平面向量中数量积问题探究专题单元测试及答案

1、平面向量中数量积问题探究专题.设a=(1,2) , b=(1,1),且a与a+入b的夹角为锐角，则实数入的取值范围是.已知向量a和向量b满足a=(4 , 3) , | b| = 1, | ab| =21,则向量a, b的夹角为.已知| a| =2成，| b| =3, a和b的夹角为 高，若AB= 5a+ 2b, AC= a 3b, D为BC的中点，一则 |AD=.如图，在等腰直角三角形 ABC中，A捻B最1,点M, N分别是AB, BC的中点，点P是AABC包括边界)内任一点，则AN- MP勺取值范围为.C5.在4ABC中，AB= 3, AO5。为 ABC的外心s则AO- BC勺值为.已知A,

2、 B, C是半径为1的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点(含圆周)，一 一 一 一 一 一则PA-PB+ PB- PC+ PC PA勺取值范围为 .如图，在四边形ABCDfr, |AC=4, BA BC= 12, E为AC的中点.,八12,求cos/ AB4,求 ABC勺面积 SA ABC； 若BE= 2ER求DA-DC勺化.如图，椭圆春+ 5= 1(ab0)的离心率是呼，点P(0，1)在短轴CD上，且PC P4 - 1.(1)求椭圆E的方程;设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A, B两点.是否存在常数 入，使OA-。济 入PA P明定值？若存在，求出 入的值；若不存在，请说

3、明理由.如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边 RG上有10个不同的点PiP2,，Pi。,记 m = AB AP( i =1,2 ,，10),求 m+ m2+ mo 的值.设点P是棱长为1的正方体ABCaA1B1GD的底面ABCD上的一点，求PA-PC勺取值范围.已知正三角形ABCft接于半径为2的圆。，点P是圆。上的一个动点，求PA-PB勺取值范 围.平面向量中数量积问题探究专题单元测试及答案.设a=（1,2） , b=（1,1）,且a与a+入b的夹角为锐角，则实数入的取值范围是. 解析因为a与a+入b的夹角为锐角，所以a （a+入b）0且排除a与a+入b共线同向.a （a

4、+入b）0?3入+50?入 1a/ （a+入b）? 2+入一2 2人=0?入=0.所以实数 人的取值3范围是（一|, 0）U（0, +OO）. 3.已知向量a和向量b满足a=（4 , 3） , | b| = 1, | ab| =回,则向量a, b的夹角为解析:=|君|=5,对|看一对二点两边平方,得2父4即2|川引的3=5,则的 e=第因为。1。，兀,贝J向量为白的夹角为白.J 九 .已知| a| =2啦，| b| =3, a和b的夹角为 彳，若AB= 5a+ 2b, AC= a 3b, D为BC的中点，一则 | AD =.1 y1 c c f c1c cic解析 AD= 2（AB+ AC）

5、=3a-2b, a2 = 8, b2=9, a b = 6,所以 |Aq2=（3a2与2= 9a2+4b2-2 225 田-L 153a - b=-4.故| Aq =5.如图，在等腰直角三角形 ABC中，AC= BO 1,点M, N分别是AB, BC的中点，点P是AABC包括边界）内任一点，则AN- MP勺取值范围为C解析 以C为坐标原点，CA, CB分别为x轴和y轴建立如图所示的直角坐标系,x0，& (T, 2), MP= (x-111、一 八易知 A(1,0), N0, 2), m(2, 2),设 P(x, y),则y。lx + y0 111 一一 11 一一3 32, y 2),所以AN

6、-M曰-x + 2y+4,根据线性规划可得AN-MPE 0 4.,。为 ABC的外心s则AO-BC勺值为解析D,连接 AR DQ AO因为ABWACP共线，所以AB, ACT以作为平面所有向量的一组基底. 因为点O是4ABC的外心, 1 点 D 是边 BC 的中点，所以 ODL BC,从而 AO BO (AD+ DO - BO AD- BO-(AB+ AC) (AC-一 1 二， 1A=2(aC A百)=2(25 9)=8.已知A, B, C是半径为1的圆。上的三点，AB为圆。的直径，P为圆O内一点（含圆周），贝(JPA-PB+ PB- PC+ PC-PA勺取值范围为解析:设加一 L。）, 5

7、（1.0） J 久CQ5 疗，学in 口）.，式小同.则川 PB+F8 - PCPC PAPA PB+ 2PC 网= (1 一心 7)( 1 - jc, y) +2 Ceos 0 1篁$ sin 仃一切(一刈 另=x*_IH-y _ 2jt(cos ? - x) 2_r(sin -7 -_z) =3x* + 3y- 2jtcos 2jrin r _ 1=3 (x cos ?)”+(yw TOC o 1-5 h z 一;sin灯沟-：因为点帛Q、|sm落在以原点为圆心，；为半径的圆上，而点?（心）落在以 J00 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document

8、原点为圆心，1为半径的圆。内，所以点尸5）到点庶cq3 * |sin 口）距离平方的最大值为到 最小 J1 jy*- *- - *4值为。从而H 所+用,用+在* F刃的取值范围为-二，4.如图，在四边形ABCM, |AC=4, BA-B盘12, E为AC的中点.,12,-求cos/ AB生,求 ABG勺面积 SA ABC； 若82ER求DA-DC勺值.SA ABC= BA- BQin / ABC2解析(1)因为 cos/ABC= 12, /ABCE (0 ,冗)，所以 sin / ABC= 13 =-2k2+ 1 一12.所以当 入=1 时，2卜2+ 1 1 -2= 3,此时，OA-。打入P

9、A-PB- 3为定值.当直线AB斜率不存在时，直线 AB即为直线CQ此时OA。打入PA- PB- OC- OA PC- PD= -2-1 = -3,故存在常数 入=1,使得OA。打 入PA-P明定值一3.= 1X13X*2.则 A(-2,0) , C(2,0),（2）以E为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系,入PA-P明定值？若存在,求出入的值；若不存在，请说明理由.0解析(1)由已知，点G(01 b2= 1,-b)D(0 , b) , P0,1),且 PC P4 1.于是!c-=号,a2- b2 = c2La 2 解得一 一 一 、-x2 y2a = 2, b = 2,所以

10、椭圆E方程为4十万=1.设 D(x, y),由BE= 2ER 可得 B( 2x, - 2y),则BA- BG= 12= (2x2,2y) (2 x+2,2y)= 4x2 4+4y2,所以 x2+ y2 = 4,从而 DA DC= ( -2-x, y) (2x, y)=X2+ y24=0.一 一x2 y2.、一 .历 .如图，椭圆E -2+ 2-2= 1(ab0)的离心率是 手，点P(0,1)在短轴CD上，且PC P4-1. a b2(1)求椭圆E的方程;(2)设。为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A, B两点.是否存在常数 入，使OA-。济22(X yn+万=1、y = kx + 14k,

11、X1X22k +r=2k2 1,从而OA-。打 X PA- PB=X1X2+ y+ 3x1X2+ (yi-1) (y2-1)(2)当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y= x +1, A(x% y。，B(X2, v2 ，联立,得(2 2+ 1)x2+ 4 x2=0.判别式 A = 16 2+ 8(2 2+ 1)0,所以+ X2 =一 2 入4 k+- 2 入-12k2 + 1(1 + 人)(1 + )X1X2+ ( Xi + X2) + 1 =入一1r 入一1.如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边 RG上有10个不同的点Pi,P2,，Ro,记 m = AB AP( i =

12、1,2 ,，10),求 m+m2+ m。的值.解析 因为AB与RG垂直，设垂足为 C,所以AP在AB投影为AC, m = AB AP=| AB| x AC= 23x373=18,从而 m+m+ - mo=18xi0= 180.在正三角形ABC中，D是边BC上的点，A五3, BA 1,求AB-AD勺值. 解析:设项的中点为其死的中点为劣根据极化恒等式得：=4|内奸+ |时一而151-r=ao,从而她出二彳.设点P是棱长为1的正方体ABCD-ABGD的底面ABCD上的一点，求PA-PC勺取值范围. c c c解析 设AC的中点为M根据极化恒等式得4PA PG= 4PM AC = 4|PM2 2,因为10|PM2 3，1 一 一|2 2,所以产 PA- PCX 1.已知正三角形ABCft接于半径为2的圆。，点P是圆。上的一个动点，求PA-PB勺取值范 围.解析：取四的中点通连接因为三角形板