辽宁沈阳二中2015届高三12月月考数学文试题版含解析人教A版

1、沈阳二中20142015学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收高三（15届）数学（文科）试题【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、圆锥曲线、导数、充分、必要条件、集合、频率分布直方图与概率等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.第I卷（60分）【题文】一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每

2、题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上 .）3 3【题又】1 .已知R是实数集，集合M=1x|31b N=yy = x + vx 2则X x J,I N &M）=（）A.0,2B,2,二） C.（-二,2D,2,3【知识点】集合的运算 A1【答案】【解析】D3斛析：因为 M = 4 x 1 b = x x 3）,CrM =x0MxM3, I x JN= y =x +/x_2 = y|y 2）,所以 N Q（CRM 尸 12,3，则选 D.【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行运算【题文】2.通过随机询问110性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表

3、：男女总计爱好402060不爱好203050总计60501102 一由 K2 =n(ad bC)，算得 K2 定7.8 附表:(a b)(c d)(a c)(b d)一 2 一P(K 之 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为爱好该项运动与性别有关B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为爱好该项运动与性别无关C.有99%以上的把握认为爱好该项运动与性别有关 ”D.有99%以上的把握认为爱好该项运动与性别无关 ”【知识点】独立性检验的应用 I4解析：因为k2定7.8 6.635, 有0.0

4、1=1%的机会错误，即有 99%以上的把握认为爱好这项 运动与性别有关”，故选C.【思路点拨】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于6.635,得到有99%以上的把握认为 爱好这项运动与性别有关【题文】3.已知 口 w (0, n ), cos +) =_12 ,则 tan2ot =() TOC o 1-5 h z 32A.gB. %；3 或.C1D.【知识点】三角函数的求值 C7【答案】【解析】C2一 二3 二二5 二一 5 二，、11二斛析：因为 cos +)=-,所以 a + =或ot + =,得=或,则3234341212tan 2

5、 =-彳，所以选C.【思路点拨】抓住所给的三角函数值是特殊角的三角函数值是本题的关键【题文】4.已知两个不同的平面 ot、P和两个不重合的直线 m、n,有下列四个命题:若 m/n, m_La,则n_Lu；若 m_Lu, m_L 口,则口/B ;若 m_L % m/n,nu P,则久 _L P ；若 m/u,u c P = n,则m/n.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5【答案】【解析】D解析：若m/n,m，,则n，a；由线面垂直的性质可知正确；若m_L%m_L B,则a/B ；由平行平面的性质可知正确；若 m_La,m/n,则n, a ,又n

6、仁P,则a _L P ,所以正确；若 m/a,a c P = n,则m/n .因为m与n还可以异面,所以错误，综上可知选D.【思路点拨】判断平行于垂直位置关系，可用已有的定理或性质直接判断，或用反例法进行排除.【题文】5.下列说法中，正确的是()A.命题 若am2 bm2,则a ”的否定是：任意xwR, x xW”C.命题“或q”为真命题，则命题 “6和命题 飞均为真命题D,已知xR,则x1是为 2 ”的充分不必要条件【知识点】命题充分条件、必要条件 A2【答案】【解析】B解析：对于A,当m=0时逆命题不成立；对于 B,又特称命题与全称命题的关系知显然成立； 因为只有一个选项正确，所以选B.【

7、思路点拨】判断命题的真假可用反例法进行排除，也可直接利用已知结论或性质进行判断【题文】6.点(a,b四直线x+2y = 3上移动，则2a +4b的最小值是()A.8B. 6C.4 2D.3 2【知识点】基本不等式 E6【答案】【解析】C解析：因为2a +4b =2a +22b之2。尹 :2亚=42 ,当且仅当a=2b时等号成立，所以【思路点拨】利用指数的运算发现所求式子两个加项之积为定值，直接利用基本不等式求最 值即可.【题文】7,直线l： y=k(xJ2)与曲线x2 y2 =1(x0 )相交于a、B两点，则直线l倾斜角的取值范围是()A. 10,二B.在I I（一2）（2力 TOC o 1-

8、5 h z 【知识点】直线与双曲线的位置关系H8【答案】【解析】B解析：因为曲线x2 y2 =1(x 0)的渐近线方程为y=x,若直线l： y=k(xj2)与曲线22x -y =1(x0 )相交于A、B两点，则kv-1或k1,而直线l的斜率存在，所以二 3 二,I- - I则选B.12, 4 J【思路点拨】一般遇到直线与双曲线的位置关系时，注意结合其渐近线解答【题文】8.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 2二 8 B. 8二 8 C, 4二 8 D. 6二 8【知识点】三视图 G2【答案】【解析】A解析：由三视图可知该几何体上面为两个半圆柱，下面为一个长方体，所以其体积

9、为n 父12 M2+2M4M1 =2n +8 ,则选 A.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是正确分析原几何体的特征，熟悉常见的几何 体的三视图特征是解题的关键 . TOC o 1-5 h z 【题文】9.若不等式2Wx22ax+aw 1有唯一解，则a的取值为（）A -1 -而b 1 -运 c 一1 土芯 D 1土通22.22【知识点】一元二次不等式与二次函数的关系E3【答案】【解析】D解析：若不等式2wx22ax+aw 1有唯一解，则 x22ax+a=1有相等实根，所以2154a2 -4（a+1 ）=0,解得 a=-,所以选 D.【思路点拨】遇到一元二次不等式的解集问题，可结合其对应的

10、二次函数的图象进行解答.uir uun【题 文】 10.已 知 向 量OA与OB的 夹 角 为uuruuuuuu uur uuuuuu uur仇OA =2, OB =1,OP=tOA,OQ = (1 -t JOB, PQ, 1在t0时取得最小值，当0 t0 一时,5夹角e的取值范围为（冗）r冗冗）A 10 B I ,33,2【知识点】向量的数量积【答案】【解析】C二 2 二2 二C. 2, 3 D. 0, 3F3解析：因为OA,OB =2cose ,乱乱二 1-t 君一tOA.TQ2 2=PQ= (5+4cos9 X2 (2 + 4cos9 )t +1,所以x 1 2cos 口八 1 2cos

11、 1 /曰 1八 二.2 二t0 =凸，则0凸 ，得cos80.若方程3f (x) =x恰有5个实数解，则 m的取值范围为()A q访8 B.公府/ ,W7I 33JI 3 J【知识点】函数与方程 B9【答案】【解析】BD.解析：因为当xC (-1,1)时，将函数化为方程22 yx +J=1(y之0),为一个半椭圆，其图像 m如图所示，同时在坐标系中作出当 x (1,3)的图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像,2 x 2 y22 yx-8 二 m由图易知直线y=,与第二个椭圆(x-4)十今 =1(y至0)相交，而与第三个半椭圆x ,、= 1(y 0 )无公共点时，万程恰有5个实数解，将y

12、=一代入32 TOC o 1-5 h z 2 y_一_2.2222 .一(x-4 ) += 1y 0得(9m +1 )x -72m x+135m =0 ,令 t=9m (t 0),则 m222(t +1 )x -8tx+1 5t= 0 = (8t ) 4M15t(t+1 )0 ,得 t 15,所以 9m 15 ,又= 1(y之0 )无交点，0,得m ,同样由y =与第二个椭圆(x -8 ) + 233mm-7,综上可知m理3币,所以选B.12 3 4I x6 7 8 9 Y通常利用数形结合进【思路点拨】一般遇到方程的根的个数或函数的图像的交点个数问题, 行解答._ x a _f(x) =|e

13、, x |(a R) 、 01L【题文】12.函数e在区间01上单调递增，则a的取值范围是()1 -a - ，eA aw L1,1B.aw1,0C aw0,1 D e 【知识点】函数的单调性 B3【答案】【解析】A2x TOC o 1-5 h z x a x a e -ax a斛析： 令 y=e + , y =e -= 2, 所以当 a0 时，函数 y = e+ x 在 ee ee1ln a 上单调递减，在1111n a +馅1上单调递增，若函数在所给区间上单调递增，则.，2.2-1xx a ,-1n a 0 ,得0v aw 1,当a=0时f （x ） = e显然满足题意，当 a0时，函数y

14、= e + 在2eR上单调递增，由ex+弓=0得x =1n J二0则函数y = ex 十月 在（一笛,1n）上单调递ee减，在（1nJ, ）上单调递增，则有1n7a 0,得-1wav0,综上可知实数 a的范围是a 二!1 1,11 【思路点拨】含绝对值的函数的单调性，可考虑先分段讨论去绝对值再判断单调性，也可直接判断绝对值内部对应的函数的单调性进行解答第n卷 （90分）【题文】二.填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.【题文】13.已知F是抛物线y2=x的焦点，A,B为抛物线上的两点，且|AF|+|BF|=3,则线段AB的 中点M到y轴的距离为【知识点】抛物线及其几何性质H7，一 5

15、【答案】【解析】54 1解析：因为抛物线的准线为 x =,由抛物线的定义及梯形的中位线的性质可得M到抛物线4的准线的距离为 3,所以到y轴的距离为 31=5. 22 4 4【思路点拨】在圆锥曲线中遇到曲线上的点与焦点的距离时通常利用其定义进行转化【题文】14.在数列Qn）中，a1 =1ae +（1）nan =1.记Sn是数列an的前n项和，则00 =【知识点】数列求和 D4【答案】【解析】1300解析：当n为奇数时，有an七-an =1,当n为偶数时有an七十an =1,所以该数列奇数项城等差数列，偶数项为摆动数列，所以前100项中偶数项和为25 ,奇数项和为50 49_50 1 = 127,

16、5则 S100 =25 1275=1300.2【思路点拨】可通过观察当n取奇数与n取偶数时递推公式特征，发现数列特征达到求和目标.【题文】15.已知正三棱锥 P-ABC,点P,A,B,C都在半径为 J3的球面上，若PA,PB,PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为.【知识点】球的截面性质 G8【答案】【解析】3解析：由已知可把正三棱锥补形成球内接正方体，因为球的直径为2J3 ,所以正方体的棱长为 2,贝 U PA=PB=PC=2 AB=BC=AC=T2, S 四bc =叵八2 向=273 ,设 P 至 U 截面 ABC 的距4 TOC o 1-5 h z 1 尸 1 12.3离为d,则有

17、M2点Md = M M2 M2 M2 ,解得d =2,所以球心到截面 ABC的距离为、3 一”二 331 一【题又】16 .在 AABC 中,AC =6,BC =7,cosA = ,MBC 5的内心，若OA OB为邻边【思路点拨】一般遇到几何体的外接球问题，若直接解答不方便时，可通过补形法转化为球 内接正方体或长方体的关系进行解答.I)OP=xOA+yOB其中0ExA+yOB X中0 E x E1,0 E y E1,动点P的轨迹为以 OA, OB为邻边的平行四边形ADBO的内部（含边界），再求面积即可.【题文】三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

18、【题文】17.（本小题满分10分）1在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a,b,c,且a2+c2 b2 = ac.2（I）求 sin2 A-C+cos2B 的值；2（II）若b = 2,求，ABC面积的最大值【知识点】三角函数的性质解三角形C3 C8【答案】【解析】（I） - ； （II） 近 TOC o 1-5 h z 43解析：（I）在 ABC中，由余弦定理可知，a2 + c2 b2 = 2accos B ,由题意知2 2,2 11一，. 一， 一a +c -b =-ac ,，cosB =；又在 ABC中 a+b+C=tt ,24,2 A C .2 二- B c- 2 B -1

19、CoSB 八 2-,1sin cos2B = sin cos2B = cos 一 cos2B = 2cos B -1 二 一一22224 ,99912218b=2，由 a +c -b =- ac 可得 a +c 4 =一 ac 之 2ac 4 ,ac W223-1 .一后 _1. -1 8 .行.而cosB= , . sin B = ,. . S&bc = -acsin B W 一 父一父=,.ABC 面积4422 343的最大值为153【思路点拨】熟悉余弦定理特征是求角B的关键，当已知三角形内角时注意利用含夹角的面积公式进行解答【题文】18.（本小题满分12分）从某学校的800名男生中随机抽

20、取 50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组155,160，第二组160,165),第八组190 ,195 ,右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.(I)求第七组的频率；(II)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上(含180 cm)的人数；(II)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x, y ,事件 E = x -y| M5,事件 F = x _ y 15,求 p(e|J F).【知识点】频率分布直方图概率I

21、2 K2【答案】【解析】(D0.06;(甲44人；(力工15解析：(D第六组的频率为 =0.08，所以第七组的频率为501 -0.08 -5 (0.008 2 0.016 0.04 2 0.06) =0.06 ;(D身高在第一组155,160)的频率为0.008X5 = 0.04,身高在第二组160,165)的频率为0.016父5=0.08,身高在第三组165,170)的频率为0.04x5=0.2,身高在第四组170,175)的频率为0.04x5=0.2,由于 0.04 0.08 0.2 -0.32 :二 0.5,0.04 0.08 0.2 0.2-0.52 . 0.5估计这所学校的800名男

22、生的身高的中位数为 m,则170m15是不可能事件，P(F)=0由于事件E和事件F是互斥事件，所以P(EUF) = P(E) + P(F)=.15【思路点拨】正确认识频率分布直方图的纵坐标是解题此类问题的关键，求概率问题一般用列举法寻求所包含的基本事件的个数 【题文】19.（本小题满分12分）如图，PA垂直于矩形 ABCD所在的平面，AD = PA =2,CD =2 J2, E、F分别是AB、PD的中点.求证:AF平面PCE;（2）求证:平面PCE _L平面PCD;（3）求四面体PEFC勺体积.【知识点】平行关系 垂直关系，棱锥的体积 G4 G5 G72.2【答案】【解析】（1）略；（2）略；

23、（3）公匕 3解析：（1）证明：设 G为PC的中点，连接FG, EG,二下为PD的中点，E为AB的中点，FgJ=CD, AE - CD , .1.FG-LaE, .AF /GE, GEU 平面 PEC, ，AF/平面 PCE; 22（2）证明： PA=AD=2 , .AF PD,又PA，平面 ABCD , CD 仁 平面 ABCD , .-.PAX CD,. AD LCD, PA HAD=A ,，CD，平面 PAD,AFU 平面 PAD, /.AFI CD .PD ACD=D , ，AF，平面 PCD , ，GE，平面 PCD , GEU 平面 PEC,平面PCE,平面PCD;由（2）知 GE

24、L平面 PCD,所以 EG为四面体 PEFC的高，又 GF/ CD,所以 GF TOC o 1-5 h z PD, EG =AF =J2,GF =1cD 二衣,S#CF =-PD GF =2，所以四面体 PEFC 的体积 2212.2V -S.pcf *EG =-. 33【思路点拨】证明线面平行与面面垂直，通常结合其判定定理进行证明，求棱锥的体积抓住 其底面积和高进行求值即可 .【题文】20.（本小题满分12分）设数列Qn 的各项都是正数，且对任意 n w N*,都有a； =2Sn - an,其中S为数列自的前n项和.（I）求数列 Ln的通项公式；(II)设bn =3n +(1尸.九，2an

25、(人为非零整数，nw N*),试确定九的值，使得对任意n都有bn书bn成立.【知识点】数列的通项公式 不等式D1 E1【答案】【解析】(I) an=n(nw N )； (II) 1 TOC o 1-5 h z 2.三解析：(I) n w N 时，an =2Sn an，当 n 之 2 时，a；=2Snj -anJL,由一得,an - an J =(2& -an) -(2Sn- an)即 a2a =an+an， an+an_L 0，an an=1(n 2 2) ,由已知得，当 n=1 时，a2 =2S) aL ,aL =1.*故数列an是首项为1,公差为1的等差数列. an =n(nw N ).,

26、、*nn 1 n(n) an =n(nw N ),bn =3 +(1)九 2 , TOC o 1-5 h z bn1-bn=3n 1-3n(-1)2n 1 -(-1寸，2n=2 3n 3(-1广2n.3要使得bn书bn恒成立，只须(1)* (-)n .2 33 n(1)当n为奇数时，即九 (一) 恒成立又()的最小值为1,，九 -2222一由(1),(2)得 1 0 所以(F)2+()+1 1，所以 0 c九2 2，所以Z的取值范围为 (a, 0)U(0, 22).【思路点拨】求椭圆的标准方程应先结合焦点位置确定标准方程形式再进行解答，遇到直线与椭圆位置关系问题，通常联立方程结合韦达定理进行解

27、答【题文】22.(本小题满分12分)已知 awR,函数 f(x) = x3x2+3ax 3a+3(I)求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程；(n)当xw 0, 2时，求|f(x)|的最大值.【知识点】导数的应用 B123-3a,a0一一,13【答案】【解析】(I) y= (3a-3) x-3a+4； (n) f(x|max =1+2(1-a )=1-a,0 a-c 、33a -1,a 4解析：(I )因为 f (x) =x3-3x 2+3ax-3a+3 ,所以 f ( x) =3x2-6x+3a，故 f (1) =3a-3 ,又f (1) =1,所以所求的切线方程为y= (3a-3) x-3a+4 ;(n)由于 f (x) =3 (x-1 ) 2+3 (a-1 ), 0 x2,故当al时，有f (x) 0,此时f (