从点阵中的规律说起

1、PAGE PAGE 6 从“点阵中的规律”说起 张丹数学概念是抽象的，而小学生对事物的认识，是从具体到抽象、从感性到理性、从低级到高级，逐步上升、逐步发展的。小学低年级学生的思维，还处于具体形象思维的阶段，到了中高年级，虽然随着知识面的不断扩大，概念的不断增多，而不断向抽象逻辑思维过渡。但这种抽象逻辑思维在很大程度上仍要凭借事物的具体形象或表象。所以说小学生对概念的理解是一个需要不断深化分层推进的过程。笔者以北师大版五年级上册数学的点阵中的规律一课为例，从“多维对比发现规律”这一角度阐述自己的思考。观察活动应与想象活动相结合，由观察过渡到想象，培养学生的空间想象力。 A方案：引入语：看（课件出

2、示点阵）这是什么？（一个点、四个点）猜一猜接下来会出来几个点？（9个点）什么样的图？（三行三列）再接下来呢？（16个点），你有什么发现？从横竖看，探索点阵中的规律。（1）观察点阵有什么发现？预设：A、这些点阵像正方形一样，点子数能写成11、22、33、44。B、我知道第五个图是55.（A、生独立画在书上。B、课件出示校对。）（2）探索点阵间关系以及点阵个数与点的个数之间的关系。过渡句：真了不起！这种形状的点阵就是正方形点阵，你们不但用数字表示每个点阵的点数，还能用算式来表示这组点阵的规律，除了这些规律你还有什么发现？预设A、探索点阵之间的关系；（后面一个点阵比前一个点阵多1行1列。）B、 探索

3、点阵的个数与点阵中点的个数之间的关系。（nn）对比小结、揭示规律。刚才我们研究一组正方形点阵的规律，知道了每个正方形点阵的点子总数与什么有关系？（与正方形点阵每一排的点子数有关系；就是边长乘边长）师：说得真好！每个正方形点阵的点子总数可以看作是一个相同数字相乘的积，这个数字与点阵的序号有关，与每个正方形点阵每排的点子数也有关系，那么们可以用字母表示出它们的规律吗？(横竖看：11 22 33 44 nn）（4）借助规律想象更多点阵。（A、生闭眼想，老师提示想象第6个点阵，第7个点阵，生并用手势表示）B方案：1、一个点阵研究（1）根据点阵写出不同的算式导入：看（黑板上张贴9个点的点阵）这个正方形点

4、阵你想用一个什么数表示？（9）你是怎么得出9的，今天我们就通过这个点阵，看谁的方法多，能写出等于9的算式，并在你的作业纸的图上画一画。 A、生独立思考。 B、小组交流，讨论。（课件出示讨论要求：a、别人的方法你看得懂吗？说说你的想法。b、推选出组里讲的最好的同学，到班里分享。）C、汇报：预设： 横竖看：33=9 斜着看：1+2+3+2+1=9 拐弯看：1+3+5=9 3+3+3=9 1+1+1+1+1+1+1+1+1=9（A、不同算式之间进行打通，找出共同点，转为今天要研究的三种方法。B、校对后错的调整。）（2）对比小结：问：（老师手指图和算式）你们真厉害，同一个点阵图可以写出这么多的算式，那

5、谁来说说这三个算式之间有什么联系?（A、结果一样，观察的方法不一样。B、每一种方法都可以转化为几乘几的形式。）猜想推理，探究一组点阵的规律。猜想点阵。过渡句：你们能根据这个点阵写出这么多的算式，还能很好的说出他们之间的联系，真棒！那你能按照这样的规律说说它的前面和后面应该是什么样的点阵吗？预设：（A师随着生的说进行板书猜想出的点阵。B、预设：根据横竖看推出、根据折线看推出、根据斜着看推出。C、生汇报的时候，你觉得对的请做调整，不对的质疑）【评析】本课在第一次试教时我将全部的教学精力都花引导学生观察点阵的前后变化与联系上了，每组点阵一个一个图形地出示，仅让学生完成教材中的画图和填空，这样的教学非

6、常顺利，可学生的思维得到了多少提升呢？通过吕老师的指导和沙龙组的老师的讨论，我们认为学生应该还有潜力可挖，于是我们增加了思考问题的难度：“如果有2008个点，该怎样求出点阵的个数呢？”学生在思考这个问题时，必然将前面的观察活动与对后续图形的想象有机结合起来，学生的空间想象力得到了发展，因此就出现了后面教学的精彩： “nn” “这样划分以后，它们的个数就是用相邻的奇数相加了，第n个点阵就连续加n个奇数” “3+3n” “【n+（n+2）】32” ，学生自己总结出的点子个数规律。（二）、提出质疑，对比中发现规律。 A方案：师：今天我们来研究一下，请大家仔细观察，“图中有几个点阵，每个点阵各有几个点

7、?”“怎么数得这样快？有窍门吗？”每个点阵可以看成什么图形？这时学生会说：“我是用算式算出来的。”教师根据学生的回答，板书第一组算式第1个 11=1第2个 22=4第3个 33=9第4个 44=16评析：（一个“算”字，使学生的思维顺利的实现了由形 数的第一次转换。）师：“这种数法真是又快又方便！照这样下去，第五个点阵有多少个点呢？第六个呢？第七个？八个?第100个呢?”师： “好像很有规律哦？谁发现了？”评析：（有了前面的铺垫，学生很容易就总结出“第几个点阵就用几乘几”，也有的学生会说，“第几个点阵就是几的平方。”）师：那第n个点阵呢？（教师板书：n.n 也就是n的平方）你们能画出第五个点阵

8、吗？（这个画点阵的过程虽然简单，但体现了由数形的转换。培养了学生主动进行数形转换的意识。） “斜着看又可以得到什么新的算式呢？然后引导学生进行汇报。”（教师板书：第1个： 1=1第2个： 1+2+1=4第3个： 1+2+3+2+1=9第4个： 1+2+3+4+3+2+1=16） “如第2个点阵就从1加到2再加回来，第3个点阵就从1加到3再加回来，第4个点阵就从1加到4再加回来”。 “第几个点阵就从1连续加到几，再反过来加回到1”这个规律。师：刚才同学们发现了点阵中的两个规律，这些点阵中还有其它的规律吗？还能换个角度去思考吗？小组讨论，列出算是，全班汇报。有的学生可能说：“这次都是奇数相加。”教

9、师问：“从奇数几加起？加几个？是随意的几个奇数相加吗？”通过这样的提问，引导学生说出“第几个点阵就从1开始加几个连续奇数”。最后教师小结，刚才我们从三个不同角度观察同一组正方形点阵，得到了三条不同的规律，也许再换一个角度观察，还可以得到新的规律，今天暂不作研究。接下来我们一起来研究其它形式的点阵。自然地过渡到下一教学环节。【评析】按照这样的设计很快就能得出自己想要的结论，感觉一节课很顺利，但是老师讲的比较多，学生思考的空间比较少，有种“被老师牵着走”的味道，学生缺乏主动性。B方案：寻找规律。从横竖看，探索点阵中的规律 过渡句：你真了不起，根据这一个点阵推测出这么多的点阵，你能说说你是怎么想的吗

10、？预设：33，前面比它少，应该是22,11，后面比它多，就应该是44. 提问：你们听明白他的想法了吗？那你们能根据他的想法猜出第五个点阵吗？（A、指明口答，并图片展示校对55。B、推向全班，和他一样想法的举手。）提问:你们根据xx的想法推测出第五个点阵，那谁能发现这些点阵之间有什么规律吗？（A、点阵之间的关系：后面一个点阵比前一个点阵多1行1列。B、 点阵的个数与点阵中点的个数之间的关系：第几个点阵就是几乘几。）小结：刚才大家发现了这么多的规律，根据这些规律你能推出第6个点阵图有几个点子吗？是什么样的？（a.36个点子，每排有6个、有6行。b.想象：第7个呢，第8个。第9个，第n个呢？C、板书

11、：nn）斜着看，探索点阵中的规律。A、分析探索，发现规律提问：有没有和XX不一样的想法，也推测出这些点阵的？，你是怎么想的？预设：斜着看的1+2+3+2+1，前面就要比它的点子少，应该是1+2+1追问：那大家仔细观察我们班xxx写出的这些算式有什么特点？预设：都是从1开始加，都是从1加到一个数再加回1 追问：你发现了什么？（a、点阵的个数与点阵中点的个数的关系：第几个点阵就从1加到几再加回1.b、从1开始连续加，加到最长斜线上的点子数，再加回到1。C、相邻的数相差 1.）B、猜测延伸、归纳小结：问：按照XXX的这种想法和你们发现规律，你能推测出第5个点阵吗？第六个吗？第7个呢？那第n个算式呢？

12、预设：1+2+3+4+5+4+3+2+1 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1（a、第5个点阵随着学生的想课件出示校对b、第6个、7个想象，算式表示。c、板书第n个点阵：1+2+3+n+3+2+1。）拐弯看，探索点阵中的规律。A、分析探索，发现规律过渡句：刚才XX、XXX和大家用这两种方法推测出这组点阵，我们用这种方法（手指折线的方法）可以推测出来吗？（A、指明上台讲解并画出图示。 B、根据图示写出相对应的算式。）提问：根据这些算式的特点，你发现了什么？预设：都是连续的奇数相加， 都是从1开始加 每次多加2个，多一个加数（追问：你能在图上指一指多加的2是指哪里的点？生上台指一指。）第几个

13、点阵，点的总个数就从1开始连续加几个相邻的奇数。B、猜测延伸、归纳小结：提问：如果让你按照这种观察方法，你能推测出第5个点阵的点子个数吗？预设：1+3+5+7+9（随着生的口答，课件展示校对）追问：那第6个点阵呢？第7个呢？第n个呢？想象点阵，说出算式。b、归纳规律：1+3+5+（第几个点阵就加几个奇数）第n个点阵就是n个连续的计数相加。）追问：奇数的个数与最后一个奇数，有什么关系？（a、结合图去发现奇数个数的规律。b、从数列中发现奇数个数：末位奇数加1的和除以2就是奇数个数。）对比联系不同角度观察点阵，3种方法间的联系：过渡句：看、同一组点阵XX、XXX和大家得出这么多不同的算式，那这些方法

14、之间有什么相同和不同点呢？相同点：点子的总个数一样，都可以转化为几几。不同点：a.横竖看：第一个点阵的点数是11，第二个点阵的点数是22，即第几个图，点的个数就是几乘几。b.斜着看：从1开始连续加，加到最长斜线上的点子数，再加回到1，也就是中间数的平方。c.折线看：第几个点阵，点的总个数就从1开始连续加几个相邻的奇数。）对比，优化方法。问：通过刚才大家的对比，你们更喜欢哪种方法？预设：横竖看的方法。（要求学生说明理由）【评析】高年级的学生喜欢探索有趣的图形规律，喜欢富有挑战性的学习活动，他们已经具备了一定的独立自主学习与合作交流的能力，因此，根据学生的特点和需求，采用集体研讨与自主学习相结合的方式教学，为了给学生搭建探索问题的平台，鼓励学生探索和交流。我组织了学生进行小组探究，很有条理的明确探究任务后，是由学生通过观察、想象、猜测，自己归纳、总结出来各种规律，。【案例反思】“点阵中的规律”这一次磨课过程中让我悟到：为学生搭建探索问题的平台，鼓励学生探索和交流。在教学“点阵中的规律”这一教学活动时，在学生明确任务后，探索点阵中的规律时，老师只是为学生提供了探索的素材，从本节课中我们可以看到，点阵中的规律，是由学生通过观察、想象、猜测，自己归纳、总结出来的。为此，在实际教学中，我们每一位教师都应不遗余力地为学生搭建探索问题的平台，并鼓励学生能够积极探索和交流。