辽宁沈阳高中高一数学竞赛试题及答案

1、2007年辽宁省沈阳市高中一年级数学竞赛试题一、选择题1 .设圆C的方程为x2 + y22x2y-2 = 0 ,直线l的方程为(m+1)x my-1 =0(m w R),圆C被直线l截得的弦长等于()A. 4B. 2 2C. 2D.与m有关2.函数f (x)A.周期为C.周期为, 2：.2= sin (x + ) -sin (x1)是n的偶函数B.周期为冗的奇函数2n的偶函数D.周期为2n的奇函数3.设函数f(x)的定义域为(口依)，f(x)2 0的解集为M,f(x)-且 a #12连掷两次骰子得到的点数分别为则日w (0,色)的概率是2A. 512二、填空题(本题满分D. a 1x和y ,记

2、向量a = (x, y)与b = (1,-1)的夹角为H ,1B. 一230分，每小题5分)C. 712棱锥P-ABC外接球的球心为O ,半径为1,且D. 56OA+ OB+ OC=0 .则VP -A B C11_8.定义在 R 上的函数 f(x)满足：f (+x)+f(x) =2 ,则 f(1+f( 2+|h)7 228889.已知函数f (x)=2cos 二 x-3 : x ： 0 升xN，右ex 0f(2)+f(a) 2 ，则实数a组成的集合的元素个数为.10.已知关于x的方程x2+2px (q2 2) =0(p,q w R)无实根，则 p + q的取值范围是 .11 .在AABC中，若

3、a0=九 b ,c则九+r = 交于 E ,则 AB : AC = BE : EC )=4 , O为AABC的内心，且(提示：在AABC中，角A的平分线与BC集合 B = x -1 xa的解集为A ,A0|B=0,则实数a的取值范围是_、解答题(本题共 4道小题，满分90分)(本小题满分20分)如图，在 MBC中，AB = AC, D是 MBC外接圆A5的一点，AE _L BD于E , 求证：BE=CD+DE.设 f (x)sin 2x cos2x 1/二、z cos( x) .2sin( x)215.(1)求(2)当(3)设(本小题关于点f (x)的定义域;冗 冗一一,一时，求f (x)的最

4、大值；6 69 0 ,且 f (a) = 2 ,求 tana 的值.20分)圆O的方程是A(0, -2)的对称点，点222 ,x + y = r (r A 0),点P是圆O上一个动点，点Q是PjiP绕圆心O按逆时针方向旋转2后所得的点为R ,求当点P在圆O上移动时，点 Q、R之间距离的最大值和最小值.16.(本小题25分)设函数f(x)的定义域是(0,)，且对任意ywR都有f(xy) = yf(x).若对常数me (0,1) , f(m)q r a1,比较 f(p)f(r)与f(q)2 的大小.(提 ia + h 弋不：当 a rh时，ah lab I )2参考答案、选择题1 . A 2 ,

5、B 3 . D 4 . C 5 . B 6 . A二、填空题7. 8 . 7 9 . 5 10 . (2, 2)11 . - 12 .(笛,10)49三、解答题.证明：延长BD到F使AF = AC .连结AF、CF、CD ,则有ZAFB =/ABF , AFC u/ACF .: D在 MBC的外接圆上，ZACD ZABD , 从而.AFD =/ACD ,DCF DFC ,二 DF =CD .: AE _ BF , AB = AF ,二 BE =EF =ED +DF = ED +CD .解：(1) x | x =kn -,k w Z,4f (x) = T5cos(x 十平), 其中 0 :：二

6、一，sin : =15由“,故0My，。吁、+Ji n、皿一小 豆 一%,几又？ x = - , , x+甲 u _，邛 +, TOC o 1-5 h z 6 666x +平=0时f (x)的最大值为55.2cosa -sin 口 = 2 , aaasin (2sin - +cos-) =0222,，一一：二一：二 0 , tan = 2222工一 4二 tan u = 一 .315.解：设 P(x, y),R（x； y ） , /XOP =m ,设圆的参数方程为x = r cos：y = r sin ;x = _y，则 yy = x点Q是关于点A(0, -2)的对称点，,Q( -x,-4-y).|QR j = 2r2 +82rsin(a +-) +16 ,4-1 sin(o( +)1 ,4当sing+?=1时，qr有最大值点(r + 2衣)| ；当sing+, =1时，|QR|有最小值向r 2招.16 .解：(1) 对任意0q r 1 ,存在正数 m1, m, (m1丰m