普通物理力学例题的总结

1、普通物理力学例题的总结x = -4 时，t = 2质点的运动轨道方程为：xyO以及 x =-4 t 0)粒子的速度、速率、加速度。例2：一质点运动函数为(SI)，求质点的运动轨道速度：速率：加速度：例：己知一质点按顺时针方向沿半径为R 的圆周运动。其路程与时间关系为(V0 、b 为常数)求: (1) t 时刻, 质点的加速度(2) t =? 时, ，此时质点己沿圆周运行了多少圈?(3) 质点何时开始逆时针方向运动?解:(1) 大小:方向:mo.t 时刻路程：(3) 由前面a t = - b 可知, 质点作减速率圆周运动。当 V 减到 0 值时，质点将终止顺时针转，而开始逆时针转。此时刻记为 t

2、 也正是前求 a = b 的时刻 t 。例：雨天一辆客车在水平马路上以 20 m/s 的速度向东 开行，雨滴在空中以 10 m/s 的速度垂直下落。 求：雨滴相对于车厢的速度的大小与方向。解：已知方向向东方向向下所以雨滴相对于车厢的速度大小为 22.4 m/s，方向为南偏西 。例：一人骑车向东而行，当速度为10 m/s时感到有南风，速度增加到15 m/s时，感到有东南风，求风的速度。解：xy10 m/s南风45m/s = 2715 m/so？考虑：在不同的参照系, 对同一质点的运动状态进行描述设 t = 0 时，两坐标系原点重合。t 时刻的运动情况如下：例：一列车（S 系）相对于地面（S系）作

3、匀速直线运动, 一人在 车厢内运动 。分别在 S、S系分别对其进行描述。S 相对 S 平动速度为 uAABrr r0OOxx y yS 系S 系u位矢变换关系式:两边微分再对上式求导得绝对速度=相对速度+牵连速度我们能看出什么？位移变换关系式:例：质量都等于 m 的二物 A 和 B由两根不可伸 长的轻绳和两个不记质量的滑轮 I、II 连接。 求: A、 B 二物的加速度和两绳的拉力。ABIIIT1T2a1a2AmgT1a1BmgT2a2T1T2T2解：隔离物体，分别做受力分析：列动力学方程：A： mg - T1 = ma1B： mg - T2 = ma2滑轮 II： T1 = 2 T2A、B两

4、物关联： a2 = -2a1求解.xmgT例 2：质量为 m 的物体通过不可伸长的轻绳和不记质 量的滑轮与弹簧（弹性系数 k）连接，初始时刻 物体静止，弹簧为原长,让物体自由下落。 求: 物体的速度随位置变化的关系。解：mg - T = ma列动力学方程：T = kx解: 二维空间的变力情况。(1) 选 m 为研究物体；(3) 分析受力(2) 建坐标 xoy；vx 0=v0 cosf vy 0=v0 sinf初始条件：t =0 时x = 0，y = 0 xyom例：有阻力的抛体问题：质量为 m 的炮弹，以初速度 v0 与水平 方向成仰角 射出。 若空气阻力与速度成正比，即求: 运动轨道方程 y

5、(x)= ?(4) 列方程:分量方程分离变量分别积分(5) 解方程:消去 t ，得轨道方程：再次积分得得例 ：一根不可伸长的轻绳跨过固定在 O 点的水平光滑细杆，两端各系一个小球。a球放在地面上，b 球被拉到水平位置，且绳刚好伸直。从这时开始将 b 球自静止释放。设两球质量相同。求：(1) b 球下摆到与竖直线成 角时的 v ； (2) = ? a 球刚好离开地面。aOb(1) B的运动：解：aOb选自然坐标系列分量方程：a 球离开地面前 b 做半径为 lb 的竖直圆周运动。由切向方程式得：(2) a 的受力和运动：mgNT当 T = mg 时，a 球刚好离地。由法向方程式得：例 5：一匀质细

6、绳，质量 m，长 L，一端固定在 O，另一端有一 质量为 M 的小球，其在光滑水平面上以 绕 O 点旋转。 求: 绳上各点的张力。LOM隔离物体法分析绳上一小段 dm 的受力解 I：rrr+rLT(r)T(r+r)绳上张力是距 O 点距离 r 的函数: T(r)动力学方程：求解每点（无限小，m-0）合张力为0.解 II：绳某点 r 的张力可理解为此点以外各小段分别所受向心力的代数和。微元 r:r+rrrirrrLT(r)牛顿运动定律建立坐标系，取 r 处 dr 长的一微元，其作圆周运动所需向心力为：总向心力为：例： 质量为M，倾角为 的斜面放在光滑的水平桌面上，斜面光滑，长为l，斜面顶端放一个

7、质量为m的物体，开始时斜面和物体都静止不动，求物体从斜面顶端滑到斜面底端所需时间。其中 maM 就是惯性力。而 mg 和 N 是真实力。分析物体受力物体相对于斜面有沿斜面方向的加速度a 解：以斜面为参考系(非惯性系）， maMNmg当 m 滑下时，M 加速度方向如图：aM垂直于斜面方向: N-mgcos+maMsin=0 分析M(相对惯性系)运动，水平方向： N sin=M aM由此解得相对加速度 a=(m+M)sing / (M+msin2)列方程:沿斜面方向: mgsin+maMcos=ma方向例：水桶以 旋转，求水面形状？解：水面 z 轴对称，选柱坐标系。任选水面一小质元，其在切线方向静

8、止。rz在旋转参考系中，做受力分析：mgmr2N切线方向：抛物线方程解：(1) 例: 已知 m 在水平面内作半径为 R 的匀速率圆运动， (R, v) 已知， 求：(1) A 到 B 时动量的改变， (2) A 到 B 时向心力平均值及方向。xOyAB (2) 建坐标系，规定正方向解：子弹 m 在枪内水平只受力 F(t)，加速时间 0 t (N) 例: 已知子弹在枪筒内受到推进力 x0tO 其加速过程 v0 = 0 到 v = 300 m/s 求：子弹质量 m = ?子弹在枪筒内加速时间 t = ? h1 h2y例：一质量 m =1010-3 kg 的小球，从 h1 = 0.256 m 的高处

9、由静止下落到水平桌面上，反跳后的最大高度 h2 = 0.196 m ，接触时间,求小球和桌面碰撞时对桌面的冲量是多少？若接触时间为(1)=0.01s，(2)=0.002s, 试求小球对桌面的平均冲力。解 I：mgNmv1mv2(N mg ) = mv2 (mv1)小球和桌面碰撞时对桌面的冲量I =N = mg + = 0.01 sI = 4.3102 NSN = 4.3 (N) = 0.002 sI = 4.22102 NSN = 21.1 (N)重力的40多倍重力的200多倍小球自重（0.1N)利用冲量定理解题时一般可忽略物体自身重力产生的冲量。解 II：将动量定理应用于整个过程设下落时间为

10、 t1,上升时间为 t2,N mg ( t1+ + t2 ) = 0I = N = mg ( t1+ + t2 ) h1 h2ymgN例：绳子跨过定滑轮，两端拴有质量为 m 和 M 的物体，M m , M 静止在地面，当 m自由下落 h 后，绳子被拉紧，M 刚好离开地面，求绳子刚拉紧时，m 和 M 的速度及 M 能上升的最大高度。Mmh解： m 自由下落h后速度Tmgmv0mvmpTMgMvMpym:M:vm = vM = vmg T = m aT Mg = M aM 匀减速运动0 = v22aHRyxCo解：dm =l dl l = m / (R) 例: 求均匀半圆铁环的质心（半径为R）.d

11、由对称性: xC=0 , 取长度为 dl 的一段铁丝, 以 l 表示线密度dldm例： 弹性力的功。以弹簧原长为坐标原点，计算 m 由 x1 x2 弹性力的功。x1x2x 0m由此式可见,弹力的功只与小球的初末位置有关,而与移动的中间过程无关,例如若先将 m 从 x1 点向右拉伸，然后再压缩至 x2 点, 弹力的功仍为上式hh1h2ab解：m 受力和重力方向如图， 例： m 沿曲线由a b, 求重力的功jimg与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的起末位置，与中间过程无关。h0h1解：建立如图所示 h 坐标系，取离地面 h 处厚度为 dh 的一层水。将这层水吸到地面需克服重力所作元功为：

12、hdhh0例： 地下贮水池横截面 S，池贮水深度 h1，水平面与地面间距 h0。 求：将池中水全部吸到地面所需作功 A。思路：将池中水全部吸到地面所需作 总功等于将每一层水吸到地面 所需元功的代数和。总功：例： 长度为 L、质量为 M 的均匀链条，置于水平光滑桌面上。开始时，有少部分链条（长度为a）下垂在桌外。在重力作用下，链条下落。求：当链条尾端刚刚离开桌面时的速率 v = ?解:建立坐标系 , 下端点坐标为 x 时a L，M光滑0axx思路：链条下落是重力做功的结果，当下落长度变化时,重力大小也变化，因此为变力做功。下落部分所受重力为：在此下落部分重力作用下链条向下运动 dx 所作元功：总

13、功由动能定理例: 质量为 m 的小球经长为 l 的摆线悬挂于固定点 O，开始时把小球拉到水平位置, 并自由释放， 求摆线下摆角为 0 时小球的速率 v。O0lABdrdmgT解： 外力为绳子张力和重力，绳子张力始终与位移垂直，不作功。mg l sin0 = mvB2 0 由动能定理例1：均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量三、几种典型刚体的转动惯量RmCdm相当于质量为 m 的质点对轴的 J如果在 R 处有一质量为 M 的均匀圆环与此圆环轻质杆刚性连接，此系统对转轴的转动贯量为：例2：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量RmCdJ = r2 dm解：在圆盘上取 r 处 dr 宽的一圆环，其 转动惯量

14、为：思路： , 圆盘对中轴转动惯量可看 成圆盘上分割出的无数圆环对中轴 转动惯量的代数和。rdrCr比 R 处质量为 m 的均匀圆环中轴的转动惯量小如果在圆盘上离中心周距离为 R 处放一质量为 M 的物体，此系统对中心轴的转动惯量为：例3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量CAmL2L2xdxx0对质心轴，建立如图坐标系，取 x 处 dx 小段：利用平行轴定理：例： 求均匀圆盘对于通过其边缘一点 O 的平行轴的转动惯量: R C mO利用平行轴定理：得：问题：一质点相对于一转轴有无转动惯量？问题：转动系统的转动贯量是否会变？例：某飞轮直径 d=50 cm, 绕中心垂直轴转动，转动惯量 J=2

15、.4 千克米2, 转速 n0 = 1000 转/分，若制动时闸瓦对轮的压力为 N = 50千克力，闸瓦与轮间的滑动摩擦系数 = 0.4。问：制动后飞轮转过多少圈停止？fd解：(1) 求 （2）求圈数例 2：如图，设滑块 A，重物 B及滑轮 C 的质量分别为 MA，MB，MC。滑轮 C 是半径为 r 的均匀圆板。滑块 A 与桌面之间，滑轮与轴承之间均无摩擦，轻绳与滑轮之间无滑动。求:（1）滑块 A 的加速度 a （2）滑块 A 与滑轮 C 之间绳的张力 T1， （3）滑轮 C 与重物 B 之间绳的张力 T2。ABCT2 MCg T1 N解：T1MAgNAT2MBgB解方程得：T2 MCg T1

16、NT1MAgNAT2MBgB例3:己知：质量为 m、径为 R 的均匀圆盘。初角速度 ,绕中心轴逆时针转动。空气对圆盘表面单位面积的摩擦力正比其线速度,即 。不计轴承处的摩擦。求：圆盘在停止转动时所转过的圈数 N=?m O解：用积分法求力矩：在圆盘上选取半径为 r、宽度为 dr 的圆环，圆环上的质元具有相同的线速度 v。则作用到圆环上的元阻力大小为:rdS思路： 变力矩问题，应用转动定理，积分求解； 力在圆盘上有一分布，积分法求合力矩。考虑盘的上下表面，故元阻力矩大小为：总阻力矩利用刚体定轴转动定律分离变量，并积分：例 4：均匀直杆 M ，长为 l，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。一

17、子弹质量为 m，以水平速度 v0 射入杆下端而不复出。求子弹和杆一起运动时的角速度。解: 考虑以子弹和杆组成的系统，所受外力（重力和轴支持力）对转轴的力矩为零， 角动量守恒:mM lv0问题：如果不是杆，而是用绳悬挂一重物 M， 碰撞过程中是什么守恒？为什么？注意质点对轴的角动量的表达方式:例5：质量为M，半径为 R 的水平放置的均匀园盘，以角速度 1 绕垂直于园盘并通过盘心的光滑轴，在水平面内转动时，有一质量为 m 的小物块以速度 v 垂直落在园盘的边沿上，并粘在盘上，求：（1）小物块粘在盘上后，盘的角速度 2 = ？（2）小物块在碰撞过程中受到的冲量 I 的方向及大小。mvRM解: (1)

18、 以 m, M为一个系统，过程中其 所受合外力矩为零，角动量守恒碰前m对轴的角动量为零，但其动量不为零。（2）求 I 应用动量定理碰撞前后 m 动量方向不同，分方向讨论。讨论：1）碰撞过程中动能是否守恒？2）角动量守恒时，动量不一定守恒。方向向上方向沿切线解：杆地球系统，+只有重力作功， E守恒。初始： Ek1=0， 令 Ep1=0例6：均匀直杆 m ，长为 l，初始水平静止，轴光滑，AO = l /4。求杆下摆 q 角后，角速度 w =?轴对杆作用力 N =?末态：则：由平行轴定理解得：另解（功能定理）：应用质心运动定理：解得：解：例 7：如图，一匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑的中心垂直轴旋转

19、，初始时，圆盘处于静止状态，一质量为m 的粘土块从 h 高度处自由落下，与圆盘碰撞后粘在一起，之后一起转动。已知：M = 2m , = 600求： (1) 碰撞后瞬间盘的 0 = ? (2) P 转到 x 轴时的 = ? = ?（1） m 自由下落碰撞 t 极小，对 m + 盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：动量不守恒？对m + M +地球系统，只有重力做功，E守恒，（2）P、x重合时EP=0 。令smMRkm1 h例8：匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转，轻绳跨过圆盘一端与弹簧相连，另一端与质量为 m 的物体相连，弹簧另一端固定在地面上，轻绳与盘无滑动，系统处于静止状态，此时

20、一质量为 m1 的小物块从 h 高度处自由落下，与 m 碰撞后粘在一起。求：m 下降的最大位移 s 。解： 自由落体，碰时角动量守恒，碰后机械能守恒最大位移 sl, mv0m例 1：一光滑水平面上静放一长为 l，质量为 m 的细直杆，今有一质量也为 m 的质点，在与杆垂直的方向上以 v0 运动，并在杆的一端和杆发生完全非弹性碰撞，求(1) 碰后质心的速度和转动的角速度；(2) 碰撞过程中损失多少机械能。解 (1) 碰前后动量守恒，思路：考虑质点和杆组成的系统（质点系）碰撞时水平方向有无外力？水平方向无外力，故质点系动量守恒。质点系转动过程中转动方向上有无外力矩？无，惯性系中质心角动量守恒。碰前

21、后角动量守恒，对质心：(2) 碰前后损失机械能为：例 2： 半径为 R 质量为 m 的均匀实心圆柱体，沿倾角为 的斜面无滑动滚下，求圆柱体的受力大小及质心的加速度。解: 对质心的平动，刚体的滚动可看作随质心平动和刚体绕质心轴转动的两运动的叠加。平动满足质心运动定理，转动满足转动定律。对纯滚动，满足 vc = R， ac = R，即滚动的刚体与支撑面接触线上的各点的瞬时速度为零，该线为瞬时转轴。mgfN对绕质心的转动，刚体的滚动可看作刚体随质心平动和绕质心轴转动的两运动的叠加。平动满足质心运动定理，转动满足转动定律。在纯滚动中，除对质心外，还能对哪条轴应用转动定律？力学总结滚动中的摩擦力：滑动、静摩擦力；向前、向后？此题滚动过程中，机械能是否守恒？其滚动动能怎么表达？刚体的纯滚动可以看做是绕瞬时轴的转动，如果支撑面是固定在惯性系上的，也可以对瞬时轴应用转动定律。纯滚动中刚体与支撑面接触处的速度为零，作用于刚体的为静摩擦力，不做功，机械能守恒。滚动动能为：定轴ORthmv0=0绳解： 轮与 m 为联结体，轮为定轴 转动、m 为平动，二者用绳联系起来。m 的速度大小与轮边缘线速度大小相等。mgT = - Tm例 3.己知：定滑轮为均匀圆盘，其上绕一细绳，绳一端固定在盘上，另一端挂重物 m。绳与轮无相对滑动，绳不可伸长。轮半径 R = 0.2m，m = 1kg, m 下落