大学物理：第一章质点运动学（2011）

1、第一章 质点运动学教学基本要求 一 掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点运动及运动变化的物理量 . 理解这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性 . 二 理解运动方程的物理意义及作用 . 掌握运用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、运动方程的方法 . 三 能计算质点在平面内运动时的速度和加速度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度 . 四 理解伽利略速度变换式, 并会用它求简单的质点相对运动问题 .附录：矢量知识简介返回目录下一页上一页矢量相加（减）平行四边形法则三角形法则返回目录下一页上一页返回目录下一页上一页返回目

2、录下一页上一页第一篇 经典力学力学是一门研究物体的机械运动及其规律的科学力学经典力学：弱引力场中宏观物体的低速运动相对论力学：高速运动领域的物体的行为量子力学：微观领域粒子的行为经典力学是许多技术领域（土木建筑、交通、机械、制造、航空航天）的基础理论经典力学质点运动学：研究物体在空间的位置随时间变化规律或运动的轨道问题，而不涉及物体发生机械运动的变化原因动力学：以牛顿运动定律为基础，研究物体运动状态发生改变所遵循规律的学科。机械运动是一个物体间或物体各部分间相对位置的变化静力学1-1 参考系和坐标系 时间直角坐标系球坐标系坐标系(moment)位置矢量 运动方程 位移1-2-1位置矢量*位矢

3、的值为 确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位置矢量, 简称位矢 .式中 、 、 分别为x、y、z 方向的单位矢量.1-2 位置矢量 位移 速度位矢 的方向余弦PP2 运动方程分量式从中消去参数 得轨迹方程 1-2-1位置矢量例：由运动方程求轨迹方程已知运动方程解：1-2-1位置矢量1-2-2 位移BABA 经过时间间隔 后, 质点位置矢量发生变化, 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的位移矢量 . 位移矢量也简称位移. 1-2-2 位移 位移的大小为BA所以位移 若质点在三维空间中运动，则在直角坐标系 中其位移为4 路程（ ）: 质点实际运动轨迹的长度.

4、又1-2-2 位移位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关，只决定于质点的始末位置. B）反映了运动的矢量性和叠加性.注意位矢长度的变化1-2-2 位移位移与路程 （B） 一般情况, 位移大小不等于路程. （D）位移是矢量, 路程是标量.（C）什么情况 ？不改变方向的直线运动; 当 时 .讨论 （A）P1P2 两点间的路程 是不唯一的, 可以是 或 而位移 是唯一的.1-2-2 位移1-2-2 位移1-2-3 速率和速度 1 平均速度 在 时间内, 质点从点A 运动到点 B, 其位移为时间内, 质点的平均速度平均速度 与 同方向.平均速度大小或BA1-2-3 速率和速度

5、 2 瞬时速度 当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向. 当 时平均速度的极限值叫做瞬时速度, 简称速度当 时,1-2-3 速率和速度 瞬时速率：速度 的大小称为速率 若质点在三维空间中运动,其速度为1-2-3 速率和速度 平均速率BA瞬时速率讨论 一运动质点在某瞬时位于矢径 的端点处，其速度大小为（A）（B）（B）（B）（C）（D）1-2-3 速率和速度 例2 如图所示, A、B 两物体由一长为 的刚性细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体A以恒定的速率 向左滑行, 当 时, 物体B的速率为多少？解 建立坐标系如图,OAB为一直角三角形，刚性细杆的

6、长度 l 为一常量ABl物体A 的速度物体B 的速度1-2-3 速率和速度 ABl两边求导得即沿 轴正向, 当 时1-2-3 速率和速度 （1） 方向是沿质点运动轨迹的切线，并指向前进方向（3）描述位置变化快慢（4）单位：m/s1-2-3 速率和速度 1-2-3 速率和速度 1） 平均加速度B与 同方向 .（反映速度变化快慢的物理量） 单位时间内的速度增量即平均加速度2）（瞬时）加速度1-3 加速度A1-3-1加速度加速度大小加速度加速度大小质点作三维运动时加速度为1-3-1加速度 吗？ 讨论在Ob上截取有速度方向变化速度大小变化1-3-1加速度O问 吗？ 讨论因为所以而例 匀速率圆周运动所以

7、1-3-1加速度（1）物理意义：加速度描述速度变化快慢（2）单位：米/秒2直线运动曲线运动1-3-1加速度质点作曲线运动，判断下列说法的正误。质点的运动学方程为x=6+3t-5t3(SI),判断正误:质点作匀加速直线运动，加速度为正。质点作匀加速直线运动，加速度为负。质点作变加速直线运动，加速度为正。质点作变加速直线运动，加速度为负。思考题1-3-1加速度已知质点在xy平面内运动，其运动方程是,式中R、求(1)质点的轨迹方程； (2)质点在任意时刻的位矢、速度和加速度； (3)质点在 到时间内的位移。均为正常数解：(1) 由运动方程例题消去时间参量t，可得质点轨迹方程(2) 任意时刻t质点位矢

8、为质点的速度矢量为 速度大小为常量，即质点作匀速圆周运动。 质点加速度为沿固定圆周匀速运动的物体（质点）的加速度始终指向圆心 向心加速度和 和 时刻，对应的位矢分别为从P1到P2位移 为：位移的大小为，位移矢量与x轴正向的夹角为。（3）1-3-2切向加速度与法向加速度 质点运动时的速度方向是沿着运动轨道的切线并指向前进的方向。 为沿速度方向的单位矢量。是一个大小不变（恒为1）但方向不断变化的矢量。AB根据加速度的定义，有：代表着质点运动速度大小的变化。速度可表示为：1-3-2切向加速度与法向加速度 在t很小并趋于零时，有：t+t时刻，速度单位矢量为t时刻，速度单位矢量为：增量为：在t趋于零时，

9、 的方向 跟垂直并指向圆心，即指向圆周轨道的法向 的方向。 可改写为：oP1-3-2切向加速度与法向加速度oP 设轨道在P点的曲率半径为， 可以将加速度分解为切向和法向两个分量。切向加速度法向加速度1-3-2切向加速度与法向加速度求t=1s时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。解：例1、已知质点在水平面内运动，运动方程为：t=1s1-3-2切向加速度与法向加速度(2)与切向加速度垂直anagyxov0解：与速度同向(1)例3、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时t=0.试求：(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程；(2)子弹在t时

10、刻的速度，切向加速度和法向加速度。1-3-2切向加速度与法向加速度例4：质点作半径为R的圆周运动，其速率满足 k为常数，求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。 解：切向加速度法向加速度加速度1-3-2切向加速度与法向加速度ROx1-3-3圆周运动中的角量和线量 圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。 +00+t+tBtA 图示 一质点作圆周运动：在t 时间内，质点的角位移为，则A、B间的有向线段与弧将满足下面的关系两边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：1-3-3圆周运动中的角量和线量或质点角速度对时间的导数定义为角加速度（angular

11、 acceleration），即单位：弧度/秒2 (rads2)。质点作圆周运动时切向加速度和法向加速度分别为 1-3-3圆周运动中的角量和线量s质点作圆周运动：1-3-2切向加速度与法向加速度切向加速度减小增大一般曲线运动（自然坐标）特例： 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动其中 曲率半径 . 1 匀速率圆周运动：速率 和角速度 都为常量 .2 匀变速率圆周运动如 时,常量与直线运动一样 对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀

12、速率运动，其总加速度必为零； （E）若物体的加速度 为恒矢量，它一定作匀变速率运动 .讨 论1. 质点作匀变速圆周运动，则切向加速度的大小和方向都在变化法向加速度的大小和方向都在变化法向加速度的方向变化，大小不变切向加速度的方向不变，大小变化 质点作匀变速圆周运动，速度的大小方向都在变化；切向加速度和法向加速度的大小方向都在变化。Ro思考题1-3-3圆周运动中的角量和线量2.判断下列说法的正、误：a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。b. 平均速率等于平均速度的大小。d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。 例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方向改变。c. 不论加速度如何，平

13、均速率的表达式总可以写成,其中 v1是初速度， v2 是末速度。依据 平均速率 平均速度的大小思考题1-3-3圆周运动中的角量和线量Ro 在t 时刻，质点运动到位置 s 处。ss解：先作图如右，t = 0 时，质点位于s = 0 的p点处。P （1） t 时刻质点的总加速度的大小； （2） t 为何值时，总加速度的大小为b ； （3）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行了多少圈。例题 一质点沿半径为R的圆周按规律 运动，v0、b都是正的常量。求：1-3-3圆周运动中的角量和线量 （2）令a = b ，即Ros （1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:1-3-3圆周运动中的角量和线量

14、（3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经 的弧长为 它与圆周长之比即为圈数：Ros得1-3-3圆周运动中的角量和线量1-4-1 时间的测量及时标1-4-2长度的测量及尺度 自看1-3-3圆周运动中的角量和线量求导求导积分积分1-5 质点运动学两类基本问题 一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度； 二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程 .1-5质点运动学中的两类基本问题一维运动问题:一维运动问题:求导求导积分积分例 在离水平高度为 的岸边，一人以匀速率 拉船，思考：提示：解返回目录下一页上一页求船离岸边 远处的速度。

15、三角形任意两边之差1-5-1第一类基本问题举例忽略船高和滑轮高度绳拉船例题之解解:负号表示沿x轴负向返回目录下一页上一页1-5-1第一类基本问题举例求斜抛运动的轨迹方程和最大射程已知 时1-5-2 第二类基本问题举例即：质点在两个互相垂直的方向的运动互相独立；在x和y方向分别作匀速运动和垂直上抛运动。 1-5-2 第二类基本问题举例消去方程中的参数 得轨迹最大射程实际路径真空中路径 由于空气阻力，实际射程小于最大射程.求最大射程1-5-2 第二类基本问题举例考虑空气阻力对物体垂直上抛过程的影响。设物体垂直上抛的初速度为，空气阻力产生的加速度为，其中为常数，负号表示阻力产生的加速度与物体的运动方

16、向相反。求物体上升过程中的速度。解: 在垂直上抛过程中，物体始终受到重力和空气阻力的作用，速度随时间变化的方程为抛体的运动方程为 【例1-5】例题(已知加速度求位移)返回目录下一页上一页解法二问题:解法2返回目录下一页上一页一 时间与空间 在两个相对作直线运动的参考系中， 时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的， 与参考系无关， 时间和长度的的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础 .AB 小车以较低的速度 沿水平轨道先后通过点 A 和点 B . 地面上人测得车通过 A、B 两点间的距离和时间与车上的人测量结果相同 .1-6伽利略变换 相对运动物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系二 相对运动明确

17、研究的问题: 事件：某一时刻发生在某一空间位置的事例。 例如：车的出站、进站，火箭的发射，导弹的 爆炸，部队的出发，总攻的发起，城市的攻占 在坐标系中，一个事件对应于一组时空坐标.两组时空坐标之间的关系称为坐标变换在两个惯性系（实验室参考系S与运动参考系S）中考察同一物理事件1. 伽利略相对性原理两个参考系（约定系统）重合时，计时开始。 如图，S，S相应坐标轴保持平行，X，X 轴重合， S 相对 S 以速度 u 沿轴作匀速直线运动。伽利略相对性原理事件： t 时刻，物体到达 P 点伽利略变换伽利略相对性原理变换分量式正变换逆变换伽利略相对性原理速度变换 称为绝对速度，是质点相对静系的速度； 称

18、为牵连速度，是动系相对静系的运动速度； 称为相对速度，是质点相对动系的速度。速度、加速度变换正逆惯性系在两个惯性系中同一质点在两个不同惯性系中的加速度总是相同的。伽利略相对性原理在一条东流水速为3.6km/h的河中，轮渡相对于水面以2km/h的时速向正北方向航行，求(1) 轮渡相对岸边的速度；(2) 若轮渡相对水面的速率不变，轮渡要相对岸向正北航行，求轮渡相对水的速度方向及相对岸的速度。（a） （b）图113 轮船在流水中航行解：分别以河岸和流水建立两个参照系和解：分别以河岸和流水建立两个参照系S和S系相对于 的速度为以正东为 轴的正向，和轴的正方向，以正北为例题又xy(2) 根据速度变化关系，若要轮渡相对河岸地面参考系沿正北航行，即若要求轮渡相对水面的速度方向必须适当北偏西，且所以轮渡航向北偏西角度为此时轮渡相对河岸沿正北方向航行的速度大小为 例 如图示，一实验者 A 在以 10 m/s 的速率沿水平轨道前进的平板车上控制一台射弹器, 此射弹器以与车前进方向呈 度角斜向上射出一弹丸 . 此时站在地面上的另一实验者 B 看到弹丸铅直向上运动, 求弹丸上升的高度 .A B速度变换解 地面参考系为 S 系 平板车参考系为 系弹丸上升