导数及其应用平均变化率

1、导数在实际生活中的应用一、基础过关炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第X小时，原油温度（单位:C）为f（x）=；x32 + 8（0WxW5）,那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是. 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时底面边长为.从边长为10 cm X16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 cm3.用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后 把四边翻转90角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为. 要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm,要使其体积最大，则其高为

2、 cm.如图所示，某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为二、能力提升某公司租地建仓库，每月土地占用费七与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的 运费七与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用七和七 分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站千米处.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为。米，高为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a, b的乘积ab成反比，现有制箱材

3、料60平方米，问当a=, b=时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A, B孔的面积忽略不计）.b如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分）， 这两栏的面积之和为18000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度 为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？某商场预计2010年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量召件与月份的 近似关系是,1 ,p(x)=Sx(x+1)(39 2x)(xN*，且 xW12).该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x) = 150+2x(x N*，且

4、xW12),写出今年第x月的需求量-x)件与月份x的函数关系式；该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今 年销售该商品的月利润预计最大是多少元？一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时， 每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h， 火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？三、探究与拓展某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形， 左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为罕立方米，且Z32.假设该容器的建 造费用仅与其表面积有关

5、.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每 平方米建造费用为c(c3)千元.设该容器的建造费用为j千元.CfZZfc写出j关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；求该容器的建造费用最小时的r.答案 TOC o 1-5 h z -1V4V144128 000 cm3l 20点r32 米，16 米 TOC o 1-5 h z 56 3v 25,解 设广告的高和宽分别为x cm, j cm,则每栏的高和宽分别为1-20, ，其中x20,j25.v 25两栏面积之和为2(x-20)七一 = 18 000,由此得v =18 000 x 20+ 25.18 000 广告的面积s = xv =

6、x(气+ 25) =18 000 xx 20+ 25x.,18 000 (x 20) x360 000(x 20)23, = + 25 = TF + 25.令 Sf 0 得 x140,令 S， 0 得 20 x140.函数在(140,+8)上单调递增，在(20,140)上单调递减，.S(x)的最小值为S(140).当 x= 140 时，v= 175.即当x= 140, v= 175时，S取得最小值为24 500,故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.解(1)当 x= 1 时，f(1) =p(1) = 37;当 2WxW12 时，f(x) =p(x) p(x 1)=

7、?x(x + 1)(39 2x) (x 1)x(41 2x) =-3x2 + 40 x(xN*，且 2WxW12).验证 x = 1 符合 f(x) = 3x2 + 40 x, f(x) = 3x2 + 40 x(x N*，且 1 WxW12). (2)该商场预计销售该商品的月利润为 g(x) = ( - 3x2 + 40 x)(185 150 2x)=6x3 - 185x2 + 1 400 x(xN*,1 WxW12)，g (x) = 18x2 - 370 x + 1 400,令g (x) = 0,解得x = 5,=号0(舍去).当 1Wx0;当 5xW12 时，g (x)0,.当 x =

8、5 时，g(x)max = g(5) = 3 125(元).综上5月份的月利润最大是3 125元.11.解 设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.则总费用 f(x) = (kx3 + 200)a = a(kx2 +卖).xx由已知条件，得40 = k203, .k =210, .f(x) = a&x2 + 200).200 x令 f ( ) a(x3 - 20 000)100 x2=0,得 x= 10;20.3 J 当 0 x10V20 时，f当 1020 x100 时，31(x)0.当x=1020时，f(x)有最小值，即速度为10320 km/h时，总费用最少.12.解 设容器的容

9、积为V,由题意知V = nr2l + 4nr3，又V =罕，,4功1- 3兀归 80 4 4 20故 1 =茄-3r=3( 3-r).nr2由于Er，因此0rW2.4 20 所以建造费用 j = 2nrlX 3 + 4nr2c = 2nrX;( - r) X 3 + 4nr2c,3 r2因此 j = 4n(c - 2)r2 + 6, 0rW2.(2)由(1)得 j = 8n(c - 2),-16普r28n(c - 2)20/=: (r3 - ), 03，所以c - 20.当，3-当=0时，r=；、耳/ 3 ! 20*令、：=彻，则m0,c - 2所以 y = (r - m)( r2 + rm + m2).r29 、当0m时