高考数学复习专题18《利用函数的极值求参数值》讲义及答案

1、专题18 利用函数的极值求参数值一、单选题 1若函数的极值为，则实数的值为（ ）ABCD2已知，若是函数的极小值点，则实数的取值范围为（ ）A且BC且D3若，且函数在处有极值，则的最大值等于（ ）.A16B25C36D494若函数不存在极值点，则的取值范围是（ ）A或B或CD5函数在处取得极值，则（ ）A，且为极大值点B，且为极小值点C，且为极大值点D，且为极小值点6已知在处取得极值，则的最小值是（ ）AB2CD7若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ）ABCD8已知函数的极大值为4，若函数在上的极小值不大于，则实数的取值范围是（ ）ABCD9已知函数在处取极大值，则（ ）A2或6B2或6

2、C6D210已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1x2)，则下列结论正确的是（ ）ABCD二、解答题11已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求证：函数在上恰有一个零点；（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.12已知函数，且在处取得极值（）求b的值；（）若当时，恒成立，求c的取值范围；（）对任意的，是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由13设函数，其图像与轴交于，两点，且（I）求的取值范围；（）证明：14已知函数.（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）当时，恒成立，求的取值范围.15已知函数，且（1）若函数在处取得极值，求函数的解析式；（2）在（1）的条件

3、下，令，求的单调区间；16设函数（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；（2）设，若当时，函数的两个极值点，满足，求证：.17已知函数在处取得极值（1）求实数a的值（2）当时，求函数的最小值18设函数（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求；（2）若在处取得极小值，求的取值范围19已知函数.（1）当时，求证：恰有1个零点；（2）若存在极大值，且极大值小于0，求a的取值范围.20已知函数，是的导函数.（1）若，当时，函数在内有唯一的极小值，求的取值范围；（2）若，试研究的零点个数.21设函数，其中.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在上有极大值，求的取值范围.22已知函数.（1）求函数在

4、处的切线方程；（2）若不等式对任意的都成立，求实数m的取值范围.23已知函数.()求曲线在点处的切线方程；()若函数在上有极值，求的取值范围24已知函数.（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在处取得极大值，求实数m的取值范围.25已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）求函数在上的最大值.26已知函数（）.（1）若是函数的极值点，求a的值及函数的极值；（2）讨论函数的单调性.27已知函数（1）若，函数的极大值为，求a的值；（2）若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围.28已知函数在处取得极值为2，（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；（3）若为函数图像

5、上的任意一点，直线与的图象相切于点，求直线的斜率的取值范围.29已知函数在时有极值0，求常数，的值.30已知函数（1）若在处取得极值，求实数的值；（2）若恒成立，求实数的取值范围专题18 利用函数的极值求参数值一、单选题 1若函数的极值为，则实数的值为（ ）ABCD【答案】D【分析】对分和两种情况讨论，分析函数的单调性，结合函数的极值为，可求得实数的值.【详解】由已知可得.当时，对任意的，此时函数在上单调递增，函数无极值；当时，令，可得，此时函数单调递减；令，可得，此时函数单调递增.所以，函数的极小值为，令，则且，.当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.所以，由于，.故选：D.【点睛】本题考

6、查利用函数的极值存在的条件求参数的值，考查计算能力，属于中等题.2已知，若是函数的极小值点，则实数的取值范围为（ ）A且BC且D【答案】B【分析】由既是的极小值点，又是零点，且的最高次项系数为1，因此可设，这样可求得，然后求出，求得的两个零点，一个零点是，另一个零点必是极大值点，由可得的范围【详解】因为，是函数的极小值点，结合三次函数的图象可设，又，令得，即，由得，是极小值点，则是极大值点，所以故选：B【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围3若，且函数在处有极值，则的最大值等于（ ）.A16B25C36

7、D49【答案】C【分析】先对函数求导，根据题中条件，得到，再结合基本不等式，即可得出结果.【详解】因为，所以，又函数在处有极值，所以，即，因为，所以，当且仅当时，等号成立.故选：C.4若函数不存在极值点，则的取值范围是（ ）A或B或CD【答案】D【分析】由已知条件得只有一个实数根或没有实数根，从而 由此能求出的取值范围.【详解】， 在定义域内不存在极值， 只有一个实数根或没有实数根， 故选：D.【点睛】本題主要考查极值的概念，利用导数研究函数的极值，考查发推理论证能力，转化能力，属于中档题.5函数在处取得极值，则（ ）A，且为极大值点B，且为极小值点C，且为极大值点D，且为极小值点【答案】B【

8、分析】先求导，再根据题意得，由此求得，再根据导数研究函数的极值【详解】解：，又在处取得极值，得，由得，即，即，同理，由得，在处附近的左侧为负，右侧为正，函数在处取得极小值，故选：B【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题6已知在处取得极值，则的最小值是（ ）AB2CD【答案】D【分析】求导，根据极值点得到，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】，故，根据题意，即，经检验在处取得极值.，当且仅当，即时，等号成立.故选：.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.7若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】

9、求出，根据在内有极小值可得的图象性质，从而可求的取值范围.【详解】，由题意在区间上有零点，且在该零点的左侧附近，有，右侧附近有.则在区间上有零点，且在该零点的左侧附近，有，右侧附近有.当时，为开口向上的抛物线且，故，无解.当，则，舍.当，为开口向下的抛物线，其对称轴为，故，解得.故选：C.【点睛】本题考查函数的极值，注意根据极值的类型判断导数的函数图象性质，本题属于中档题.8已知函数的极大值为4，若函数在上的极小值不大于，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】对函数求导，令导函数为0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和极小值的定义求解即可.【详解】，当时，无极值；当时，,的递增区

10、间是,递减区间是，在处取得极大值，则有，解得，于是，.当时，在上不存在极小值.当时，在单调递减，在单调递增，所以在处取得极小值，依题意有，即解得.故选：A.【点睛】本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法.9已知函数在处取极大值，则（ ）A2或6B2或6C6D2【答案】C【分析】由题意可知，从而可求得的值，然后再验证在x2处是否取得极大值即可【详解】解：由，得，因为函数在处取极大值，所以，即，解得或，当时，令，得或，令，得，所以在处取得极大值，在处取得极小值，所以不合题意，当时，令，得或，令，得，所以在处取得极大值，在处取得极小值，所以，故选

11、：C【点睛】此题考查由函数的极值点求参数，考查导数的应用，属于基础题10已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1x2)，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】C【分析】求导得，令，转化条件为要使函数、的图象有两个不同交点，由导数的几何意义、函数的图象可得；数形结合可得当时，函数单调递减，且，即可得、，即可得解.【详解】因为，所以若要使函数有两个极值点，则有两个零点，令，则要使函数、的图象有两个不同交点，易知直线恒过点，在同一直角坐标系中作出函数、的图象，如图，当直线与函数的图象相切时，设切点为，则，所以，所以当且仅当时，函数、的图象有两个不同交点，所以若要使函数有两个极值点，则，故A、

12、B错误；当时，由图象可得当时，函数单调递减，且，所以， ，故C正确，D错误.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的切线、极值及函数与方程的综合应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题.二、解答题11已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求证：函数在上恰有一个零点；（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）法一：利用导数的性质进行求证即可；法二：利用函数的性质直接判断即可求证；（2）对求导，得，构造函数，利用导数的性质求出参数的范围即可【详解】（1）法一：易得：，令，令，在上单调递减，且；在上单调递增且有，故命题获证.法二：

13、易得：，恒成立，有唯一零点.（2）易得，令得，在上单调递减且；在上单调递增且有，函数有两个极值点，.【点睛】关键点睛：解题的关键在于求导得到后，构造函数，并通过对通过求导得到奇函数的极值点，进而求出的范围，难度属于中档题12已知函数，且在处取得极值（）求b的值；（）若当时，恒成立，求c的取值范围；（）对任意的，是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由【答案】（）；（）c的取值范围是（）成立，证明见解析.【分析】（）由题意得f（x）在x1处取得极值所以f（1）31+b0所以b2（）利用导数求函数的最大值即g（x）的最大值，则有c22+c，解得：c2或c1（）对任意的x1，x21，2

14、，|f（x1）f（x2）|恒成立，等价于|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min【详解】（）f（x）x3x2+bx+c，f（x）3x2x+bf（x）在x1处取得极值，f（1）31+b0b2经检验，符合题意（）f（x）x3x22x+cf（x）3x2x2（3x+2）（x1），当x（1，）时，f（x）0当x（，1）时，f（x）0当x（1，2）时，f（x）0当x时，f（x）有极大值c又f（2）2+cc，f（1）ccx1，2时，f（x）最大值为f（2）2+cc22+cc1或c2（）对任意的x1，x21，2，|f（x1）f（x2）|恒成立由（）可知，当x1时，f（x）有极小值c又f（1）ccx

15、1，2时，f（x）最小值为c|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min，故结论成立【点睛】本题考查函数的极值及最值的应用，易错点是知极值点导数为0要检验，结论点睛：|f（x1）f（x2）|a恒成立等价为f（x）maxf（x）mina13设函数，其图像与轴交于，两点，且（I）求的取值范围；（）证明：【答案】（I）；（）证明见解析.【分析】（I）先求出，易得当不符合题意；当时，当时，取得极小值，所以，得到的范围，再由，结合零点存在定理，得到答案.（）由题意，两式相减，得到，记，将转化为，再由导数求出其单调性，从而得到.【详解】（I）解：因为，所以.若，则，则函数是单调增函数，的图像与轴至

16、多有一个交点，这与题设矛盾.所以，令，则.当时，是单调减函数；时，是单调增函数；于是当时，取得极小值.因为函数的图像与轴交于两点，所以，即.此时，存在，；存在，又，又在上连续，故.（）证明：因为，两式相减得.记，则，设，因为，所以，当且仅当时，即，而，所以，则，所以是单调减函数，则有，而，所以.【点睛】思路点睛：已知函数的零点情况求参数的取值范围，通常通过研究函数的单调性，进一步研究函数的值域，再解不等式求得参数的范围；证明函数值恒小于零，通过换元法构造新函数，再研究新函数的单调性和值域即可证明，不过这类题涉及知识点多，难度大.14已知函数.（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）当时，恒成

17、立，求的取值范围.【答案】（1）2；（2）.【分析】（1）由解析式得到导函数，结合是函数的一个极值点，即可求的值；（2）由题设分析知，在内有，结合已知，讨论、分别求的范围，然后求并集即可.【详解】解：（1）由函数解析式知：，由题意，得，故.经检验，满足题意.（2）由已知，当时，只需，.当时，在单减，在单增.所以，而，故.所以，解得（舍去）.当时，在单增，在单减，在单增.由于，所以只需，即，所以.当时，在单增，所以，满足题意.当时，在单增，在单减，在单增.由于，所以只需，即，所以.综上，知：.【点睛】思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般应用极值点处的导数为0列方程；函数在闭区间内任意两个函数值

18、的差小于定值转化为最值间的距离小于该定值，（1）当有极值则，即可得有关参数的方程；（2），恒成立转化为，；15已知函数，且（1）若函数在处取得极值，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，令，求的单调区间；【答案】（1）；（2）的单调递减区间为，单调递增区间为.【分析】（1）求出导函数，由，可解得，得函数解析式；（2）求出，然后求出的解，确定的正负，得单调区间【详解】（1）函数的定义域为由已知可得：解得，经检验：符合题意（2）的定义域为由于满足故：在上单增，故：当时，恒成立故单调递减单调递增故：的单调递减区间为，单调递增区间为【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，求单调区间，解题基础是掌握导数

19、的运算法则，求出导函数再根据导数与极值、单调性的关系求解16设函数（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；（2）设，若当时，函数的两个极值点，满足，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先由题中条件，得出函数定义域，由题意，得到在上有两个零点，即在上有两个不等实根，设，得到函数与直线在上有两个不同交点，对函数求导，判定其单调性，得出最值，进而可得出结果；（2）对函数求导，根据题中条件，由韦达定理，得到，求出得到，设，对其求导，用导数的方法求出最值，即可得出结果.【详解】（1）由已知，可知函数的定义域为，在上有两个零点，即方程在上有两个不等实根，设，因此函数与直线在上有两个

20、不同交点，又，由得；由得；则函数在上单调递增，在上单调递减；则；又当时，当时，；为使函数与直线在上有两个不同交点，只需，解得，即实数的取值范围是.（2）证明：因为，由的两根为，故可得，因为，所以，又，所以，解得，设，则，当，是增函数；所以；因此.【点睛】本题主要考查由函数极值点个数求参数，考查由导数的方法证明不等式，属于常考题型.17已知函数在处取得极值（1）求实数a的值（2）当时，求函数的最小值【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）在处取得极值，则可求出的值；（2）求出函数在上的单调区间，从而得出函数的最小值；【详解】解：（1）由，函数在处取得极值，解得，当时，令，得或，令，得，函数在，上

21、单调递增，在上单调递减，极大值，极小值符合题意（2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减；极大值，极小值，且，当时，求函数的最小值为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值与最值，属于中档题.18设函数（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求；（2）若在处取得极小值，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用导数的几何意义可得，即可得答案；（2）利用极值的定义对分、三种情况进行讨论；【详解】解：（1），（2）当时，令，得，、随变化如下表：10极大值在处取得极大值（舍去）当时，令得，（）当，即时，在上单调增，无极值（舍）（）当，即时，随变化如下表：100极大值极小值在处取极大值（舍）（）

22、当，即时，随变化如下表：100极大值极小值在处取极小值即成立当时，令得，100极小值极大值在处取极大值（舍）综上所述：的取值范围为【点睛】本题考查导数的几何意义、极值的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19已知函数.（1）当时，求证：恰有1个零点；（2）若存在极大值，且极大值小于0，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先求导，根据导数和函数最值得关系求出最值，即可判断；（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数极值的关系即可求出a的取值范围.【详解】（1）当时，函数的定义域为,可得，当时，函数单调递增；当时，函数单

23、调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值，所以函数恰有1个零点.（2）由函数，其中，可得，当时，令，解的，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，解得，所以.当时，令，解的或，若时，即时，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；即函数在区间上单调递增，在单调递减，当时，函数取得极大值，极大值为，解得，所以；若时，即时，可得，函数在单调递增，函数无极值；若时，即时，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；即函数在区间上单调递增，在单调递减，当时，函数取得极大值，极大值为恒成立，所以.综上所述，函数存在极大值，且极大值小于

24、0，则a的取值范围为.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的综合应用，其中解答中熟记导数与函数间的关系，着重考查导数的应用，以及分类讨论思想，属于中档试题.20已知函数，是的导函数.（1）若，当时，函数在内有唯一的极小值，求的取值范围；（2）若，试研究的零点个数.【答案】（1）；（2）有3个零点.【分析】（1）先求导得，求出，再由和两种情况讨论求得的取值范围；（2）分析可知，只需研究时零点的个数情况，再分两种情形讨论即可.【详解】解：（1）当时，在是增函数，当时，在是减函数，无极值；当时，使得，从而在单调递减，在单调递增，为唯一的极小值点，所以（2）当时，可知，（i）时，无零点

25、；所以只需研究，（ii）时，可知单调递减，存在唯一的，；（iii）当，是减函数，且，则，在是增函数，是减函数，并且，所以，；，且知在减，在增，在减，又因为，综上所述，由（i）（ii）（iii）可知，有3个零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21设函数，其中.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在上有极大值，求的取值范围.【答案】（）；（）.【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）求导得，令，则，则可证明在上恒成立，则在递减，即在上单调递减，若函数在上有极大值，则只需即可.【详解】（）由题意，求导得.所以，

26、.所以曲线在点处的切线方程为.（），令，则.因为对于，恒成立，所以在上单调递减，即在上单调递减，因为在上有极大值，所以在上存在“左正右负”变号零点.由零点存在性定理：只需，即所以.所以函数在上有极大值时，的取值范围为.【点睛】本题考查曲线的切线方程求解，考查根据函数的极值点求参数的取值范围问题，难度较大.解答时分析清楚函数的单调性是核心.22已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）若不等式对任意的都成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)先利用导数求切线的斜率,再求切线方程;(2) 根据题意可得对任意的，都成立，当时,显然成立;当时,设， 问题即转化为恒成立,只需要

27、即可,因为 (当且仅当时取等号)，即满足即有对恒成立,构造,通过求导判断函数的单调性求最小值,即可求得的取值范围.【详解】（1）设，则，当时，函数在处的切线方程为，即.（2）根据题意可得对任意的，都成立，当时，不等式即为，显然成立；当时，设，则不等式恒成立，即为不等式恒成立， (当且仅当时取等号)，由题意可得，即有对恒成立，令，则，令，即有，令，则，当时，在上单调递增，又，有且仅有一个根，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，取得最小值，为，实数的取值范围【点睛】本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数恒成立问题求解参数范围,考查转化与化归思想,考查计算能力,综合性较强,难度困难.23已知

28、函数.()求曲线在点处的切线方程；()若函数在上有极值，求的取值范围【答案】() ；().【分析】（1）由题意，因为，利用点斜式方程即可求解切线的方程；（）由，分和讨论，即可得出函数单调性，求得函数有极值的条件，求得实数的取值范围【详解】函数的定义域为， （）因为， 所以曲线在点处的切线方程为：，即 （）（）当时，对于任意，都有，所以函数在上为增函数，没有极值，不合题意 （）当时，令，则 所以在上单调递增，即在上单调递增， 所以函数在上有极值，等价于 所以 所以所以的取值范围是24已知函数.（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在处取得极大值，求实数m的取值范围.【答案】（）的增区间为，减区间

29、为；（）.【分析】（）定义域为，求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性求解单调区间即可.（）求出函数的导数，通过讨论当时，当时，判断函数的单调性求解函数的极值即可.【详解】解：（）定义域为，当时，令得，令得.所以的增区间为，减区间为.（），时，在递减，在递增，函数在处取得极小值，不合题意；当时，若，则.此时，函数在处不可能取得极大值.当m1.函数在处取得极大值.综上可知，m的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查已知函数的极值求参数，考查学生的计算能力以及转化能力，属于中档题.25已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（

30、2）答案见解析.【分析】（1）求导.由已知得，解得.再验证，可得答案.（2）由已知得，求导得单调性.分，三种情况分别求函数在上的最大值.【详解】（1）因为，所以函数的定义域为.所以.因为在处取得极值，即，解得.当时，在上，在上，此时是函数的极小值点，所以.（2）因为，所以，.因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减.当时，在上单调递增，所以；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以；当，即时，在上单调递减，所以.综上所述，当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的极值，函数的单调性，以及函数的最值，关键在于分析导函数取

31、得正负的区间，属于较难题.26已知函数（）.（1）若是函数的极值点，求a的值及函数的极值；（2）讨论函数的单调性.【答案】（1）；极大值为，极小值为；（2）答案见解析.【分析】（1）由极值点处导数值为0即可求a的值，进而得到的解析式，利用其导函数研究单调区间，求的极值；（2）利用的导函数，结合分类讨论确定各种情况下的单调性；【详解】（1），由题意知：，解得，此时，有，当和时，是增函数，当时，是减函数，函数在和处分别取得极大值和极小值，的极大值为，的极小值为.（2）由（1）知，当，即时，则：当时，单调递减；当时，单调递增当，即时，则：当和时，单调递增；当时，单调递减当，即时，则当和时，单调递增；

32、当时，单调递减当，即时，在定义域上单调递增综上：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在定义域上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时在区间上单调递减，在区间上单调递增【点睛】本题考查了利用导函数研究函数的性质，由极值点与导数的关系求参数，进而求函数的极值，结合分类讨论的方法说明参数在不同范围内函数的单调区间；27已知函数（1）若，函数的极大值为，求a的值；（2）若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先对函数求导，得到，分别讨论，两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，得出极值，根据题中条件，即可得出结果；（2）令，根据

33、题中条件，将不等式恒成立问题转化为对恒成立，等价于，对恒成立，先讨论时，求得，不满足题意；再讨论时，对其求导，得到，令，再分别讨论，两种情况，根据导数的方法，即可得出结果.【详解】（1）由题意，.（i）当时，令，得；，得，所以在单调递增，单调递减，因此的极大值为，不合题意；（ii）当时，令，得；，得或，所以在单调递增，在，在单调递减.所以的极大值为，得.综上所述；（2）令，当时，则对恒成立等价于，即，对恒成立.（i）当时，此时，不合题意.（ii）当时，令，则，其中，令，则在区间上单调递增，时，所以对，从而在上单调递增，所以对任意，即不等式在上恒成立.时，由，及在区间上单调递增，所以存在唯一的使得，且时，.从而时，所以在区间上单调递减，则时，即，不符合题