全国普通高等学校招生统一考试文科数学(北京卷)(解析版)

1、绝密启封并使用完毕前普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合 A=( | |3,nEN* ),则数列%是等比数列.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为侧（左）视图A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形 的个数.详解：由三

2、视图可得四棱锥 P-ABCD,在四棱锥 P-ABCD 中，PD = 2,AD = 2.CD = 2,AB = I ,由勾股定理可知：pa =、6,pc = WIpb = 3,bc = #,则在四棱锥中，直角三角形有：PAD.&PCD,APAB共三个,故选C./T-YD点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进彳T棱长、表面积、体积等相关问题的求解.在平面直角坐标系中，43.回4FC0I是圆（ + /= I上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角s以O为始边，OP为终边，若tana cosa sina

3、,故 A选项错误；yB选项：当点P在（W上时，= k声mcL = y, tana =-,* lanci sina cosa,故 B 选项错误；C 选项：当点 P在 1EP上时，= y tanci =工，x-sina cosct tana,故 C 选项正确；D选项：点F在面上且由I在第三象限，Lana -OinacOosacO,故D选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到;sma, cosRtans所对应的三角函数线进行比较.设集合内=f（Xy）|x-y十 y4kayW2一则A.对任意实数a, Q0EnB.对任意实数a, （2,1）任

4、A3C.当且仅当a0时，（2,1） 6 Ad.当且仅当aW：；时，（2,1）任A【答案】D【解析】分析：求出(21)E总及(2/)任A所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解详解：若则日且即若Q)EA,则此命题的逆否命题为：若 ab,则-m；”为假命题的一组 a, b的值依次为 .a b【答案】IT （答案不唯一）【解析】分析：根据原命题与命题的否定的真假关系，可将问题转化为找到使“若ab,则1之?”成立的a b也b,根据不等式的性质，去特值即可 .详解：使“若ab,则1c；”为假命题 a b1则使“若则一、”为真命题即可， a b只需取a= Lb = -1即可满足所以满足条件的一组的值为

5、1,7 （答案不唯一）点睛：此题考查不等式的运算， 解决本题的核心关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换， TOC o 1-5 h z 对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难2R12.若双曲线三三二1（。0的离心率为 二，则a=.3 42【答案】4【解析】分析：根据离心率公式e = -,及双曲线中a工用的关系可联立方程组，进而求解参数的值.a详解：在双曲线中， C =,病+V =&+4,且巳= = g -3.+ 4 5 a - 4 5a 2 j 4a = 16点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点，根据双曲线的离心率求双

6、曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式r c-tre- = = 1 -I,找到37b之间的关系. aa13.若,丫满足工十1三三2k,则2y-的最小值是 .【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当x = Ly = Z时取得最小值.ryx 1fyxi 1详解：不等式可转化为y ;满足条件的工丁在平面直角坐标系中的可行域如下图i/y/ / .ho-I 1令2y-x = z,y = -x-i z,由图象可知，当=?过点P(1时，取最小值，此时工=2乂2-1=3,2yx的最/、值为3.点睛：此题考查线性规划，求线性目

7、标函数z = ax + by(abO)的最值，当b0时，直线过可行域在y轴上截距最大时，值最大，在,轴上截距最小时，值最小；当b七。时，直线过可行域在y轴上截距最大时， 值最小，在y轴上截距最小时，值最大.14.若aABC的面积为 gf+J-b2),且/ c为钝角，则/ b=；的取值范围是 .【答案】(1).(2).r元【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得由二小,可求得再利用srnC = sin(A- B),将问题转化为求函数 f(A)的取值范围问题. TOC o 1-5 h z ,7L,C 为专屯角，匕B=。- 一, 36二 tanA E （0,LW3,十 oo）3 tan

8、A故a点睛：此题考查解三角形的综合应用，余弦定理的公式有三个，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角 A + B + C =兀的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含 上A的表达式的最值问题是解题的第二个关键.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.设a；是等差数列，且%三1R%+a3=5】02.(I )求%；的通项公式；【答案】(I) nln2(II )2【解析】分析：(1)设公差为d,根据题意可列关于 电d的方程组，求解 力,d,代入通项公式可得；(2)由(1)可得% = 2n ,进而可利用等比数列求

9、和公式进行求解详解：(I)设等差数列的公差为d,.1十名3 = 51口2,. 2a1 + 3d - 51n2,又为=ln2, . . d-lnZ, J Jr ；(II )由(I)知二口1口2,力】是以2为首项，2为公比的等比数列, an_ 12 , Ln20c + e +*，+ 1 = e + e + e=2+ 23+ - I 2n ai a2i _川十】n：- ：- - -点睛：等差数列的通项公式及前n项和共涉及五个基本量 力,外旦几S口，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.16.已知函数 Rx) = sin2x + 褥sinx85x.(I )求f(x)的最小正周期；兀3

10、(n)若f(x)在区间-我上的最大值为求m的最小值.【答案】(I)兀(n)3【解析】分析：(1)将f(x)化简整理成f(x) =十中i的形式，利用公式T=可求最小正周期；(2)根囱兀3r据可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数in的取值范围.详解：- C0S2X 币. 乖. 1 I . 7C 1(I ) 氏x)=十一sin2x = sin2x - -cos2x 十一 =sin(2x -十一， TOC o 1-5 h z 222262所以f(Xj的最小正周期为T=TT.上兀 1(n)由(I)知.62兀兀5兀7L因为所以 2x-E -,2m - -. 36667E3JE7E要使得在-an上的最大

11、值为-,即:sinpx-)在卜-jn上的最大值为1. 326371 7C瓦所以2m-二之；，即m之 6 23所以1M的最小值为-.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负17.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第F第三类第四类第五类7电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值（I）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概

12、率；（n）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（出）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少 0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案】（I）（n）-（出）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率 .【解析】分析：（1）分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（2）利用古典概型公式，计算没有获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（3）根据每部电影获得好评的部

13、数做出合理建议 . 详解：（I）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200 X0.25=50 ,50故所求概率为2000（n）设“随机选取 1部电影，这部电影没有获得好评”为事件 B.没有获得好评的电影共有 140 X0.6+50 M.8+300 X0.85+200 X0.75+800 0.8+510X0.9=1628 部.由古典概型概率公式得2000（出）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.点睛：本题主要考查概率与统计知识，属于易得分题，应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可

14、能事件，设出事件袅；第二步，分别求出基本事件的总数门与所求事件中所m包含的基本事件个数 m ；第三步，利用公式 式A）=-求出事件A的概率. n18.（本小题14分）如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为矩形，平面 PAD，平面 ABCD , PAXPD, PA=PD , E, F分 别为AD, PB的中点.(I )求证：PEXBC;(n)求证：平面 PAB，平面PCD;(出)求证：EF /平面PCD.【答案】(I )见解析(n)见解析(m)见解析PABL平【解析】分析：(1)欲证PE J_BC,只需证明PE _LAD即可；(2)先证PD_L平面PAB,再证平面 面PCD； (3)取

15、PC中点G,连接FGQG,证明EF/QG ,则EF，平面PCD.详解：PA = PD,且 E为 AD 的中点，PE_LAD.底面 ABCD 为矩形，BCIIAD, PE B?.(II)二.底面 ABCD为矩形，ABLAD.平面 PAD _L 平面 ABCD ,AB L 平面PAD.三.又,PD 1平面PAB, .平面PAH 1平面PCD.(出)如图，取PC中点G,连接FG,GD.F,G分别为 PH和PC 的中点，FGIIEC,且 FG = ；BC.四边形AB8为矩形，且E为AD的中点，ED II BC,DE2.EDIIFG,且ED = FG,，四边形EFGD为平行四边形，II .又EF仁平面P

16、CD, GD仁平面PCD,EF II 平面PCD.点睛：证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：(1)线面平行的性质定理；(2)三角形中位线法；(3)平行四边形法.证明线线垂直的常用方 法：(1)等腰三角形三线合一；(2)勾股定理逆定理；(3)线面垂直的性质定理；(4)菱形对角线 互相垂直.19.设函数 f(x) = ax2-(3a+ l)x + 3a + 2e(I )若曲线y =f(x)在点处的切线斜率为 0,求a；(n)若f(x)在x =】处取得极小值，求 a的取值范围.【答案】(I)(II) TOC o 1-5 h z 【解析】分析：(1)

17、求导f&),构建等量关系k = f=。，解方程可得参数的值；(2)对分a“及油1两种 情况进行分类讨论，通过研究仪)的变化情况可得(刈取得极值的可能，进而可求参数的取值范围详解：解：(I )因为 = ax1 - (3a + 1)k + 3a + 2ex ,所以.f(2) = (2a - )e,由题设知。=0,即= 解得d(n)方法一：由(i)得.1 ,若 a1,则当 xELQ时，f(x)0；当xE(L十田)时，Rxjao.所以f(xj在x=1处取得极小值.若;1.W 1 ,则当 xEQD时，ax - I x - I 0 时，令 f(x) = fl 得X = 1.a -当 乂三乂2,即 a=1

18、时，f(x) =(X - 0 ,，f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意.当均当，即0a1时，f(K)f(x)随x的变化情况如下表:x匕吗1)11() ab1O a瓜+0-0+/极大值极小值/ E(x)在x=1处取得极大值，不合题意.当力l时，匕与3随x的变化情况如下表:x1 的) a1a1 (-1) M8+阈氐+0-0+网/极大值极小值/fx)在x=l处取得极小值，即 a1满足题意.(3)当 a b 0)的离心率为一，焦距为，工斜率为 a3 b23点 A, B.(I )求椭圆M的方程；(n)若k=i,求|AB的最大值；(出)设Pt-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为 C,直线PB与椭

19、圆M的另一个交点为 D.若C,D和点7 I共线，求k.2【答案】(I)(n)(出)【解析】分析：(1)根据题干可得的方程组，求解了,产的值，代入可得椭圆方程；(2)设直线方程为y =x+m,联立，消，整理得4X?十6mx +3mL 3 = 0,利用根与系数关系及弦长公式表示出|AB ,求其最值；(3)联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率.详解：(I)由题意得2c = 2、氏所以c =板，又5 =匚 所以a =收 所以# =广1=1, a 32所以椭圆M的标准方程为/ = 1(II)设直线AB的方程为y = k十m ,y =苫-卜m畜+3 _ 消去y可得4x1卜Gmx卜3m- -3 = 0,贝Ua = 36i?-4 ：4(3n