第二讲线代数运算

1、第二节 线性代数运算一. 矩阵的特征值与特征向量定义：设A为n阶矩阵， 是一个数，若存在n阶非零向量 ，使得则称 是A的一个特征值， 称为矩阵A对应于特征值 的特征向量.注意:一个特征值可以有无穷多个特征向量，但一个特征向量只对应唯一的一个特征值，即特征值是由特征向量唯一确定的. 在后续的课程中，我们将介绍特征值与特征向量在经济分析中的作用.1例1.计算矩阵 的特征值解：设 为A的特征值，是对应于 的特征向量此线性齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式的值为零，由2在MATLAB中计算矩阵X的特征值与特征向量的方法如下： V,D = EIG(X) produces a diagonal ma

2、trix D of eigenvalues and a full matrix V whose columns are the corresponding eigenvectors so that X*V = V*D. D是由矩阵X的特征值组成的对角矩阵，V的每一列是对应于特征值的特征向量.例2 求矩阵 的特征值与特征向量解：A=4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1;V,D=eig(A)3V =0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.4472 1 -0.5774 0D =1 0 0 0 -2 0 0 0 1即 对应的两个特征向量为：而 对应的一个特征向量为： 对应的全部

3、特征向量为：而 对应的全部特征向量为：4例3.求矩阵B，BB 的特征值、特征向量解：B=3,0,0;0,2,0;1,1,1, D1,V1=eig(B), D,V=eig(B*B), D= -0.2953 -0.3048 -0.9054 -0.4954 0.8592 -0.1277 0.8169 0.4109 -0.4048V= 0.7024 0 0 0 4.9564 0 0 0 10.34125例4. 将矩阵A的行向量与列向量标准化解：A=1,2,3;4,5,6;7,8,0;B=normr(A)，C=normc(A)B =0.2673 0.5345 0.8018 0.4558 0.5698 0

4、.6838 0.6585 0.7526 0C =0.1231 0.2074 0.4472 0.4924 0.5185 0.8944 0.8616 0.8296 0二.向量的标准化1.Matlab中将矩阵的行向量、列向量单位化的命令：normr(A)，normc(A)6三. 求线性方程组AX=b的解 1.若矩阵A可逆，则 X=Ab例7. 解线性方程组 解：A=2,3,5;3,6,8;6,5,4; b=12;34;43; det(A)=-29, 矩阵A可逆，于是 X=Abans = 0.2759 12.3793 -5.1379检验：A*Xans = 12.0000 34.0000 43.00007

5、2. 求齐次线性方程组AX=0的非零解Matlab中Z =null(A,r)就是求AX=0的基础解系，其中 Z的列向量即为所求基础解系例8. 求方程组的通解： format rat %指定有理式格式输出 Z=null(A,r) %求解空间的有理基 Z =2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 解：A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3;故所求通解为：8化成行简化阶梯形求AX=b的解Matlab中的命令为： C=A,b %增广矩阵C. D=rref(C) %将C化成行最简化阶梯形 则D 的最后一列元素就是所求的解. 例9 . 求线性方程组AX=b的解其中 A=2,3,5

6、;3,6,8;6,5,4，b=12;34;43. 解：C=A,b ； D=rref(C) ； D = 1 0 0 0.2759 0 1 0 12.3793 0 0 1 -5.1379 9四. 特殊矩阵及其应用E = eye(n):表示n维单位矩阵, E = eye(m,n): 表示主对角元素为1,其余元素为零的 矩阵.例如：eye(3)=2. A = ones(n,m)：表示元素全为1的nm矩阵3. A = zeros(n,m)：产生nm维零矩阵4. A = rand(n,m):产生nm维随机矩阵（元素在01之间）10例10. 下表是全国5个主要湖泊的实测数据 指标湖泊总磷（mg/L）耗氧量(

7、mg/L)透明度(m)总氮(mg/L)杭州西湖13010.300.352.76武汉东湖10510.700.402.0青海湖201.44.50.22巢湖306.260.251.67滇池2010.130.500.23试用矩阵A表示上表所示的矩阵，2.计算每个指标与该指标平均值之差的绝对值.11 解：A=130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2;20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23;mean(A)=61.0000 7.7580 1.2000 1.3760各指标的平均值为：生成一个5-by-4的矩阵B，各行都是

8、mean(A): B=ones(5,1)*mean(A),然后得到所求矩阵C为：C=abs(A-B)= 69.0000 2.5420 0.8500 1.3840 44.0000 2.9420 0.8000 0.6240 41.0000 6.3580 3.3000 1.1560 31.0000 1.4980 0.9500 0.2940 41.0000 2.3720 0.7000 1.1460为什么？怎样生成?12生成一个5-by-4的矩阵B，各行都是mean(A)还有如下方法 ：B=a(ones(5,1),:)，其中 a=mean(A)练习：将各指标与该指标的最大值相减，然后再比上该指标的极差.

9、提示：max(A):表示矩阵A中各列向量的最大值； min(A):表示矩阵A中各列向量的最大值； range(A)= max(A)- min(A):表示各列极差.13在MATLAB中将原始数据进行变换的命令还有：zscore(A) % 将A的各列减去各列的均值，再比上各 列的标准差；例11.将例10的各指标见该指标的均值，再比上各指标的标准差；方法1.A=13010.300.352.76 10510.700.402.0 201.44.50.22 306.260.251.67 2010.130.500.23;B=(A-ones(5,1)*mean(A)./(ones(5,1)*std(A);方法2.D=zscore(A);14本次课学习的MATLAB命令一览表命令功能V,D = EIG(X)求矩阵X的特征值与特征向量normr(A)将矩阵A的行向量单位化normc(A)将矩阵A的列向量单位化Z =null(A,r)求AX=0的基础解系(Z的列向量)rref(C)将C化成行最简化阶梯形矩阵ones(n,m)表示元素全为1的nm矩阵eye(n)产生n阶单位矩阵zeros(n,m)产生nm维零矩阵15命令功能max(A)计算矩阵A的各列元素的最大值min(A)计算矩阵A的各列