直线中有一条直线平行于某一投影面，则要综合其他已知条件加以判断。图3-38 两一般位置直线相交 【例3-13】 如图3-39（a）所示，直线AB与CD在V面和H面上的同面投影相交，试判断此两直线在空间是否相交。解：方法一如图3-39（b）所示，求出侧面投影，虽然ab与cd相交，但交点不符合直线上点的投影规律，故AB与CD两直线在空间不相交。图3-39 两直线不相交方法二从投影图上可知，交点1分线段cd之比不等于交点1分线段cd之比，即c1：1dc1：1d，故AB

27、与CD两直线在空间不相交。3两直线交叉在空间既不平行也不相交的两直线称为交叉直线。交叉两直线的投影不具备平行或相交两直线的投影特性。如图3-40所示，交叉两直线的所有同面投影可能都相交，但它们的交点不符合点的投影规律。此时，两直线投影的交点实际上是两直线上对投影面的重影点。如图3-41所示，交叉两直线可能有一个或两个同面投影平行，但不会有3个同面投影平行。图3-40 交叉两直线的投影（一）【例3-14】 如图3-42所示，判断直线AB与CD的相对位置。解：在ab和cd的相交处，定出AB上的点E的正面投影e；由a任作一条直线，在其上量取a1=ae、12=eb；连接2和b，作1e/2b，与ab交于

28、e，e即为点E的水平投影。因为e不在ab和cd的交点处，所以AB与CD交叉。图3-41 交叉两直线的投影（二） 图3-42 判断AB、CD的相对位置3.5 平面的投影3.5.1 平面的投影特点如图3-44所示为物体的三视图，每个视图都是构成物体所有表面的投影集合。物体的表面在视图中是一个线框、或是一条直线。三视图就是遵循三面投影规律，通过表达物体各表面的形状、彼此的相对位置来反映物体空间形状的。不属于同一直线的三个点可确定一平面。一个平面的空间位置可通过不共线的三个点的两面投影或三面投影来表示。作为物体表面的平面都是以平面图形来表示的。立体上平面的投影是由围成该平面的顶点和边的投影确定的。图3

29、-44 物体表面的投影和物体三视图作图的关系图3-44 物体表面的投影和物体三视图作图的关系（续）3.5.2 平面表示法在投影图中表示平面的方法有几何元素法和迹线表示法。1几何元素法空间一平面可以用确定该平面的几何元素的投影来表示，确定平面的条件如下。 （1）不在同一直线上的三点，如图3-45（a）所示。（2）一直线和直线外一点，如图3-45（b）所示。（3）相交的两条直线，如图3-45（c）所示。（4）平行的两条直线，如图3-45（d）所示。（5）任意的平面图形（即平面的有限部分，如平面上的三角形、圆及其他封闭图形等）。只要作出上面任意一组元素的投影，即可确定平面的投影，如图3-45（e）所

30、示。图3-45 几何元素表示法2迹线表示法如图3-46所示，平面与投影面的交线，称为平面的迹线，也可用迹线来表示平面。用迹线表示的平面称为迹线平面。平面与V面、H面、W面的交线，分别称为正面迹线（V面迹线）、水平迹线（H面迹线）和侧面迹线（W面迹线）。迹线的符号用平面名称的大写字母附加投影面名称的注脚表示，如图3-46中的PV、PH、PW。图3-46 迹线表示法3.5.3 各种位置平面的投影特性图3-47 平面对投影面的相对位置1一般位置平面一般位置平面ABC对各个投影面都处于倾斜的位置，所以各个投影面都不会积聚成直线，也不反映平面的实形以及平面对投影面倾斜角度的真实大小，各个投影都是空间原图

31、形的类似形。在物体的投影中，常用几何元素表示物体上的平面，如图3-48所示。2投影面垂直面平面垂直于一个投影面而对另外两个投影面倾斜，称为投影面垂直面。对不同的投影面，垂直面可分为铅垂面（垂直于H面）、正垂面（垂直于V面）及侧垂面（垂直于W面）三种。图3-48 一般位置平面铅 垂 面正 垂 面侧 垂 面直观图用平面图形表示表3-5投影面垂直面的投影特性铅 垂 面正 垂 面侧 垂 面用迹线表示投影特性PH有积聚性，反映、 角PVOX；PWOYWPV有积聚性，反映、 角PHOX；PWOZPW有积聚性，反映、角PHOYH；PVOZ续表3投影面平行面平行于一个投影面同时垂直于另外两个投影面的平面称为投

32、影面平行面。对不同的投影面，投影面平行面分为水平面（平行于H面）、正平面（平行于V面）及侧平面（平行于W面）三种。现以水平面为例，分析其投影特性。水 平 面正 平 面侧 平 面直观图用平面图形表示表3-6投影面平行面的投影特性水 平 面正 平 面侧 平 面用迹线表示投影特性水平投影反映实形；正面投影和侧面投影有积聚性，且分别平行于OX、OYW正面投影反映实形；水平投影和侧面投影有积聚性，且分别平行于OX、OZ侧面投影反映实形；水平投影和正面投影有积聚性，且分别平行于OYH、OZ续表3.5.4 平面上的直线和点下面介绍判断直线和点在平面上的方法。1平面上的直线由立体几何可知，直线在平面上的几何条

33、件是：直线通过平面上的两点或通过平面上的一点并平行于平面上的另一条直线。所以，若要在平面内取直线，必须先在平面内的已知直线上取点。图3-49 直线在平面上的几何条件一图3-50 直线在平面上的几何条件二 【例3-17】 如图3-52（a）所示，已知线段AB在DEF上，且其正面投影为ab，求水平投影ab。 解：已知AB在DEF上，则AB直线必通过DEF平面上的两点，即AB与DF的交点和AB与EF的交点。所以ab属于def，ab属于def。如图3-52（b）所示，分别过、两点的正面投影1和2作X轴的垂线与df和ef相交于1和2，过1、2两点作直线ab，即为AB的水平投影。图3-52 求平面上直线的

34、水平投影（2）2平面上的点由立体几何可知，点在平面上的几何条件是：点必在平面上的一条直线上。所以，在平面上取点，可先在平面上取通过该点的一条线（辅助线），然后在该线上选取符合要求的点。【例3-19】 已知平面五边形ABCDE的正面投影和其中AB、BC两边的水平投影，且AB/CD，如图3-54（a）所示，试完成该五边形的水平投影。图3-54 求五边形水平投影解：根据题意，五边形两条边AB和BC两投影都已知，所以该五边形平面的空间位置已经确定，E、D两点应在五边形ABCDE上，因而利用点在平面上的原理以及平面上两直线的投影特性作出点的投影即可。如图3-54（b）所示，延长ae交bc于f，根据F点在直线BC上，求得F点的水平投影f；连接af，根据E点在AF上，从而求得E的水平投影e；作cd/ab，并由d得d；依次连接c、d、e