傅里叶变换及拉普拉斯变换课件

1、数学工具傅里叶级数及傅里叶变换傅里叶级数傅里叶积分和傅里叶变换傅里叶级数（傅氏级数）周期为T的任一周期函数 ，若满足下列狄里赫莱条件：在一个周期内只有有限个不连续点；在一个周期内只有有限个极大值和极小值；积分 存在， 则 可展开为如下的傅氏级数：周期函数的傅氏级数是由正弦和余弦项组成的三角级数。式中，式中 称为角频率周期函数 的傅氏级数写为复数形式（或指数形式）为：式中，注意，对于非周期函数，不能直接用傅氏级数展开式。傅里叶积分和傅里叶变换（2-7）（2-6）对于非周期函数 ，可将它视为周期T趋于无穷大，角频率 趋于零的周期函数。设两个相邻的谐波频率之差为 ，则令 则非周期函数的傅氏级数可表示

2、为：当 时， ，将式（2-7）代入式（2-6）可得：非周期函数的傅氏积分式中，若令则，F()的傅氏反变换f(t)的傅氏变换数学工具拉普拉氏变换及其应用1、拉氏变换的定义2、常用时间函数的拉氏变换3、拉氏变换的基本性质4、拉氏反变换5、用拉氏变换法求解微分方程 （Laplace）变换是数学中经常采用的技巧，比如，在初等数学中的对数变换，已知对x取对数变换，即令 ，则有为 利用对数变换，我们可以将正数的乘、除运算变为对数的加、减运算。例：对数变换 复变量和复变函数 复变量： 其中： 和 为实变量， 为虚单位，有 复变函数： 自变量s为复变量； 的函数值一般也是复数拉普拉氏变换简称拉氏变换，它是一种

3、函数变换，可以将时域内的实变函数变换为一个以s变量的复变函数。拉氏变换 设 是分段连续的时间函数，当t0时，有 ，若无穷积分 收敛，则可得到一个以s为变量的新函数，记为 ，即： 上式称为Laplace变换的定义式，简记为： 其中： 一、拉氏变换的定义，为复变量 为需要变换的函数，称为原函数； 为变换后所得的函数，称为 的拉普拉氏变换，或称为象函数； Laplace变换为单值变换，即 和 有一一对应的关系。 二、常用时间函数的拉氏变换 (1) 指数函数 (2) 阶跃函数 (3) 斜坡函数 (4) 正弦函数 (5) 脉冲函数 的拉氏变换 。可求得， 的拉氏变换为：例1、求指数函数注意：为使积分收敛

4、，这里假设(a-s)的实部小于零当解：由拉氏变换的定义式有：变量置换法时，有易知：同理可得指数函数在复平面上有一个极点注意：为使积分收敛，这里假设(s+a)的实部大于零，但求出F(s)后，除F(s)的极点外，在整个s平面上均成立 复变函数的解析连续性的拉氏变换例2、 求阶跃函数注意：A=1，称为单位阶跃函数，记为1(t)，且有f(t)A0t的拉氏变换。解：由拉氏变换定义式有：例3、斜坡函数的拉氏变换 f(t)t0A1注意：A=1，称其为单位斜坡函数。斜坡函数的拉氏变换为：求斜坡函数的拉氏变换于是：由可得例4、正弦、余弦函数显然，直接求取并不明智。由尤拉定理有：脉冲函数：f(t)0t脉冲函数的拉

5、氏变换为：注意：A=1，称其为单位脉冲函数，记为表2-3 常用函数的Laplace变换对照表1、性线定理（1）比例性（2）叠加性三、拉氏变换的基本定理2、微分定理 原函数的导数的拉氏变换为：一阶导： 式中，f(0)是f(t)在t=0时刻的初始值。二阶导： n阶导：当即零初始条件下，有：3、积分定理 f(t)先积分再取拉氏变换，由积分定理有： 式中， 在0时刻的初始值。初始条件为零时，有：时域内的平移相当于复域中乘以一个衰减指数f(t)的拉氏变换 时域函数平移：0t 4、延迟定理 （时域平移定理）5. 衰减定理（复域平移定理） 与 相乘 取拉氏变换，由衰减定理有： 例6、 f(t)与衰减指数相乘

6、后时行拉氏变换，相当于复域内向左平移，即将F(s)中的所有s用(s+a)替代假定f(t)和df(t)/dt都可以进行拉氏变换， 存在，并且F(s)的无右半s平面的极点，则有：注意： 若 时，f(t)极限 不存在，也就不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。 时域函数的终值（稳态值），可由象函数求出。6、终值定理假定 f(t) 和 df(t)/dt 可以进行拉氏变换， 存在，则有：用象函数可求出原函数在0+时刻的初始值。7、初值定理8、卷积定理即，两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。例（1）f(t)的拉氏变换为 ，应用终值定理求f(t)的终值。 （2）已知 ，应用初

7、值定理求 的值。解：（1）由终值定理有：（2）由初值定理有： 由微分定理有： 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为 拉氏反变换的定义式为： 式中，C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。四、拉氏反变换 对于连续的时间函数来说，它与它的拉普拉斯变换之间保持一一对应关系。一一对应f(t) F(s)直接按定义式求原函数太过复杂！求取拉普拉斯反变换的基本方法是，将复杂的F(s)展开成很多简单项之和，分别求取简单项的拉普拉斯反变换，再叠加得到f(t)。 我们遇到的F(s)通常是有理分式。若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将它展开成部分分式之和。这些部分分式的拉氏变

8、换通常可以在表中查到。也就是：设下面分三种情况讨论：（1）A(s)=0全部为单根，此时 可以表示：其中： 为n个不互不相等的单根； 为待定系数 ，由留数定理可确定 各项系数 。留数定理：称为极点 所对应的留数，方程两边取拉氏反变换，可得：若 例8、 由留数定理可得：两边取拉氏反变换可得：则可将 展开以下形式：（2）A(s)=0有r阶重根 若：其中，单根所对应的留数求法同上，重根所对应的留数为：重根所对应的留数为：两边取拉氏反变换，查拉氏变换表可得： 例9、 求 的反变换。 解： 由留数定理可得：*例10 最后一项用到频域平移性质。（3）A(s)=0有共轭复数根 若A(s)有共轭复数极点 ，其余为单根，则F(s)可展开为： 利用实部和虚部相等联立求解，可得A1、A2的值，当然也可用待定系数法求A1、A2的值。其中，单根所对应的留数求法同上，A1、A2可按下式求得：拉氏反变换中，会用到如下变换对： 上述变换对中，分母的根均为共轭复数根的形式，其对应的拉氏反变换均为正弦、余弦的形式。例：求 的原函数。 解：易知 ，F(