线性插值与二次插值公式)

1、插值计算引例代数多项式插值问题线性插值与二次插值公式Lagrange插值公式第四章 数据插值方法误差函数x 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000y 0 0.5205 0.8427 0.9661 0.9953 0.9996 1.0000当 x(0.5, 1)时当 x(1, 1.5)时实际问题中遇到的函数f(x)有的表达式复杂，有的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到一种简单函数p(x)，能近似描述函数f(x)的变化规律，又便于处理。把这个函数p(x)称作f(x)的近似函数。近似函数p(x)可以是代数多

2、项式或三角多项式，也可以是有理分式等等。 p(x)选不同类型的函数，近似的效果不同，由于代数多项式结构简单，常取p(x)为代数多项式。如果要求近似函数p(x)取给定的离散数据，则称p(x)为f(x)的插值函数。多项式插值问题的一般提法设 f(x)C a , b, 已经点xi a , b上的函数值 f(xi), (i=p0, p1, pn)和点xj上的导数值 f(kj)(xj), (j=q0, q1, qm)，其中kj为小于或等于n+m+1的任意正整数。要求：作一个次数不超过n+m+1的代数多项式p(x) P(x)=a0 + a1x + an+m+1xn+m+1使 P(xi)= f(xi), (

3、i=p0, p1, pn) P(kj)(xj)= f(kj)(xj), (j=q0, q1, qn) 成立则称P(x)为f(x)的插值函数。xi和xj称作插值节点a , b为插值区间。上述问题称作代数多项式插值问题已知f(x)在点xi上的函数值 yi=f(xi), (i=0,1,2,n)，求一个次数不超过n的插值多项式。则称 (4.1)为满足插值条件(4.2)的拉格朗日插值。 Ln(x)=a0 + a1x + anxn (4.1)满足: Ln(xi)= yi (k = 0,1,n) (4.2) 设 f(x)C a , b, 取点 a x0 x1xnb拉格朗日插值拉格朗日插值及其存在唯一性点,则

4、满足插值条件 Ln(xi)= yi (k = 0,1,n)的n次插值多项式 Ln(x)=a0 + a1x + anxn存在而且是唯一的。证明 由插值条件L(x0)= y0L(x1)=y1L(xn)=yn定理4.1 若插值结点x0,x1,xn 是(n+1)个互异方程组系数矩阵取行列式这是范德蒙行列式且不等于0。故方程组有唯一解.从而插值多项式P(x)存在而且是唯一的.例4.2 已知误差函数在四个点处函数值 x 00.60001.20001.8000 Erf(x) 00.60390.91030.9891构造3次多项式L3(x) 逼近 Erf(x)设 L3(x)= a0 + a1x +a2x2 +

5、a3x3, 令 L3(xi)=Erf(xi)得求解,得a0=0,a1=1.293,a2= -0.5099,a3=0.0538所以, L3(x)=1.293 x 0.5099 x2 + 0.0538 x3MATLAB计算程序x=0:.6:1.8; y=erf(x);x=x;y=y;A=ones(4,1) x x.2 x.3;p=Ay;a0=p(1);a1=p(2);a2=p(3);a3=p(4);t=0:.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.2+a3*t.3;plot(x,y,o,t,u)由过两点直线方程,得化为等价形式求满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1的线性插值多项式 L1

6、(x)n=1 线性插值问题 已知函数表 x x0 x1 f(x) y0 y1拉格朗日插值的基函数构造法记当x0 x x1时，0l0(x)1, 0l1(x)1x x0 x1l0(x) 1 0l1(x) 0 1y0 y1 = 1 0y0 + 0 1y1把l0(x)、 l1(x)称作线性插值基函数n=2 二次插值问题x x0 x1 x2f(x) y0 y1 y2已知函数表求二次插值(抛物插值)多项式 L2(x)=a0 + a1x + a2 x2 满足:L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1, L2(x2)=y2y0 y1 y2 = 1 0 0y0 + 0 1 0y1+ 0 0 1y2仿照线性插值

7、的基函数构造法，可令 L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2二次插值函数: L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，xx0 x1x2l0(x) 1 0 0l0(x) 100l1(x) 010l2(x) 0 0 1L2(x)y0y1y2 xx0 x1 x2把l0(x)、l1(x)、 l2(x) 称作二次插值基函数Lagrange插值公式插值条件:Ln(xi)= yi (i= 0,1,n)其中,第i (i=0,1,，n)个插值基函数即:两点线性插值定义误差余项: R1(x) = f(x) L1 (x) 由插值条件,令 R1(x)=C(x) (x x0)(x x

8、1)即 f(x) L1(x) = C(x) (x x0)(x x1) C(x) = ?Lagrange插值的误差余项 ax0 x1xnb则对任何xa , b, 满足 Ln(xi) = f(xi) 的 n 次插值多项式Ln(x) 的误差其中,且与x有关定理5.2 设 f(x)Ca, b, 且 f (x) 在(a, b)内具有n+1阶导数, 取插值结点证 记 n+1(x) =(x x0)(x x1)(x xn)Rn(x) f(x) Ln(x)= C(x) n+1(x)取定 x(a, b), 设 t( a, b ). 构造函数 显然, F(x) = 0, F(xj) = 0, (j = 0,1,n ) 由插值条件Ln(xi) = f(xi) (k = 0,1,n)存在C(x)，令 F(t