材料力学课件：第2章 杆件的内力与内力图

1、2.1 轴向拉压杆的内力 轴力图2.2 扭转杆的内力 扭矩图2.3 平面弯曲梁的内力 剪力图和弯矩图2.4 组合变形杆件的内力 内力图2.5 平面刚架的内力 内力图2.1 轴向拉压杆的内力 轴力图2.1.1 轴向拉压杆2.1.2 轴向拉压杆的变形特点2.1.3 轴向拉压杆的内力2.1.4 轴向拉压杆的轴力图返 回一、实例2.1.1 轴向拉压杆* 桁架返 回Altec is a leading equipment and service provider for the electric utility, telecommunications and contractor markets. Th

2、e company provides products and services in over 100 countries throughout the world. 返 回2.1.2 轴向拉压杆的变形特点截面法AFPFPAA截开：留下、代替：平衡：轴力返 回2.1.3 轴向拉压杆的内力* 符号规定FPFPFPx2.1.4 轴向拉压杆的轴力图返 回解： OA段* 画出杆的轴力图ABCDOABCDDCBDDC AB段BC段 CD段ABCDO2P3P5PPx 跳跃性ABCDO作图示杆的轴力图* 规律： 封闭性例2-2 画干的内力图AB段BC段例2-3 求各杆内力+5kN3kN5kN8kN3kN+

3、返 回作图示阶梯杆的轴力图x2.2 扭转杆的内力 扭矩图2.2.1 扭转杆2.2.2 扭转杆的变形特点2.2.3 扭转杆的外力偶2.2.5 扭转杆的扭矩图2.2.4 扭转杆的内力返 回1扭转实例：方向盘、传动轴等轴 以扭转为主要变形的构件2.2.1 扭转杆返 回ABO外力的合力为一力偶力偶绕杆轴线 2.2.2 扭转杆的变形特点返 回*扭转角（）：任意两截面绕轴线转动的相对角位移。*剪应变（）：直角的改变量描述变形的指标功率、转速与外力偶矩的关系M = 9549 N / n (N.m)功率KW转速r.p.m.M = 7024 N / n (N.m)功率：马力转速r.p.m.2.2.3 扭转杆的外

4、力偶返 回1 马力 (马力) = 735.49875 瓦 扭矩截面法2.2.4 扭转杆的内力返 回扭矩绕轴线的力偶*符号规定右手法则， 扭矩矢量离开截面为正返 回MeMex* 规律：跳跃性封闭性2.2.5 扭转杆的扭矩图返 回对分离体1对分离体2扭矩图 例2 n =300r/min，主动轮PA=36kW，从动轮PB=PC=11kW，PD=14kW，绘扭矩图。计算外力偶矩求扭矩（扭矩按正方向假设） BC段 CA段 AD段绘制扭矩图x350700446AC段为危险段练：作扭矩图返 回2.3.1 弯曲梁2.3.2 弯曲梁的变形特点2.3.3 弯曲梁的内力2.3.4 弯曲梁的内力图返 回2.3 平面弯

5、曲梁的内力 剪力图和弯矩图2、梁 以弯曲变形为主的构件1、弯曲 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用，轴线变成了曲线的变形形式2.3.1 弯曲梁返 回3. 工程实例楼板结构图桥梁结构主梁返 回 * 对称弯曲 平面弯曲的特例纵向对称面MP1P2q平面弯曲: 弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。2.3.2 弯曲梁的变形特点返 回梁不具有纵对称面外力并不作用在对称面内xyzP* 非对称弯曲纵向对称面P1P2返 回 支承条件与载荷情况一般都较复杂，为便于分析计算，进行简化，抽象出计算简图。1. 构件本身的简化一、梁的计算简图通常取包含梁轴线的细长长方形来代替梁。2. 载荷简化集中力集中力偶分布载

6、荷2.3.3 弯曲梁的内力返 回3. 支座简化固定铰支座可动铰支座2个约束 1个自由度1个约束 2个自由度3个约束0个自由度。FAxFAyMA固定端4. 梁的三种基本形式简支梁M集中力偶q(x)分布力悬臂梁外伸梁集中力Pq均布力5. 超静定梁二、弯曲内力 已知： FP ，a，l, 求：距A端x截面上内力FPFAyFAxFBABFPalAB解：求约束力ABFPFBmmx求内力截面法AFsM 弯曲内力剪力弯矩CFPMFsCFAyFBFAyFAx1. 弯矩：M2. 剪力：Fs作用线平行于截面的内力AFAyMCFPMFsCFB3.内力符号规定 剪力Fs弯矩MFs(+)Fs()Fs()Fs(+)M(+)

7、M(+)M()M()例 求B+截面的内力解：求约束力求内力-截面法右段例2-5 求指定截面的内力例 求图示梁1-1、2-2截面处的内力qqLab1122qLFs1AM1x1解：求1-1截面内力qLqqLab1122Fs 2BM2x22-2截面返 回3.1.4 弯曲梁的内力图返 回一、剪力方程和弯矩方程、内力图二、 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系三、剪力、弯矩与外力间的关系四、 简易作图法 五、叠加原理六、对称性与反对称性的应用一、剪力方程和弯矩方程、内力图)(xFsFs=剪力方程)(xMM=弯矩方程返 回例2-6 画集中力下简支梁的内力图例2-6 画集中力下简支梁的内力图例2-7画均布力下

8、梁的内力图例2-8画梁的内力图 例 求内力方程并画出内力图解：x截面左段 内力方程Fs(x)xPM(x)xPLLM(x)xFs(x)P 内力图 约束力解： 内力方程 内力图LqM(x)xFs(x)Fs(x)x qLM(x)x例2-9 画悬臂梁的内力图解：求支反力内力方程q0FA根据方程画内力图FBLFs(x)xxM(x)例 画悬臂梁的内力图二、 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)M(x)dxAy对dx 段进行平衡分析，有：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。 返回返 回弯矩图上某点处的切线斜率等于该点

9、处剪力的大小。弯矩与荷载集度的关系q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs (x)Fs(x)M(x)dxAy返回图示梁上，作用有集度为q= q(x)的分布载荷及 m = m (x)的分布力偶。试建立力偶矩集度 m (x)、分布载荷集q(x)度、剪力Fs 和弯矩 M(x) 间的微分关系。设梁长为l=2m，图出梁的受力图。三、剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0FsFs0 x斜直线增函数xFsxFs降函数xFsCFs1Fs2Fs1Fs2=P自左向右突变xFsC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM坟状xM盆状自左向右折角 自左向右突变与m反xM折向

10、与P反向MxM1M2返 回四、 简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作内力图的方法。例4 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。特殊点:端点、分区点（外力变化点）和驻点（极值点）等。aaqaqA返 回aaqaqA左端点：线形：根据；及集中载荷点的规律确定。Fsxqa2qaxM内力关系内力导数特殊点:分区点A：画图示梁的内力图aaqaqAM 的驻点：右端点：Fsxqa2qaxM例5 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解：求约束力左端点A：B点左：B点右：C点左：qqa2qaFAFDFsxqa/2qa/2+ABCDqa2/2xMq

11、a2/23qa2/8内力关系内力导数特殊点:M 的驻点：例5 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。C点右：右端点D：qqa2qaFAFDFsxqa/2qa/2qa/2+ABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8+内力关系内力导数特殊点:qqa2qaFAFDABCDFs(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+M(kNm)x+111.25内力关系内力导数例2-10 用简易作图法画梁的内力图例2-11 已知梁的剪力图，求梁的荷载图和弯矩画Fsx1m1m40kN20kN1m40kN60kN20kN60kN60kN20kN/mM/x40kN40kN60kN10kN10kN.m

12、kN.m例8 改内力图之错。a2aaqqa2ABFsxxM+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/4内力关系内力导数A.既有集中力，又有集中力偶；B.只有集中力；C.既无集中力，也无集中力偶；D.只有集中力偶。梁的M图如图所示，则在距右端2m的A截面处，（ ）。梁上作用任意分布载荷，其集度q是 x 的连续函数，且规定以向上为正。今采用图示的坐标系xOy ， 则M 、Fs、q之间的微分关系为（ ）q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs (x)Fs(x)M(x)dxAyx当F在AB之间时：当F在BC之间时：当M1max等于M2max时，支座

13、B合理：独轮车通过跳板如图所示，若跳板不动，从玩具方面考虑，求支座B的合理位置。已知梁的弯矩图如图所示，作梁的载荷图和剪力图。x482mM(kNm)二次抛物线顶点2mFsx2kN/m12kNm已知梁的弯矩图如图所示，作梁的载荷图和剪力图。x482mM(kNm)二次抛物线顶点2mFsx4kN2kN/m12kNm4kN已知梁的弯矩图如图所示，作梁的载荷图和剪力图。xM二次抛物线光滑Fsx已知梁的弯矩图如图所示，作梁的载荷图和剪力图。xM二次抛物线光滑Fsx已知梁的弯矩图如图所示，作梁的载荷图和剪力图。x二次抛物线光滑x已知梁的弯矩图如图所示，作梁的载荷图和剪力图。x二次抛物线光滑x设两杆的剪力图或

14、弯矩图如图所示，试作相应的弯矩、剪力和荷载图。其中原图为剪力图的梁上没有集中力偶作用。 五、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。返 回材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 叠加方法步骤： 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。返 回例2按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。qqPP=+AAABBBxM2xM1xM +=+内力关系内力导数六、对称性与反对称性的应用：

15、 对称结构在对称载荷作用下，Fs图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Fs图对称，M图反对称。返 回例7 作下列图示梁的内力图。PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0Fs2x0.5PFs1x0.5P0.5P+FsxP内力关系内力导数PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0MxM1xM2x0.5PLPL0.5PL+0.5PL+内力关系内力导数例1 绘制下列图示梁的弯矩图。2PaaP=2PP+xMxM1xM2=+2Pa2PaPa(1)内力关系内力导数(2)aaqqqq=+=+xM1+qa2/2xMqa2内力关系内力导数xM23qa2/2(3)Pa

16、aPL/2=+PxM2xM=+PL/2PL/4PL/2xM1+PL/2内力关系内力导数(4)50kNaa20kNm=+xM2xM=+20kNm50kNmxM120kNm50kN20kNm20kNm+20kNm30kNm20kNm内力关系内力导数2.4 组合变形杆件的内力 内力图2.4.1 组合变形杆件2.4.2 组合变形杆件的变形特点2.4.3 组合变形杆件的内力2.4.4 组合变形杆件的内力图返 回MPRzxyPP2.4.1 组合变形杆件压弯组合变形组合变形工程实例拉弯组合变形组合变形工程实例弯扭组合变形组合变形工程实例水坝qPhg返 回2.4.2 组合变形杆件的变形特点基本变形的叠加叠加原

17、理返 回外力分析： 叠加原理外力向形心简化并沿主惯性轴分解 求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。应力分析：内力分析： 画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。2.4.3 组合变形杆件的内力返 回2.4.4 组合变形杆件的内力图返 回 叠加原理轴力图弯矩图剪力图例2-12 烟囱的内力图轴力图由平衡方程得：* 当力P位于中点时，弯矩最大+画AB杆的内力图例2-14 画轴的内力图解：外力向形心 简化并分解弯扭组合 变形80P2zyxP1150200100ABCD150200100ABCDP1MxzxyP2yP2zMx150200100ABCDP1MxzxyP2yP2zMx每个

18、外力分量对应内力图叠加弯矩，并画图确定危险面返 回(Nm)MzxMx(Nm)x(Nm)xMyM(Nm)Mmaxx返 回2.5 刚架的内力 内力图2.5.1 刚架2.5.2 刚架的变形特点2.5.3 刚架的内力2.5.4 刚架的内力图返 回2.5.1 刚架静定平面刚架的类型由若干杆件（如梁、柱等）互相刚接组成的整体承重结构悬臂刚架 简支刚架 三铰刚架2.5.2 刚架的变形特点受力变形后，刚结点之夹角保持不变返 回求内力的方法截面法静定平面刚架的内力弯矩Mij 剪力FSij 轴力FNij其中 i - 内力所属截面 j - 该截面所属杆件的另一端2.5.3 刚架的内力返 回求支座处的约束力计算各杆杆端弯矩、杆端剪力、杆端轴力，逐杆画出弯矩图、剪力图、轴力图弯矩图画在受拉边，图上不标正、负号；剪力图和轴力图可绘在杆件的任一侧，但要标上正、负号，正、负号规定与梁一致校核。可取刚结点或刚架中任意部分为研究对象，验算是否满足平衡条件2.5.4 刚架的内力图返 回例1 试作图示刚架的内力图。ABCllq返 回解：ABCllql/2ql/2qlql/2CBFSBCql/2FNBC=0MBC=ql2/2BAqlql/2FNBA= ql/2FSBA