大学基础物理学答案 波动光学

1、第14章波动光学本章提要几个基本概念相十条件：参与叠加的两束光满足振动方向相同、频率相同、相位差恒定 的条件称相干条件。只有满足相干条件的光叠加时才能产生干涉现象。分波前法和分振幅法：利用普通光源获得相十光的方法有分波前法和分振 幅法。分波前法是在同一波前上通过波前的分割获得相十光，分振幅法是通过对 同一束光进行振幅（光强）的分割获得相十光的。光程：光走过的几何路程与路程上的介质折射率的乘积称为光程。分波前法干涉杨氏双缝干涉是利用分波前法产生干涉现象的，它是光具有波动性的经典 实验，具有十分重要的意义。杨氏双缝干涉实验的基本原理是：波长为人的自然光源通过一个狭缝后形 成狭缝光源，由狭缝光源发出

2、的光通过间距为d的双缝后形成两束相十光，这两 束相十光在屏上相遇就会形成等间距的干涉条纹。条纹间距为D。Ax =人d其中，D为双缝与光屏的距离。洛埃镜实验也是分波前法干涉实验，其重要意义在于显示了光的半波损失 现象。即光在光疏媒质和光密媒质截面反射时，光要多走或少走必2的光程。分振幅法干涉分振幅法干涉的典型例子是薄膜干涉，其又可分等厚干涉和等倾干涉两种。（1）等厚条纹当光线垂直入射在膜表面时，在薄膜表面等厚处形成相同的干涉条纹的现象 称等厚干涉。当膜两侧都是空气时，定位于膜上表面的明纹满足人 2ne + 0 = k 人k = 1,2,3,20对暗纹满足人力2ne + =（2k + 1）ik =

3、 0, 1, 2, 3,22其中，n为膜的折射率，e为膜的厚度。等厚干涉的应用有：利用劈尖干涉测量微小角度、微小长度、检验工件的平整度等。制备增加透射或反射的增透膜或增反膜。利用牛顿环测量透镜曲率半径或光的波长。（2）等倾条纹以相同倾角i入射到厚度均匀的平面膜上的光线，经膜上、下表面反射后产 生的相十光束有相等的光程差，这样形成的干涉条纹称为等倾干涉。等倾干涉条 纹是同心圆形条纹。等倾干涉的一个重要的应用是迈克耳孙干涉仪。光的衍射现象及其分类光偏离直线传播，并且在光屏上形成光强度不均匀分布的现象称光的衍 射。光的衍射现象可分为菲涅耳衍射（或近场衍射）和夫琅禾费衍射（或远 场衍射。衍射现象可以通

4、过惠更斯一菲涅耳原理来定性解释，其表述为：波前上 的各点可以看成是相十的子波波源，其后波场中的某点波的强度由各子波波源发 出的子波在该点的相十叠加来决定。夫琅禾费衍射夫琅禾费单缝衍射。应用半波带法可知，当单色光垂直入射时，衍射 暗条纹中心位置满足：a sin。= kMk = 1,2,3 明条纹中心满足：a sin 6 = （2k +1） -k = 1,2,3 2其中，a为缝宽，6为衍射角。.夫琅禾费圆孔衍射。当单色光垂直入射到通光孔半径为a的圆孔时， 设在光屏上所形成的中央亮斑（称艾里斑）的角半径为6，其满足Msin 6 = 0.61 a中央亮斑（艾里斑）的半径为MR = 0.61 fa其中，

5、f为透镜的焦距。光学仪器的分辨本领根据圆孔衍射规律和瑞利判据得最小分辨角为6 . = 0.61 最小分辨角的倒数为分辨率。生物显微镜的分辨本领由通过物镜所能分辨的两个物点的最小距离（称最 小分辨距离）来表示。理论计算得到的最小分辨距离为a0.61XAy =n sin u其中，n为物方的折射率，u为孔径对物点的半张角，nsinu称物径的数值孔径 （缩写 N.A.）。光栅衍射由许多等宽的狭缝等距离地排列起来形成的光学元件叫光栅。光栅每一条 透光部分的宽度为a，不透光部分的宽度为b，（a+b）=d称为光栅常数。光栅常数 是光栅的特征量。当用单色光入射到光栅上时，在黑暗的背景上会出现窄细明亮的谱线。缝

6、 数越多，谱线越细越亮。谱线（主极大）的位置满足d s i 前=k人k = 0,1,2,该式称为光栅方程。谱线强度要受单缝衍射调制，因而会出现缺级现象。 X射线通过晶体时会产生衍射。若各原子层（或品面）之间的距离为d，当 单色的平行X射线以掠射角9入射到品面上时，表面层原子散射的反射光和内 部原子散射的反射光满足下式时2 d si9 = k 人k = 1,2,3在9方向上就会因各反射光相互干涉增强而出现亮点。该式称为晶体衍射的布喇 格公式。光的偏振根据光矢量的振动情况，光可以分为非偏振光（无偏振）、偏振光（线偏 振、椭圆偏振、圆偏振）和部分偏振光。自然光是非偏振光。可以通过具有二向色性的偏振片

7、产生和检验偏振光。偏振光通过检偏器后，其光强服从如下的马吕斯定律：I = I cos2a其中，I为通过检偏器后的光强，I是通过检偏器前的光强，a是偏振光与检偏 器偏振化方向的夹角。0自然光通过双折射品体后会产生偏振的。光和e光，利用双折射品体制成 的尼科耳棱镜也可以产生偏振光。当自然光在任意两种各向同性的介质分界面上反射和折射时，反射光和折 射光都是部分偏振光，特别是，当光从折射率 的介质射向折射率为n2 的介质时，若入射角满足下述关系, - ntani = tB ni时，反射光成为振动方向垂直于入射面的完全偏振光。该关系式称为布儒斯特定律，式中的角称布儒斯特角或起偏角。思考题9-1在双缝干涉

8、实验中（1）当缝间距不断增大时，干涉条纹如何变化？为什 么？（2）当狭缝光源在垂直于轴线方向上向下或向上移动时，干涉条纹将如何变 化？答：（1）根据双缝干涉中相邻条纹的间距公式可知，随着缝间距的增大， 干涉条纹的间距会变窄。（2）当狭缝光源在垂直于轴线方向上移动时，干涉条纹也会随着在垂直轴 线方向移动，方向与光源移动方向相反。9-2将双缝实验装置放进水中，条纹间距将发生什么变化？答：由于水的折射率大于空气的折射率，所以，光在水中的波长变短。根据 双缝干涉中相邻条纹的间距公式可知将双缝实验装置放进水中，条纹间距会变 小。9-3在双缝干涉实验中，如果在上方的缝后面贴一片薄的透明云母片，干涉 条纹的

9、间距有没有变化？中央条纹的位置有没有变化？答：如果在上方的缝后面贴一个云母片，则从上方缝中出射的光线的光程会 发生变化。设云母片的折射率为，厚度为h，则两束光的光程差为d5 = -h（n -1） + xD其中，d为两缝的距离，D为缝与屏的距离，X为屏上相邻两点的距离。当在屏上出现亮条纹时，满足(k = 0,1,2,.)d5 = -h（ n- 1 * 一 x=笼 D从中可以看出，相邻两条纹的距离为软=X D d即条纹间距没有发生变化。令k等于零，由上式可知x 0，即中央亮条纹向上 方移动。9-4用两块玻璃片叠在一起形成空气劈尖观察干涉条纹时，如果发现条纹不 是平行的直线，而是弯曲的线条，试说明两

10、个玻璃片相对的两面有什么特殊之处?答：说明两个玻璃片相对的两面至少有一面不平整。9-5在日常经验中，为什么容易发现声波的衍射而难以发现光波的衍射？答：根据衍射原理，只有当狭缝或者障碍物的大小与波长可比时，才会形成 衍射现象。光波波长短，日常的狭缝或障碍物的尺寸远远大于光波波长，因而难 以发现光波的衍射；而声波波长可与日常狭缝或障碍物的尺寸相比，所以更容易 发生衍射。9-6在观察夫琅禾费衍射的实验装置中，透镜的作用是什么？答：在实验中使用了两个透镜，一个用来将线光源扩束成平行光束，另一个 用来将衍射后的光束会聚到观察屏。9-7在单缝夫琅禾费衍射中，如果将单缝逐渐加宽，衍射图样会发生什么变 化？答

11、：随着单缝的加宽，衍射条纹间距变小，衍射现象变得不明显。当缝宽远 大于波长时，衍射条纹密集到无法分辨，只显示出单一的明条纹。9-8如何用实验判断光束是（1）线偏振光；（2）部分偏振光；（3）自然光？答：用一个偏振片（检偏器）以光的传播方向为轴转动，若出射光强不发生 任何变化，则该光束是自然光；当将偏振片旋转一周后，若出射光强有两次达到 最大，有两次完全消光，则该光束是线偏振光；若偏振片旋转一周时出射光强发 生了改变，但没有出现消光现象，则该光束是部分偏振光。9-9当一束光入射到两种透明介质的分界面上时，发现只有透射光而无反射 光，试说明这束光是怎样入射的?其偏振状态如何？答：这束光是以布儒斯特

12、角入射的，其偏振方向与入射面平行。练习题9-1在杨氏实验中，用波长为632.8nm的氦氖激光束垂直照射到间距为 1.14mm的两个小孔上，小孔至屏幕的垂直距离为1.50m。试求在下列两种情况 下屏幕上干涉条纹的间距：（1）整个装置放在空气中；（2）整个装置放在n=1.33 的水中。解：设两孔间距为d，小孔至屏幕的距离为D，装置所处介质的折射率为n， 则两小孔出射的光到屏幕的光程差为5 = n（r - r） = nd 三所以相邻干涉条纹的间距为A D人Ax dn（1）在空气中时，n = 1。于是条纹间距为D 1.5,Ax = X=x 632.8 x 10-9 = 8.32 x 10-4（m）d1

13、.14 x10-3（2）在水中时，n = 1.33。条纹间距为=6.26 x10-4（m）A D 人1.5 x 632.8 x10-9Ax d n1.14 x10-3 x1.339-2在杨氏干涉装置中，已知双缝的间距为0.342mm，双缝至屏幕的垂直距 离为2.00m。测得第10级干涉亮纹至中央亮纹之间的距离为3.44cm，试求光源 的单色光波长。解：在杨氏干涉装置中，两束相十光的光程差为，8 d D根据出现亮条纹的条件，对第io级亮条纹，k取io,于是有 0 xd = 10 人D 0带入数据得3.44 x 10 -20.342 x 10-3 x10人20由此解出人 = 588.24nm9-3

14、将很薄的云母片3=1.58)覆盖在双缝干涉实验装置的一条缝上，利用波 长为550.0 nm的光源，观察到干涉条纹移动了 9个条纹的距离，试求该云母片 的厚度。解：设云母片厚度为h，覆盖在双缝中的光路上，此时两束相十光的光程 差为d8 r - (nh + r - h) = -h(n 一 1) + k X当没有覆盖云母片，两束相十光的光程差为8 = r - r = D kX因为条纹移动了9个，则k - k = 9由、两式得h(n -1) 9X由此可得云母片的厚度为=8.53 x10-6（m）9X _9x550.0 x10-9 顽 1.58 19-4将两块平板玻璃叠合在一起，一端互相接触。在距离接触

15、线为乙=12.40cm处将一金属丝垫在两板之间。用波长为546.0nm的单色光垂直入射到 玻璃板上，测得条纹间距为/=1.50mm，试求该金属细丝的直径D。解：如图9-1所示，设相邻两条纹对应高度差为ke，则入 X546 x 10-9ke 2.73 x 10 -7 (m)2n2根据由几何关系易得ke DT L于是八 L、0.124D = 一 ke =x 2.73 x 10 -7l 1.5 x 10 - 3=2.26 x 10-5 (m)图9-19-5 (1)将一个平凸透镜与一 个平板玻璃完全接触，两者之间充 满空气，构成一个观察牛顿环的装 置。利用波长为589nm的单色光 源，测得第k个暗环的

16、直径为0.70 mm，第k+15个暗环的直径为2.20 mm，试求透镜凸面的曲率半径；(2)如果间隙间充满折射率为1.33的水，则上 述两个暗环的直径变为多大？解：(1)在牛顿环装置中，暗环的半径表示公式为r = x：kRk其中，人为真空波长。根据已知条件可得kRX = r 21(k + 15)R 人=r;联立上两式可得R = Z = (1x 10 -3)2-(0.35 x 10 -3)2 = 0.123(m)15 人15 x 589 x10-9(2)若间隙充满折射率为1.33的水，暗环的半径为kRkr =、：一 n所以，第k和第k +15级暗环的直径分别为D% = = 0.607(mm)2.

17、2D = 1.908(mm)k+15 v1.339-6波长范围为400700nm的白光垂直入射到肥皂膜上，已知肥皂膜的厚度 为0.55pm，折射率为1.35，试问在反射光中哪些波长的光得到增强？哪些波长的光干涉相消？解：设膜的厚度为d，折射率为。在肥皂膜第一个面和第二个面上的反射 光的光程差为5 2nd + 92当反射光干涉增强时，满足人2nd + f 砍k 1,2,3,2 o当干涉相消时，满足2ne + h (2k +1)孔k 0, 1, 2, 3,22利用上述关系，分别取将k=1、3、4,可以算出在400700nm范围内，干涉增 强的光为k 3人5 9 4 ( n m)k 4人0 4 2

18、4. 3(nm)干涉相消的光为k 3人4 9 5 ( n m)9-7在夫琅禾费单缝衍射实验中，以波长为589nm的平行光垂直照射到单缝 上。若缝宽为0.10m，试问第一级极小出现在多大的角度上?若要使第一级极小 在0.50的方向上，则缝宽应多大？解：根据夫琅禾费单缝衍射出现暗纹的条件a sin。= k人k = 1,2,3 令k=1可得第一级暗纹的角位置。再考虑到小角度时sin 00，可得第一级极 小的衍射角为=5.89 x 10-6 (rad) 0.10n 人 589 X10-9 0 a则缝宽为若0 051 = 8.72 X10-3 (rad)，180589 X10-9=6.75 x10-5(

19、m)入Z7 a08.72 X10-39-8用水银灯发出的波长为546nm的绿色平行光垂直入射到一个单缝上，置 于缝后的透镜的焦距为40cm，测得第二极小至衍射图样中心的线距离为0.30cm。 当用未知波长的光作实验时，测得第三极小至衍射图样中心的线距离为0.42cm， 试求该光的波长。解：根据夫琅禾费单缝衍射出现暗纹的条件a sin。= kMk = 1,2,3令k=2得第二级暗条纹的衍射角满足的条件为a sin 0 = 2M由此可知第二级暗纹与中心明纹的距离为x = f tan 0 浇 f sin 0 = f ” a其中，f为透镜的焦距。由上述关系可得单缝的宽度为a = 1.456 x10-4

20、(m)同理，对第三级暗纹，k=3，第三级暗纹与中心明纹的距离为x = f tan 0 浇 f sin 0 = f a将x=0.42cm和a = 1.456x 10-4m等参数带入可得入射光的波长为xa0.42 x10-2 x1.456 x10-4M =509.6(nm)3 f3 x 40 x10-29-9氦氖激光器发出波长为632.8 nm的红光，使其垂直入射到一个平面透 射光栅上。今测得第一级极大出现在38。角的方向上，试求这一平面透射光栅的 光栅常量d为多少？该光栅在1cm内有多少条狭缝？解：根据光栅方程(k = 0,1,2,.)取k=1得光栅常量d为6 3 2. x8-1 0土 02&-

21、10 (m) sin 3 8在1cm内的狭缝数为N = 1 = 9.73 x 103(cm-1)d9-10用波长为589.3 nm的钠黄光垂直入射到一个平面透射光栅上，测得第 三级谱线的衍射角为10。11，。而用未知波长的单色光垂直入射时，测得第二级谱 线的衍射角为6。12二试求此光的波长。解：根据光栅方程d si0 = k M( k = 0,1,2,.)当k = 3时，可得光栅常量为d = 4= 3邳8*3 如1-0 (，m) si0 sin 10 11对于未知光源，已知第二级谱线衍射角为6。12,，则入射光的波长d sin 01.0 x10-5 sin 612X= = 540(nm)k-9

22、-11在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距1.2m。问汽车距离人多远时，人 的眼睛恰好能够分辨这两盏前灯?设夜间人眼瞳孔的直径为5.0mm，入射光波长 为550nm，而且仅考虑人眼瞳孔的衍射效应。解：由于人眼的最小分辨角为0min = 122 D带入数据可解得人550 x 10-90= 1.22 一 = 1.22 x= 1.342 x 10-4 (rad)minD5 X10-3设两个车灯对人眼的张角为0，两盏前灯的间距为l，车灯到人的距离为L，0_10 L按题意当0= L=0min时人眼恰好能分辨这两盏灯，据此可解得=8.94 x 103(m)l _1.201.342 X10-4min9-12 一台生物显微镜物镜的数值孔径为0.25。若光波的波长为550nm，试问 该生物显微镜可分辨的最小距离是多少？解：根据显微镜最小分辨距