第三章多维随机变量及其分布习题测验

1、第 页共8页第三章多维随机变量及其分布习题1 3.1二维随机变量的概率分布3 y 3x y，x其它y 0，则、填空题设（X,Y）的分布函数为F（ x，y）10,（X ,Y ）的联合概率密度f （x, y）=2设随机变量（X,Y）的分布函数为 F （x，y）A(Bxarctg - )(C吨），则A =，(A 0)；3.用（X ,Y）的联合分布函数F （x, y）表示概率P(ab,Y c)= F(b,c) F(a,c)；4.设（X , Y）在区域G上服从均匀分布，G为yx2所围成的区域，（X,Y）的概率密度为5.设（X,Y）联合密度为f （x, y）Ae0,x 0,其它0，则系数A =6.设二维随

2、机变量（X,Y）的联合概率密度为f x,y4xy,0,x 1,0 y 1其它 ，7.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为f x,y2cx y,0,x2y其它.1,，则 c=X!和X2的分布函数，为使F（x） aR（x） bF2（x）是某、选择题现的点数，贝U （X,Y）所有可能取的值为()(A) 12 对；(B)6 对；(C)8对；(D)4对2 设二维随机向量（X, Y）的概率密度为f(x,y)1,0 x1,0y1,0,其它,则概率P(X 0.5,Y0.6)()(A 0.5;(B)0.3;(C)0.875;(D)0.4.1 考虑抛掷一枚硬币和一颗骰子，用 X表示抛掷硬币出现正面的次数，丫表示抛

3、掷骰子出3.设x）与F2（x）分别为随机变量 TOC o 1-5 h z 一随机变量X的分布函数，在下列给定的各组数值中应取()32221313a ，b ; (B) a ，b -; (C) a -，b -; (D) a -，b55332222设随机变量Xi的分布律为Xi101P111424 TOC o 1-5 h z (1,2),满足 P(X/20) 1,则P(X!X2) (A)(A)0;(B)1/4;(C)1/2;(D)1.如下四个二元函数中哪个可以作为连续型随机变量的联合概率密度函数()(A)fx,ycosx,0(B)fx, ycos x,0(C)fx,ycosx,0L 訐 丫 2,其它-

4、x -,0 y 1,其它COSX,(D)f x,y00 x ,0其它y1,0 x ,0y12其它X-11P1/21/26.设随机变量X与Y相互独立，它们的概率分布依次为则下列各式正确的是()(A)X=Y ；( B)PX=Y=0 ;(C)PX=Y=1/2 ;Y-11P1/21/2(D)PX=Y=1.三、计算下列各题1.已知随机变量 X和Y的联合密度为f (x，y)4xy，0,0 x 1,0 y其它1,求X和Y的联合分布函数F (x, y)。一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以X和Y分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出X和Y的概率分布律。3.给定非负

5、函数g(x),它满足0g(x)dx 1,又设f(x, y)2g(.x2y2),0 x,y0,其它问f (x, y)是否是随机变量 X和Y的联合概率密度？说明理由。k 6 x y4.设随机变量 (X,Y)的联合密度为f(x, y)0,x 2,2其它求：f 1)系数 k； f2) P X 1,Y3 ;(3) P X 1.5 ;(4) P X Y 4 。5.设随机变量(X,Y)的联合密度为f f x, y)a(1 x2 y2),x2y210,其它求(1)系数 a ,(2)概率 p fX2Y2-) o4袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球, 以X , Y , Z

6、分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，(1 )求P X 1 Z 0 ; f2)求二维随机变量 X,Y的概率分布。 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4随机变量的独立性一、填空题1 2设平面区域D由曲线y 及直线y 0, x 1, x e所围成.(X, Y)在D上均匀分布,x TOC o 1-5 h z 则(X, Y)关于X的边缘密度在x 2处值为;若f X, Y)的分布律为12311/61/91/1821/3应满足条件是 .若X与Y相互独立则= TOC o 1-5 h z 设随机变量X和Y相互独立，且 X在区间0,2上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，则P X Y 1;.

7、 . 2设X1,X2, ,Xn独立同分布，都服从 N(,)，则f X-X2, ,Xn )的概率密度函数为 ；设随机变量X与Y相互独立，X : B(2, p),Y B(3, p)，且P(X 1)5/9，贝UP(Y 2),P(X Y 1);6.二维离散型随机变量相互独立的充分必要条件是、选择题1设两随机变量 X和Y独立同分布P(X 1) P(Y 1)1/2, P(X 1)P(Y 1)1/2,则下列各式成立的是()(A) P(X Y) 1/2;(B) P(X Y) 1 ;(C) P(X Y 0) 1/4;(D) P(XY 1)1/4.设二维随机变量(X,Y)的联合分布为并且已知事件 X*0101/4

8、b1a1/40与 X Y 1相互独立，则a,b的值是()(A) a=1/6,b=1/3;a=3/8,b=1/8;a=1/4,b=1/4;a=1/5,b=3/10.3.设二维随机变量X,Y的联合概率密度为x,y1/0,2 2x y其它1，则X,Y满足()(A)独立同分布(B )独立不同分布；(C)不独立同分布;(D)不独立也不同分布三、计算下列各题1.设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量Y在1X中等可能取6222-(4 x )(9 y )一个整数值，求(1) (X,Y)的联合分布律；(2) X , Y的边缘分布律。2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x, y)

9、y(1)求关于X和Y的边缘概率密度.(2)问X与Y是否独立?3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f x, yxy, 0 x31,02,0,其它.求：(1)关于X和关于Y的边缘密度函数，并判断X与Y是否相互独立？ ( 2) P X Y 14.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y)kx(x y),0 x 2, x y x,0,其它(1)求常数k ;(2) 求关于X和Y的边缘概率密度，(3)问X与Y是否独立?雷达的圆形屏幕的半径为R，设目标出现点(X,Y)在屏幕上均匀分布，(1 )求X,Y的边缘概率密度，(2)问X,Y是否独立?设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y)A

10、e，0 X y，求(1)常数 A( 2)随0, 其它X101P1/41/21/4机变量X,Y的边缘密度，(3)概率P(X Y 1) o7.已知随机变量 X,Y的概率分布：Y01P1/21/2且P(XY 0)1. ( 1)求X,Y的联合分布，(2)问X,Y是否独立？为什么?8.设X与Y为两个相互独立的随机变量,X在区间0,1上服从均匀分布，Y的概率密度y/2为fy y-e y , y 0,，求:0, y 0.(1) X与Y的联合概率密度;(2)设含有a的二次方程为a2 2Xa Y0 ,试求a有实根的概率。四、证明题设随机变量 X,Y具有分布函数F x,y1 eax y, x 0,0 y 1,1

11、e ax,x 0, y 1, a 0,0,其它.证明：X与Y相互独立。 3.5两个随机变量函数的分布一、填空题设X与Y独立同分布，且X的分布律为 P(X 0)0.5, P(X 1)0.5,则随机变量 TOC o 1-5 h z Z max X,Y的分布律为;44设X与Y两随机变量，且P(X0,Y0)=-, P(X0)- , P (Y0)刁,贝UP(max(X, Y)0);设随机变量X与丫相互独立，且均服从区间0, 3上的均匀分布，则P maxX,Y 1 =?2 2 -一 HYPERLINK l bookmark92 o Current Document 若X N( 1, 1 ),Y N ( 2

12、, 2),相互独立 *X k2Y服从分布为 ;5设X与Y相互独立，且分别服从参数为1, 2的泊松分布，贝y Z X 丫服从的分布二、选择题设随机变量X服从指数分布，则随机变量 Y min X,2的分布函数为（）（A ）连续函数；（B）至少有两个间断点；（C）阶梯函数；（D）恰有一个间断点设随机变量 X与Y相互独立，且 X服从标准正态分布N 0,1，Y的概率分布为1P Y 0 P Y 1,记FZ z为随机变量Z XY的分布函数，则函数 FZ z的间2断点个数为（）（A） 0；（B） 1 ；（C） 2 ；（D） 33.设随机变量X与Y相互独立，且分别服从N 0,1 和 N 1,1，则（）（A）1P

13、（X Y 0） 1 ；（B） P（X1Y 1） 1 ；（C）1P（X Y 0）2（D） P（X1Y 1）-.2设f1 x为标准正态分布的概率密度，f2 x为 1,3上均匀分布的概率密度，若af1 xx 0,f xa 0,b0的概率密度，则a,b应满足（）bf2 xx 0（A）2a 3b 4;（B）3a 2b 4;（C）a b 1;（D）a b 2.设X与Y相互独立，且都服从区间0,1上的均匀分布，则下列 4个随机变量中服从区间或区域上的均匀分布的为（A）（A） X,Y ;（ B）X+Y ;（ C）X2 ;（ D） X Y.设X与Y是相互独立的随机变量， 其分布函数分别为 Fx x ,Fy y，

14、则Z min（X,Y） 的分布函数为（） TOC o 1-5 h z （A）FzzFxx ;（ B）FzzFyy ;（C） FZ z min FX x , FY y ; （ D） FZz11 FX x 1 F丫y.三、计算下列各题设两个独立随机变量X与Y的分布律为P（X1）0.3,P（X3）0.7,P（Y2）0.6,P（X 4） 0.4,求（1） Z X Y的分布律，（2） W X Y的分布律.2设X,Y独立，XN( , )，丫在,服从均匀分布，Z X Y,求Z的概率密度.(用 标准正态分布函数(x)表示)。N( 2， 2)求X 丫的概率密度。23设随机变量X,Y相互独立，且X N( i，i

15、),Y :6.设随机变量(X,Y)的联合概率密度 求Z X Y的概率密度。f (x, y)3x,0 x 1, 0 y x0,其它设随机变量X与丫相互独立，X的概率分布为P X i1,0,1 , Y的概率密度为fY y0其它1，记Z(1)求 P Z 丄 X 02(2)求Z的概率密度。设二维变量(x, y)的概率密度为f(x, y)0 x 1,0 y 1其他(I)求 PX 2Y;(II)求z X Y的概率密度。4.已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布，/1衣其联合密度为f (x, y)e 22y2)x,y,求随机变量Z122 (X2 Y2)的概率密度函数。35.已知随机变量X与Y相互独立，且都服从0,a区间上的均匀分布，求 ZX Y的概率密度函数。9假设电路装有三个同种电器元件，其状况相互独立，且无故障工作