幂级数(教案)

1、幕级数教学内容将初等函数展开成幕级数，是研究函数的表示、性质和进行近似计算的重耍方法，也是微积分理论中不可或缺的一个部分。本节介绍幕级数的概念与性质,以及函数如何展开为幕级数问题，进一步还耍指出幕级数在近似计算中的应用。具体内容如下：（1）幕级数的收敛半径和收敛域的概念及计算方法；（2）幕级数的和函数的连续性、逐项可导和逐项可积性质；（3）函数的Taylor级数的概念及初等函数的Taylor展开方法；（4）介绍利用函数的Taylor展开进行近似计算的方法。教学思路和要求（1）介绍函数项级数及其收敛域的概念，进而引出重要的幕级数的概念；（2）幕级数的收敛域有着独特的对称性，如何计算幕级数的收敛半

2、径和收敛域是一个重点；（3）幕级数的和函数的连续性、逐项可导和逐项可积性质有着重要应用，因此也是课程中的一个重点，是学生必须耍掌握的知识点；（4）函数的幕级数（Taylor级数）展开是微积分学中的重耍工具，是学生务必耍掌握的数学方法。关丁这部分内容，首先讲解利用Taylor公式，将一些基本的初等函数展开为Taylor级数或Maclaurin级数。在此基础上，讲解一般初等函数的Taylor展开的方法，也就是间接展开法。（5）介绍函数的幕级数展开的应用，重点在于近似计算。教学安排一.函数项级数现在将级数的概念推广到通项为函数的情况。设（n=l,2,）是一列定义在数集I上的函数（这时也称%为函数序列

3、），称用加号按顺序将这列函数连接起来的表达式U+U?+I打+为函数项级数，记为uno本章中为叙述方便也常记作Jun（x）oTOC o 1-5 h zn=ln=l函数项级数的收敛性可以借助数项级数得到。定义9.2.1若对于固定的XoGl,数项级数1打（观）收敛，则称函数项级n=l88数工Un（x）在点Xg收敛，或称Xg是工Un（x）的收敛点。这些收敛点全体所构成的n=ln=l集合D称为2n(X)的收敛域。n=l对于收敛域D上的每个x,都对应了一个收敛的数项级数Jun(x)，记其和n=l为S(x),这样就定义了一个D上的函数8S(x)=un(x),xeD,n=l它称为函数项级数Jun(x)的和函数

4、。n=l和函数也可以如下得到：作2n(X)的部分和函数：n=lSn(x)=(x)(XGI),11=1,2,ok=l显然，使Sn(x)收敛的x全体正是收敛域D。因此fun(x)的和函数S(x)就是在n=lD上部分和函数序列Sn(x)的极限，即nS(x)=liinSn(x)=liinVuk(x),xwD。2828肓与数项级数一样，在收敛域D上定义00rn(x)=S(x)-Sn(x)=工is(x),k=n44它称为函数项级数Jun(x)的余项。n=l例9.2.1eg(n=l,2,)是一列定义于(_s,+s)上的函数。显然对丁每个固定的xw(-s,+s),e_nx是等比级数。这个函数项级数的收敛域为(

5、0,+s),n=l和函数为S(x)=亠一oex-1这个例子也说明了函数项级数的收敛域并不一定是原来函数序列的公共定义域。幫级数以下形式的函数项级数8Ean(x-xo)n=%+ai(xx0)+a2(xx0)Z!+j(xx0)I1+n=0称为幫级数，其中心(n=0,l,2,)为常数，称为该幕级数的系数。为了方便我们常取观=0,也就是讨论00anxn=a0+a】x+a2x2+anxn+，n=0因为只要做一个平移x=t-Xo,所得的结论便可以平行推广到Xo工0的情况。cocoYn8例如，fx11、和（n+l）（x-1广都是幕级数。n=0n=ln=0下面我们将讨论两个方面的问题：第一，对给定的幕级数，它

6、何时是收敛的？具有什么性质？并尝试求出一些幕级数的和函数；第二，对给定的函数，是否可以将它表示为幕级数？如何求初等函数的幕级数展开式？三.需级数的收敛半径一个H然的问题是，幕级数的收敛域是什么样的？下而的定理说明了它的收敛域是一个区间。00定理9.2.1（Abel定理）如果舉级数工召X”在冷（比工0）点收敛，那么n=0对于一切满足|x|v|Xq|的x,它绝对收敛；如果幕级数乞玄必11在点发散，那n=0么对于一切满足IX|Xg|的X，它也发散。证设观（先工0）是幕级数Janxn的收敛点。根据级数收敛的必耍条件,n=0InnanXon=0,T是存在正数M,使得n-co|anXQn|M,n=0,l,

7、2,-o因此,对于满足Ix|XqI的X有由丁级数Jm-n=0勒收敛，因而XlanXn|也收敛，即级数anxn绝对收敛。n=0n=0若幕级数fanxn在观点发散，那么对于满足|x|Xo|的x,它也发散。否n=0则的话，由刚才的证明知道，幕级数在X处收敛，就决定了它在筍处收敛，这与假设矛盾。证毕这个定理说明，一定存在一个R（0Roov+s,A=0,yAg(0,+s),A0,A=+s这就证明了:定理9.2.2(Cauchy-Hadamai*d定理)若簇级数工玄弹11的系数满足n=0R为獴级数工anxn的收敛半径o且R同上定义，那么级数E%xn当|x|vR时绝对收敛；当|x|R时发散。此时n=0n=0

8、当R=+s时，说明幕级数对一切实数x都是绝对收敛的；当R=0时，说明幕级数仅当x=0时收敛。注意在区间的端点x=R处，幕级数收敛与否必须另行判断。由DAlembert判别法,如果limn-co=A,则同样也可如上确定幕级数coYanxn的收敛半径R。事实上可以证明，这时成立lim咄|an|=lim厶n-covn-con=0例9.2.2易计算Ex的收敛半径是1，收敛域是(-1,1);n=l乞兰的收敛半径是1,收敛域为-1,1);n=l11舌的收敛半径是1,收敛域为-1,1;W兰的收敛半径是+S,因此收敛域为R=(_s,+s)；n=in!J(m)xn的收敛半径是o,因此收敛域为单点集0。n=l=A

9、o例9.2.3求幕级数的收敛半径。n=0解记J普则an(1】+1严(1】+1)!=liin1+心叭n所以收敛半径R=-oe例9.2.4求幕级数$x*】的收敛半径。n=l(-3)+2解这是缺项幕级数，x2n(11=1,2,-.)项的系数为0,不能直接用上面的公式來计算收敛半径，而采用如下的计算方法。因为VK，昱1.122n-l11X(-3)n+2n2n-lliin|c|一|c|,nro3+(-2/3)nn3所以，当i|x|2l,B|J|X|1,即3n=i(-3)口+2n3Ix|V3时，fX2-1发散。因此由收敛半径的定义，收敛半径R=屈on=l(-3)+2例9.2.5求幕级数士宀”n=ln解令t

10、=x-l,那么上述级数变为2n的收敛域。(V2+l)n因为lun(血+1广=,n-oV11所以收敛半径为R=V2-lo当t=V2-l时，级数为E丄，它是”n=l1】n=l(-I)发散的。当t=-(V2-i)时，级数Y(+irtn为工匸乙，它是收敛的。因此n=lI】n=lI】(V2+irtn的收敛域为tl_vi,v2-i)o从而幕级数丘込1)”(n=lI】n=l11II敛域是-a/2,V2-1.22四.皋级数的性质X-一、2丿的收co设幕级数工anxn的收敛半径为R,fbnxn的收敛半径为R，且R,R0。n=0n=0oo那么f；anxn和bnxn都在|x|vmin(RR)JL绝对收敛，因此在|x

11、|0),则其n=0和函数在(-RR)连续，即对于每个Xqg(-R,R),TOC o 1-5 h z00colim。XTn=0n=0若它在x=R(或x=-R)收敛，则和函数在x=R(或x=-R)左(右)连续，即cocococoliinYanxn=YanRn(liinYanxn=Yan(-R)n)HZ幺台“嗣台以上两式意味着求极限运算可以和无限求和运算交换次序。n=0定理9.2.4(逐项可积性)设Janxn的收敛半径为R(R0),则它在(-R,R)n=0上可以逐项积分，即对于任意xg(-R,R)成立88久n+1JQtg工化XJ0n=0n=011+l上式意味着积分运算可以和无限求和运算交换次序。定理

12、9.2.5(逐项可导性)设anxn的收敛半径为R(R0),则它在(-R,R)n=0上可以逐项求导，即d8(8一yaxn=y一anxn=Vnaxn_1。dx幺幺dx幺上式意味着求导运算可以和无限求和运算交换次序。定理9.2.6设獴级数anxn的收敛半径为R，则和nanxn_1的n=0n=01】+1n=l收敛半径也为R。这就是说，对幕级数逐项积分或逐项求导后所得的幕级数与原幕级数有相同的收敛半径。虽然逐项积分后所得幕级数岛対和逐项求导后所得的幕级数f叭与原幕级数fanxn收敛半径相同，但收敛域却可能扩大或缩小。n=ln=00,1926求幕级数呂的和函数。证易知的收敛半径为1,且n=lCO1(_1n

13、-lxn-l=_,XG(_U)on=l1+X因此对任意XG(-1,1),应用逐项积分定理得fjoX(-l)n_1tn-1dt=n=lxdtl+7因此8(_1)心由于工n=l工2xn=hi（l+X）,XG（-1,1）on=l11SQl二在x=l收敛，由定理9.2.3就得到一个常用结果（一1产】8（一严8f-lV1xn=hi(l+x),XG(-1,1osn=l8在此例中，显然工（-1广一”】的收敛域是（-1,1）,但丈凹X11的收敛域是n=ln=l(-1,1O例9.2.7解由于将arctanx表示为x的幕级数。XG(-1,1),所以用X?代替X,可得18-=工（-1严严，1+x-U两边积分，并利用

14、逐项积分定理，得到（一1）小w1.v_XX+-X3XG(-1,1),co/_n-1arctanx=V-一x台2n-l2n-lxe(-1,1)o吨若*3在x=l收敛,由幕级数和函数的连续性可得arctanx=fn-i1315=XX，+_x35xg-1,1o特别地令x=l,有穴11亠W435211-1例9.2.8证明：对一切x6(-1,1),成立8XYnxn=o幺(1-x)3证我们已经知道幕级数Qx的收敛半径为1，且在上成立n=000n=0对此式两边求导，并利用逐项求导定理即得1(1-X)2xG(-1,1)两边同时乘以X，便得到8nxn=n=l(1-X)2XG(-1,1)o作为这个结果的应用，我们

15、來求级数E如二的和。n=l3在上式中令X=-,则有3co(而工n=l所以y211+1qXIn=l00=2Enn=l8111(11+1)所以幕级数的收敛半径R=lo令n=lI】(I】+1)S(x)=fn=lX(1,1)o应用幕级数的逐项可导性，可得(xs(x)y=fn=lx4、,11(11+1)丿co1(xS(x)T=工x111=-,XG(-1,1)on=l1-X对上一等式两边从0到x积分，注意到(xS(x)|h=0,便得fX1(xS(x)y=Jdx=-111(1-x)o再积分一次，注意到xS(x)L=0,便得显然，当x=l时上式左边的级数收敛，丁是丁是有(n+1)!五.函数的Taylor级数幕

16、级数有着良好的性质，因此如果一个函数在某一区间上能够表示成一个幕级数，将给理论研究和实际应用带來极大方便。下面我们就來讨论函数可以表示成幕级数的条件，以及如何将函数表示成幕级数。由Taylor公式，若函数f在观的某个邻域上具有n+1阶导数，那么在该邻域上成立f(x)=f(Xo)+f，(x0)(x-x0)+f(x-Xq)2+-一(x-xo)n+in(x),2!n!其中】n(x)=竺迪UE%严(0l)为Lagrange余项。因此可以用多项式f(Xo)+fr(x0)(x-x0)+f)(x-x0)24-+-(x-Xo)n2!n!來近似f(x)o人们H然会猜想，增加这种多项式的次数，就可能会增加近似的精

17、确度，因此可用以这种多项式为部分和的幕级数來表示函数。基丁这种思想,若函数f在Xo的某个邻域O(XoJ)上任意阶可导，构造幕级数这一幕级数称为f在观点的Taylor级数，记为搭1*5)(%)为f在Xq点的Taylor系数。特别地，当观=0时，常称为f的Maclaurin级数。H然要考虑的问题是，若函数f在Xo的某个邻域o(Xo)上可表示成幕级数00f(x)=an(x-Xo)n,xeO(Xo，r),n=0该幕级数是否就是f在Xo点Taylor级数？答案是肯定的。根据幕级数的逐项可导性，f必定在O(观,1)上任意阶可导，且对一切kwN*,成立f(k)(x)=En(n-l)-(n-k+l)an(x-

18、x0)n_k。n=k令X=Xg便得f叫石)ak=,k=0,2,。因此，如果一个函数可以表示成幕级数，那么该幕级数就是它的Taylor级数，或者说，幕级数就是其和函数的Tayior级数。另一个必须面对的问题是：若函数f在的某个邻域O(筍,1)上任意阶可导,是否成立f(x)=兰(x-Xo)?答案却是否定的，即，一个任意阶可导函n=on!数的Taylor级数并非一定能收敛丁该函数本身。图9.2.1例9.2.10设_1f(x)=e%,xH0,0,x=0.记匕(U)是关丁p的11次多项式。容易得到，对于keN+,当XH0时有由定义直接计算得F(0)=0。乂作归纳假设f(w)(0)=0,则因此f在x=0点

19、的Taylor级数为ex=0o+-xn+n!0+0 x+x+x+x2!3!n!它在(-口+s)上收敛于和函数S(x)=0o显然，当xhO时，S(x)Hf(x)(函数f的图像见图9.2.1)on=on!于是，还需寻求等式f(x)=f的成立条件。这还是要借助Taylor公式来讨论。设f在O(观J)上有任意阶导数，则对丁每个正整数n成立其中几(x)是n阶Taylor公式的余项，丁是可以断言：定理9.2.7设f在O(Xo，t)上有任意阶导数，则在O(XqJ)上，等式成立的充分必要条件是：在O(氐)上成立liinrn(x)=0。这时，我们称在O(况,1)上f可以展开成皋级数(或Taylor级数)，或者称

20、Y是f在。(观)上的鬲级数展开(或Taylor展开)。n=on!初等函数的Taylor展开我们先导出基本初等函数的幕级数展开式，然后介绍将一般初等函数展开成幕级数的一些方法。证函数e在x=0的Taylor公式为ex=1+x+r(x),xe(-s,+co),2!3!n!八丿v7其中Lagrange余项j(x)为(n+1)!(n+1)!01由丁对一切XG(_S,+co)成立xf+iO(dts),8211+32x|2n+30(11TS)，所以关于e的Taylor展开式成立。图9.2.2显示了Taylor级数的部分和函数的逼近情况。2n+l(2)f(x)=siiiX=Y(1)UxS(2n+1)!X3x

21、5=x+(-l)n+，xe(一s,+co)o3!5!(2n+l)!证si在x=0的Taylor公式为sillx=x-+(-l)n+(x),XG(-00,+co),TOC o 1-5 h z3!5!(2n+l)!2n+2V其中Lagrange余项/、f(2n+3)()f+3x2n+3.(ai卄(x)=x_=sin念+(2n+3)!(2n+3)!I由丁对一切XG(-S,+co)成立r2n+2(X)l=z、(2n+3)!所以关于sinx的Taylor展开式成立。图9.2.3显示了Taylor级数的部分和函数的逼近情况。120图9.2.300(-Dn“k(3)cosx=V-x台(2n)!X，Y4YJn

22、=1-+-+(-l)n2!4!XG(-CO,+co)o这可由对sinx的Taylor展开式逐项求导得到。co/|n-larctanx=V-一x幺2n-lX3x5(心x3-1352n-l这是例9.2.7的结论。f-lVX+1ln(l+x)=一xnn=l1】X2X3X4n*Xn=X+(-1)+,234n这是例9.2.6的结论。f(X)=(l+X)a,2工0是任意实数。当Q是正整数m时。函数f的Taylor展开就是二项式展开f(x)=(1+x)m=1+nix+x2+nix1111+xm。2当&不是正整数时，由丁f(x)=(l+x)“的各阶导数为2n-l+X一h1X(-1,1o利用记号f(k)(x)=

23、a(a-1)(-k+1)(1+x)akk=l,2,d).(+l)(f.)可将(1+x)a的Taylor级数记为Yxnn=0VI丿下面來讨论这个Taylor级数是否收敛于(1+x)。应用DAlembert判别法，由(CCliin2CO3+1丿可知f在x=0的Taylor级数的收敛半径为R=1。5丄仏、a-nliinT8In+lxe(-14)o贝ij现在设F(x)=Yxn叙1】丿8(Q、(l+x)F(x)=(l+x)n因此网边取积分oo=a+00=Q+工n=l814+n=Jcoa(n+l)xn+n=lV1xn=qF(x),F(x)aF(x)1+xhiF(x)=aln(l+x)+C(C为常数)。由于

24、F(0)=l,因此C=0,于是F(x)=(l+x)“，即F(x)=Ln=0VV通过考察f(x)=(1+x)。的Taylor展开在区间端点的收敛情况，可归纳为当a-l,当-1z0。上式在(-S,+S)上成立。coXn=(1+X)a,XG(一1,1)oXG(-1,1),XG(-1,1,xg-1,1,此结论的证明从略。注意当Q是正整数时，(1+xr=SU(八希(21】一1)!x*(7)arcsuix=x+,xw1,1。台(2n)!2n+l证由(6)可知当xg(-1,1)时，1-1vl_X-/o34(211-1)!=1+-X-+-X+x+。8(2n)!对等式两边从0到X积分，注意幕级数的逐项可积性与1

25、=arcsillx,即得-t厂(1X?)二工*(n=01】co2n当XG(-1,1)时,A(2n-l)!x2n+1arcsuix=x+。台(2n)!2n+l事实上，上式对于每个xe-l,l都成立。而关于这个幕级数在区间端点X=l处收敛性的讨论，此处从略。证毕15,19211求幕级数煉站的和函数，并求名右的和。解考虑S(X)=歹,幺(n-l)!容易知道这个幕级数的收敛域为(-S,+S)。在上式两边取积分，并利用逐项积分定理，便得到81881fS(t)dt=Yxn=Y-xn+1=xV-xn=xex,xg(s,+s),JoS(n-l)!幺n!幺n!81这里利用了若新“。再对上式两边求导得S(x)=e

26、(1+x)9xw(s,+s)o所以F1】寸_x,1】Xi2n(n-l)!亍幺在上式中令x=2便得n1_XcX沁丿,xw(-s,+s)。1+|00YS(n-l)!下而介绍幕级数展开的其他方法。例9.2.12求f(x)=丄在x=3的幕级数展开。X解由于当|x-3|3时，成立丄_11x3+(x3)3-=2eo11+H3应用幕级数的逐项可导性质，对等式两边求导,1&z、(x-3严-ZT=2/一1)1】严。Xn=l丁是飞=工(-l)n(n+1)(J，xg(0,6)oXn=03例9.2.13将f(x)=展开成Maclaiuin级数。3+5x2x-19解应用幕级数展开式=Yxn得1-X幺仃、11f(x)=3+5x-2x-n+21(3_x)Q+2x)7(3-xl+2x丿1-2xn=0311+2_兰l+2x一亍丿丄的幕级数展开的收敛范围是（-3,3）